妙用图形变换巧求面积

1、1妙用图形变换 巧求面积武鸣县民族中学 韦秋华进入中考第一轮复习后，学生在复习过程中经常遇到求面积的问题。由于求面积问题考察形式多样，所求面积的图形往往不是规则图形，条件又相对比较隐蔽，因此这类题成为不少学生学习过程中的一个拦路虎。但新课标明确提出：图形面积的计算是数学计算中的一个重要部分，它在注重培养学生的计算能力的同时还可以将各章节知识融于其中，所以有利于提高学生分析问题、解决问题的能力。因此要求学生熟悉初中阶段所学的知识，夯实基础，这样才能根据图形的特点，妙用图形变换，“巧”求面积。而初中阶段接触到的图形变换包括平移、旋转和翻折等。因此，如果能够灵活运用这些图形变换，不仅可以有效的解决面

2、积问题，还能很好的完成新课标的要求。下面将本人在教学中的一些感悟列举如下：一、利用平移变换，将不规则图形平移成一个规则的图形比如，在九年级同步学习中有这样的一道题，这道题也曾经在中考时考查过。例1：如图，在高为2，底角为30°的楼梯上铺地毯，且每一级台阶宽度为2，求地毯的面积 每一级台阶的高沿竖直方向平移正好是楼梯的铅直高度，而台阶的长度向水平方向平移则 在学习反比例函数的时候，在同步学习中有下面的一道题。30°2次为1，2，3，4. 过这些点分别作x 轴和y 轴的垂线，则图中所构成的阴影部分的面积从 在学习反比例函数的时候，学生基本上掌握了求与之相关的面积要用到k 这个量

3、。但是学生通过观察，发现要单独求S 1、 S 2 、S 3、S 4，已知它们的长都是1，但缺少各个图形的高。如果将S 2 、S 3、S 4向左平移到S 1 的正下方，可以发现S 1+ S2 +S3+S4刚好是一个矩形，而且这个矩形的长和高正好是点P 1的横坐标和纵坐标，所以这个矩形的面积就是又如在学习实际问题和一元二次方程时，课本当中也有这样的一道题 。例3：如图，要设计一幅宽20cm 、长30cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3 ：2. 如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？ 学生在做这道题的时候，感觉比较困难。但是如果把横彩条向下平移，而将竖

4、彩条向右平移，则空白部分就变成一个矩形。所以可设横、竖彩条的宽度分别为3x 、2x ，则可得如下的方程：于是，彩条的宽度就可求了。所以解决这类不规则图形时，合理的使用平移，往往能使图形转化为规则图形，从3而特殊就转化为一般，从而达到解决问题的目的。课本中有不少这样的题目，比如，九年级上册第103页的第16题等等。二、利用旋转变换，将几个图形合并成一个规则的图形，从而求解面积例1、如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AD 、BC 于点E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形面积的（ B ）(八下同步第57页 A 、31 B 、41 C 、51 D 、103由于阴影部分由两个部分来组

5、成，它的底和高又不能确定。但是如果把BOF 按逆时针旋转180°，则BOF 与DOE 完全重合。那么阴影部分的面积就变成AOD 的面积。 选B类似的题目还有不少，比如九上课堂作业第59页就有这样的一道题例2、如图，两个同心圆中，大圆的半径为2， AOB=120°，半径OE 平分AOB ，则图中阴影部分的面积是B CFED因为阴影部分面积由两个部分来构成，每一部分阴影的条件又不完全，所以不能分开来求。但如果是把小圆部分的阴影按逆时针方向旋转60°，则两个阴影部分的面积就变成了求扇形的面积。 例3、（九上课堂作业60页）如图，在R t ABC 中，已知BCA=90&#

6、176;，BAC=30°.AB=6cm， 把ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线的点C 处，那么AC 边扫过的由于阴影部分是不规则图形，所以可以将通过A BC 按逆时针旋转到 ABC 的位置，则阴影部分面积就是两个扇形的面积之差。 S 阴影=S扇形A BA -S 小扇形 =9三、利用翻折求图形的面积，关键是要找出翻折前后对应的线例：如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积是若根据条件分别求各个阴影部分的面积是不可行的。但是通过观察，如果将正方形ABCD 沿对角线AC 翻折，就得到三个阴影图形正好组合成一个整体（ADC 或ABC ） &#

7、215;AB ×BC=21×4×4=8例、(八下课本第110页 如图，四边形ABCD 是矩形，AB=4，CD=3，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE 。四边形是什么图形？为什么？它的面积是多少？根据题目条件，可知AD=EC=BC=3,AB=AE=CD, 又DE=DE，CDAD E CED 同理，ADC CEA EDC=DEA, EAC=DCA 又1=2EDC=DEA=EAC=DCA DE AC 又DE AC 四边形是等腰梯形过点D 分别作AC 的垂线，垂足为F 21AC ×DF=21AE ×EC2243+ ×EG=3

8、×4 DF=512 DE=5-2DE+AC）×DF=21×512 四、割补法例、（八下课本，第71页）如图， R t ABC 的面积为20cm 2. 在AB 的同侧，分别以AB,BC,AC 为直径作三个半圆，求阴影部分的面积。因为阴影部分是由两个部分来组成，而且 用平移法和旋转法都没有办法解决，这个时 候可以通过割补来完成。整个图形的面积是由两个分别以AC 和BC 为半径的半圆和一个直角三角形来组成，还可以认为是以AB 为直径的半圆和阴影部分来组成。S 阴影+ S3 = S1+ S2 +SABC =20 这样的题目在我们的学习过程中还有很多。总之，对于具体的题目，应该根据其图形的特 点，选择正确的方法，巧妙利用图形变换