从观察者与事件的对应关系的角度来认识伽利略变换和洛伦兹变换

1、 从观察者与事件的对应关系的角度来认识伽利略变换和洛伦兹变换引言客观世界中，世上万物都处在无时无刻的运动中，事物的状态亦无时无刻地变化着。为了定性和定量地描述事物的各种运动形式（尤其是机械运动和物理运动）和事物所处的状态，物理上用事件来记录研究对象的运动形式和所处的状态。因为研究对象是客观的，所以事件也是客观的。可以这样说，研究对象的运动和状态与事件是一一对应的。作为观察者的人，本身也处于一定的运动变化和状态中。由于事件的发生是独立于观察者的, 因此应该建立起观察者和事件间的对应关系。为了建立这种关系，首先我们得建立起对于二者恒不变（或协变）的度量体系的概念，即所谓的参考系。事件和观察者都是固

2、结在某种参考系中的。我们总能找到这样的参考系，在该参考系中建立起的事件或观察者所符合的物理规律应该能以最简洁的（如果可能的话）数学方式表达出来，我们称这样的参考系为本征参考系。事件和观察者的本征参考系可能相同也可能不相同。这里我们忽略了一个问题，就是时空与参考系的关系。因为时空是客观实在，而参考系如上所述只是为了人们利用方便所做的数学化处理。这就要求科学家们在客观实在和实用性间找到恰当的切入点。这一点也正是广义相对论的基础。这里我们不讨论它。在狭义相对论及之前的经典物理，我们选取的参考系被称为惯性系。惯性系具有如下几个特点：1 自然定律对所有的惯性系都是一致的，即不可能通过在一个惯性系内部进行

3、实验和观测来判断该惯性系的运动和状态，也称相对性原理；2惯性系中物理学定律可以表述为某种最简洁的数学形式，即事件和观察者的一种本征参考系为惯性系；3如果K是惯性系，那么任何一个相对于K系做匀速无转动运动的参考系K也是惯性系。可见通过研究某个惯性系中的物理规律，即可将其推广到所有相对于该参考系做匀速运动的任意惯性系中。经典物理和狭义相对论正是建立在这样的参考系下的，即观察者和事件的本征参考系均为惯性系。经典物理和狭义相对论研究的观察者和事件的关系就是二者的本征参考系（即惯性系）相互间做匀速无转动运动时两惯性系的关系。我们称观察者的本征参考系为相对参考系，事件的本征参考系为绝对参考系。这样我们就可

4、将绝对参考系中的事件通过一定的变换转换到相对参考系中。人们看到的就是事件通过某种变换转换到相对参考系中的现象。人们首先提出的变换关系就是著名的伽利略变换。1 伽利略变换以现在的人类所掌握的知识来看伽利略变换(Galilean Transformation)，它或许只是洛伦兹变换(Lorentz Transformation)在一定范围内的近似罢了。也就是说伽利略变换已经是一种被淘汰了的物理理论。对于这种已经被取代了的理论，我们是否还有研究的必要呢？答案是肯定的。通过研究这些已经过时的理论，我们能找到发现新理论的正确的方向和有效的途径。正是建立在一代代科学先驱者的探索中，人类的科技水平才能取得今

5、天所见到的突飞猛进的成就。这也正是本文的出发点之一。1.1 欧几里德几何和时间的同时性在讨论具体的变换形式前，必须建立起该变换所基于的空间和时间概念。伽利略变换就是建立在欧几里德几何学(Euclidean geometry)和时间的同时性的基础上。欧几里德空间和笛卡儿坐标系欧几里德空间(Euclidean space)可以表述如下：选取参考系使其可以将空间内的点标记为（x,y,z）或（），而空间中的间隔两端的坐标差可以表示为dx，dy，dz或，对该间隔所取的各个方向都有相同的平方和（即间隔为不变量）： （1）或， （2）则称这样的空间为欧几里德空间，这样的坐标为笛卡儿坐标。在欧几里德几何学中（

6、对于一个给定的空间）存在一种优先坐标系，即笛卡儿坐标系(Descartes Coordinate system)。欧几里德空间中任意两点a 和b对应在笛卡儿坐标系中任意两坐标（）和（）是可以通过线性变换来彼此变换的。有了欧几里德空间和与之相合的笛卡儿坐标系就建立起了相对论前物理的空间概念。时间同时性为了确定时间关系，假设在笛卡儿坐标系（或参考系）的原点放置一个标准时钟。如果某处发生一个事件，只要在事件发生的同时，我们确定了原点处的时钟所记录下的时间，我们就能我们就能赋予某事件三个空间坐标（x,y,z）和一个时间坐标t。很明显，此处时间同时性是指单个参考系内任意空间坐标上的点的时间与该参考系的原

7、点的时间是同时的。可见，这里的空间坐标与时间坐标是相互独立的。处于不同位置的事件的同时性就被赋予了客观意义。这样确定的时间与参考空间中坐标系的位置无关。 以上我们确定了如何在欧几里德空间（一种惯性系空间）中标记事件在笛卡儿坐标系下的坐标，即某事件P记为（,t）或（x,y,z,t）。然而要对两个空间进行变换，还要找到两个参考系的联系。伽利略变换是两个做匀速无转动的惯性系下的变换，也是说满足相对性原理。同时，还要建立这两惯性系的笛卡儿坐标系的联系，即假设了时间和空间间隔的绝对性。1.2时间和间隔的绝对性根据本文中时间的同时性的定义，观察者和事件所处的惯性系的时间可以用它们的本征参考系的原点的时间来

8、衡量。又因为这两惯性系的原点之间做匀速运动，所以两惯性系的原点同样构成了一个惯性系，可见两原点的时间也具有同时性。由此推广，任意惯性系的原点的时间都具有同时性。这样对于惯性系这种参考系而言事件的时间都具有同时性，也就是在惯性系中时间具有了绝对性。时间的绝对性就被表述为一个事件相对于K系的时间t与它相对于K系的时间t是相同的。时间的绝对性建立了两惯性系间的时间变换关系。间隔构成了两惯性系间的空间变换关系。经典物理中的间隔实际上是根据本文1.1.1中的欧几里德几何学定义的几何间隔。欧几里德空间中的几何间隔具有协变性，也就是说几何间隔在任意惯性系间是不变的即几何间隔的绝对性。这里的几何间隔可以用不变

9、量、矢量和张量来表示。事实上，现代物理学中用运动学间隔与几何间隔相对应。所谓运动学间隔是指实际条件下测得的研究对象的几何间隔（因为研究对象总是处在一定的运动中）。运动学间隔不具有协变性。1.3 基于欧几里德空间和时间的同时性的伽利略变换有了以上的欧几里德空间基础和时间、间隔绝对性的假设，只要运用简单的数学知识就能推导出伽利略变换。具体的伽利略变换的推导不是本文的主要工作，我们只给出伽利略变换的一般形式，即只在某一任意方向上（这里选定x轴）发生相对运动。这里假设K和K是两惯性系且K系以速度V相对K系做匀速直线运动。x轴与x轴重合，K系相对于K系沿x轴的正方向以速率V运动，y轴平行于y轴，z轴平行

10、于z轴。应用本文1.1.2部分对时间同时性的定义，赋予K系中事件时间为t,K系中事件时间t。设事件P的本征参考系即绝对参考系为K系，则K系中事件标记为（x,y,z,t）。而观察者在其本征参考系即相对参考系K中观察到的事件P为（x,y,z,t）。应用本文中的假设，推导出伽利略变换及其逆变换如下：伽利略变换 （3），和伽利略变换的逆变换 （4）可见，在伽利略变换下，只要知道相对参考系K系中事件P（x,y,z,t）以及两参考系的相对运动速度V，就能得到事件在绝对参考系K系中的事件P（x,y,z,t）。 2 洛伦兹变换作为狭义相对论的理论基础，洛伦兹变换至今仍被人们广泛地应用和研究。其实，洛伦兹变换方

11、程早在1887年就被伏格特发现，并且在此后的1900年还被拉摩发现。而在1904年作为洛伦兹方程的被命名者洛伦兹本人推导该方程时坚持的立场却是承认以太的存在。洛伦兹变换当时也被看成是仅适用于以太参考系，这就与相对性原理相左。而且洛伦兹变换的引入又带来各种各样经典物理解释不了的现象，比如时间膨胀，长度收缩。为了解决物理学面临的困难，爱因斯坦(Albert Einstein)于1905年大胆地抛弃了以太这个特殊的参考系，转而将光速不变性当做一种被实践证明了的假设直接应用到洛伦兹变换中，从而发现了狭义相对论。应用光速不变性和相对性原理推导出的爱因斯坦形式的洛伦兹变换才是今天普遍采用的洛伦兹变换。下面

12、我们讨论洛伦兹变换适用的时空结构和时间校准。2.1洛伦兹变换适用的时空结构闵可夫斯基空间现代物理理论中时空结构主要分为微分结构、拓扑结构和几何结构三种。微分结构表征的是时空的平滑程度，以及时空的维数。例如，欧几里德空间为三维的（即只要给定x,y,z的值，则空间中的点可以被唯一地确定），而下面要介绍的闵可夫斯基空间(Minkowski space)为四维的（要给定x,y,z,t的值才能唯一地确定空间中的点）。拓扑结构表征的是时空中的小单元是如何连接的。例如，在欧几里德空间中的要连接两个原点不同的笛卡儿坐标系，就要通过数学的方法进行平移。几何结构表征的是空间的位置排列。例如，笛卡儿坐标系中位置的排

13、列是以单位长度为基础的。在任意一个惯性系中，若借助于笛卡儿坐标系表示的某点A（x,y,z）到原点O的空间距离为，根据光速不变原理，设光线从原点O到达该点A的时间是t，则,称为光时。有， （5）引用欧几里德空间中不变量的概念，有不变量在光速不变的条件下为， （6）即所谓的间隔不变性。当两事件的间隔=0时，表示两事件是以光信号连接的；当<0时，此时间隔称为类时间隔，表示两事件的关系是类时的；当>0时，此时间隔称为类空间隔，表示两事件的关系是类空的。基于不变量在光速不变的条件下的意义与其在欧几里德空间中的意义不同，闵可夫斯基提出了一个新的空间理论就是闵可夫斯基四维空间以取代欧几里德空间。

14、闵可夫斯基将x,y,z分别用表示，又引入虚数单位将表示为。闵可夫斯基空间的几何结构就是著名的光锥。闵可夫斯基空间中事件表示为P（），则间隔， （7）这就使得闵可夫斯基四维空间与欧几里德空间三维的物理意义中间隔的表示相统一。2.2时间校准2.2.1相对时间比由于欧几里德空间中没有对时间进行标记，所以为了得到伽利略变换，人们不得不假设所谓的时间的同时性。而在闵可夫斯基空间中时间已经给出，所以时间的同时性就可以被抛弃。但是为了实现从事件发生的绝对参考系到观察者所在的相对参考系的变换，在本中如前所述用两个做匀速无转动的惯性系中事件的变换，就要对这两惯性系进行时间的校准。进行时间的校准就要用到惯性系的一

15、个重要性质即相对性原理。相对性原理在爱因斯坦的论文相对性原理及其论证中表述如下：“自然规律同参照系的运动状态无关，至少当参照系在没有加速运动时是这样”。假设K和K是两惯性系，且K系以速度V相对K系做匀速直线运动。这里观察者的本征参考系为相对参考系K系，事件的本征参考系为绝对参考系K系。根据闵可夫斯基空间理论（这里没用表示事件，是为了揭示时间校准原则），设某事件P在K系中记为（x,y,z,t）,其在K系中记为（x,y,z,t）。请注意这里的时间t和t实际上是根据事件P在K系和K系中光时确定的，也就是t和t是相对于各惯性系的原点而言的。时间校准实际上就是要校准惯性系的原点的时间。若以K系为研究对象

16、，则从K系的原点发出的光信号相对K系的原点的速度为c+V,在事件相对K系的时间t内光信号走过的相对路程为（c+V）t，则在该事件相对K系的时间t内光信号的相对速度为 （8）若以K为研究对象，则从K的原点发出的光信号相对K系的速度为c-V,同理，在事件相对K系的时间t内光信号的相对路程为（c-V）t,则在该事件相对K系的时间t内光信号的相对速度为。 （9）根据相对性原理，光信号的实际速度不论是以K系还是K系为研究对象都是一样的，所以， （10）于是有。 （11）这里的时间比称为相对时间比，与时间膨胀系数是不一样的。但实际上二者是统一的。2.2.2时间膨胀系数与相对时间比通过上述的方法进行惯性系原

17、点时间的校准，是本人寻求避免使洛伦兹变换成为纯数学的推导而做的明显带有主观色彩的物理解释。上面所有光速c的方向是相同的，即沿两原点的连线由K系指向K系（这个方向通常与惯性系的x或x轴重合）。这里按上述方法规定光速c的方向是不变的正是基于所谓的相对参考系与绝对参考系的对应关系。因为很明显，对于确定了的观察者和事件而言，观察者只能作为来自事件的光信号的接收者。请注意，这里的观察者与时间膨胀中的观察者是不同的。时间膨胀中的观察者实际上做为时间的标记者即物质化了的时钟。从本文3.1中可见，时间与空间统一为了闵可夫斯基时空，根本不需要再人为去衡量时间了。而本文讨论的观察者是直接通过光信号与事件建立联系。

18、下面我们对二者进行讨论。2时间膨胀是被实践证明了的狭义相对论的重要推论之一，本小节所讨论的只是时间膨胀系数与相对时间比的关系。由于相对时间比中的方向是根据相对参考系的原点与绝对参考系的原点的相对运动而定的。由于参考系间的运动可能与原点间的运动不同，所以参考系间的相对运动速度不一定就是相对时间比中原点间的相对运动速度。本文将以光钟（light clock）为例讨论二者的关系。光钟相当于利用光速不变性来记录时间的钟。其由四部分组成（见图1）：外壳（长为）、激光器、光探测器、光反射镜。工作原理如下：激光器发射光束，由反射镜反射到探测器，根据光速不变性有光束从发射到接收的时间为 （12）现使光钟沿水平

19、方向以速度运动，则当光钟中的光束到达反射镜的时间为，考察此时的（见图2）。则， （13）由光速不变性有， （14）对式平方变换后有，此式同除以，得到 ，开平方后就得到， （15）可见式中与式中的不同了，令，则有， （16）式就是所谓的时间膨胀表达式，就称为时间膨胀系数。如.1中所述，由于参考系间的相对速度与参考系原点间的相对速度不同，此处便不能直接将代入相对时间比中，应先利用推导出。并且根据相对时间比，原点间的相对速度应是不变的（包括大小和方向）。下面我们仍然以光钟为例，利用闵可夫斯基时空理论和相对时间比来解释时间膨胀。如图3所示，此处的相对参考系为沿水平方向运动的光钟（点为原点），绝对参考系

20、为垂直方向运动的光量子（为原点）。根据闵可夫斯基时空理论，有 （17）式中时间和是根据光时确定的，而.1中时间和是用时钟记录的时间，它们之间有如下的关系， （18）由、式有 （19）由式解得 (20)此处的就是光钟系统中原点间的相对速度。将(20)式带入(11)式中得到 (21)这里的就是光钟系统中的相对时间比。由于时间膨胀是人类观察后的时间比，也就是说不能直接测量，只能间接测得。如下假设，如果光时中发射的不是光量子而是以某一速度运动的粒子，根据闵可夫斯基时空理论有，则 (22)由(16)式有 (23)由(22)、(23)式有 (24)特别地当，有，这样就可间接求得光钟系统中的相对时间比。通过

21、上述实验可以求证相对时间比与时间膨胀的关系。但是限于实际条件的制约，作者无法亲手去做这个实验。如果结果得到验证，那么我们可以得到所谓时间膨胀实际上是相对时间比在人类实际时间测量中的表现。从以上2.1、2.2节中的论述可见，有了基于光速不变原理建立的闵可夫斯基空间中的间隔不变性，以及基于相对性原理的相对时间比，就建立起了洛伦兹变换的数学基础和物理基础。下面我们利用二者推导爱因斯坦形式的洛伦兹变换。2.3爱因斯坦形式洛伦兹变换正如伽利略变换有多种形式一样，洛伦兹变换也有多种形式，我们下面推导的是爱因斯坦形式的洛伦兹变换。假设K和K是两惯性系，且K系以速度V相对K系做匀速直线运动。根据闵可夫斯基空间

22、理论（这里没用表示事件，是为了应用时间校准原则），设某事件P在K系中记为（x,y,z,t）,其在K系中记为（x,y,z,t）。此处特殊地取事件P位于x轴或x轴上，即 (25)由，有 (26)又由,有 (27)整理得洛伦兹变换有其中 (28)同理可得洛伦兹逆变换其中 (29)这样我们就得到了爱因斯坦形式的洛伦兹变换。结语人类的观察行为实际上是通过光或电磁波实现的，这也是为什么本文中能用光信号将观察者与事件联系起来的原因。物理学的不断前进已经开始接触人类一直困惑的哲学命题。不得不承认，所有被记录下来的事件都是经过人类观察的事件。而人类没有记录或观察的事件，并不意味着就没有发生。观察者与事件既是相互独立的又可通过“观察”联结起来。这就要求我们世界是客观的。由于世界是客观的，时间与空间也是客观的。我们这里所有的讨论并不涉及真实的时空结构，因为时空结构是复杂多变的，不可能一劳永逸地找到某种数学化的模型来代替真实