2019版一轮优化探究理数练习：第十一章第七节分类计数原理与分步计数原理含解析

1、卜知能提升、填空题1 三边长均为整数，且最大边长为 11的三角形的个数为 .解析：设另两边长分别为x、y,且不妨设 Kxwy< 11,要构成三角形，必须x + y> 12.当y取11时，x= 1,2,3,，11，可有11个三角形；当y取10时，x= 2,3，10,可有9个三角形；当y取6时，x只能取6,只有1个三角形.所求三角形的个数为11 + 9+ 7+ 5+ 3+ 1= 36.答案：362将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法种 数为.34解析：如图所示，根据

2、题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a, c位置，8只能在b, d位置，依(a, b, c, d)顺序，具体有(5,8,6,7),(5,6,7,8), (5,7,6,8), (6,7, 5,8), (6,8,5,7), (7,8,5,6),合计 6 种.£丄丄丄tz丄答案：63.如图，一环形花坛分成 A, B, C, D四块，现有4种不同的 花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花， 则不同的种法总数为.解析：可依次种A、B、C、D四块，当C与A种同一种花时， 有4X 3X 1X 3= 36(种)种法；当C与A所种花不同时，有 4X 3X 2X

3、2 = 48(种) 种法，由分类计数原理，不同的种法总数为 36+ 48= 84.答案：844直线方程Ax+ By= 0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为 A、 B的值，则可表示不同的直线.解析：分成三类：A= 0, BM0; AM0, B= 0和AM0, B0,前两类各表示1 条直线；第三类先取A有5种取法，再取B有4种取法，故有5X4 = 20（种）.所以可以表示22条不同的直线.答案：225. 如图，某电子元件，是由3个电阻组成的回路，其中有 4个 仕畀匚焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在一|>p发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况

4、共有 种解析：解法一 当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2X 2X 2X 2- 1= 15（种）.解法二 恰有i个焊点脱落的可能情况为C4（i = 1,2,3,4）种，由分类计数原理，当 电路不通时焊点脱落的可能情况共 C4 + C2+ C3+ C4= 15（种）.答案：156. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），获得冠军的可能性有 中.答案：45 547. 从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a, b,共可得到lgalg b的不同值的个数是.aa o解析：由于lg a lg b= lg b（a>

5、;0, b>0），从1,3,5,7,9中任取两个作为b有As= 201339r种，又1与3相同，1与3相同，.lg a lg b的不同值的个数有 Ai 2 = 20 2= 18.答案：188. 某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为 用数字作答）.解析：其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列 上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从 该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步计数原理，总的选法种数是30X 20

6、X 12= 7 200.答案：7 2009 已知集合 M = 1 , - 2,3 , N = 4,5,6, 7，从M , N这两个集合中各选 一个元素分别作为点的横坐标、 纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是 解析：分两类：第一类，第一象限内的点，有 2X 2= 4（个）; 第二类，第二象限内的点，有1X 2= 2（个）.共4 + 2 = 6（个）.答案： 6二、解答题10已知集合 A= ai，a2, a3, a4，B= 0,1,2,3，f 是从 A 到 B 的映射.（1）若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个

7、？若f满足f（a1）+ f（a2） + f（a3） + f（a4）= 4,这样的f又有多少个？解析：（1）显然对应是 对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法， a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4X 3X 2X 1 = 24（个）.（2）0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法所 以不同的f共有34 = 81（个）.（3）分为如下四类：第一类： A 中每一元素都与 1 对应，有 1 种方法；第二类：A中有两个元素对应1, 一个元素对应2,另一个元素与0对应，有C2 C11 = 12（种）方法；第三类，A中有两个元素对应2,另两个

8、元素对应0,有C2 C2 = 6（种）方法；第四类，A中有一个元素对应1, 一个元素对应3,另两个元素与0对应，有C C3 = 12（种）方法所以不同的f共有1+ 12+ 6+ 12 = 31 （个）.11某外语组有 9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 7人会英语， 3人 会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解析： 由题意得有 1 人既会英语又会日语， 6 人只会英语， 2 人只会日语.第一类：从只会英语的 6人中选 1 人说英语，共有 6种方法，则说日语的有 2+ 1= 3（种），此时共有6X3= 18（种）;第二类： 不从只会英语的 6人中选 1 人说英语， 则

9、只有 1 种方法， 则选会日语的 有2种，此时共有1X 2 = 2(种);所以根据分类计数原理知共有18+ 2 = 20(种)选法.12在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列 (数字允许重复 )表示一个信 息，不同排列表示不同信息若所用数字只有 0和 1，则与信息 0110至多有两 个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？解析： 分 0 个相同、 1 个相同、 2 个相同讨论(1) 若0个相同，则信息为 1001.共 1 个(2) 若 1 个相同，则信息为 0001,1101,1011,1000共. 4 个(3) 若 2 个相同，又分为以下情况： 若位置一与二相同，则信息为 0101 ；