北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

1、北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案第1章概率论的基本概念§1、1随机试验及随机事件1、(1)一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形、样本空间就是:S=；(2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数、样本空间就是：S=；2、(1)丢一颗骰子、A:出现奇数点,则A=旦数点大于24UB=、(2)一枚硬币连丢2次，A:第一次出现正面，则A=;B:两次出现同一面，则=；C:至少有一次出现正面，则C=、§1、2随机事件的运算1、设A、B、C为三事件，用A、BC的运算关系表示下列各事件：(1)A、BC都不发生表示为：、(2)A与B都发生，而C不发生表示为：、(3)A与B都不发生，

2、而C发生表示为：、(4)A、BC中最多二个发生表示为：、(5)A、B、C中至少二个发生表示为：、(6)A、RC中不多于一个发生表示为：、2、设Sx:0x5,Ax:1x3,Bx:24:则(1)AB,(2)AB,(3)AB,(4)AB=,(5)AB=。§1、3概率的定义与性质1 .已知P(AB)0.8,P(A)0.5,P(B)0.6，则(1) P(AB),(2)(P(AB)=,(3)P(AB)=、2、已知P(A)0.7,P(AB)0.3,则P(AB)=、§1、4古典概型1、某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个，求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学

3、的概率,(3)至少有2个女同学的概率、2、将3个不同的球随机地投入到4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率、§1、5条件概率与乘法公式1 .丢甲、乙两颗土匀的骰子，已知点数之与为7,则其中一颗为1的概率就是。2、已知P(A)1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)1/2,则P(AB)。§1、6全概率公式1 .有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中的概率相同。2 、第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。§1、7贝叶斯公式1 .某厂产品有70%

4、不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求(1)该厂产品能出厂的概率,(2)任取一出厂产品，求未经调试的概率。2 .将两信息分别编码为A与B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0、02,B被误收作A的概率为0、01,信息A与信息B传递的频繁程度为3:2,若接收站收到的信息就是A,问原发信息就是A的概率就是多少？§1、8随机事件的独立性1、电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。2.甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0、4,0、5与0、6,就是否命中，相互独立

5、，求下列概率：（1）恰好命中一次,（2）至少命中一次。第1章作业答案§1、11:(1)SHHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT;(2)S0,1,2,32:(1)A1,3,5B3,4,5,6;(2)A正正，正反,B正正，反反,C正正，正反，反正。§1、21:(1)ABC;(2)ABC;(3)ABC;(4)ABC;(5)ABACBC;(6)ABACBC或ABCABCABCABC;2: ( 1) ABx:1x4;(2)ABx:2x3;(3)ABx:3x4;4、(4) A、3 1: (1)x : 0P(AB)=0、3,(2)1 或 2 x 5 ; (5) A

6、BP(A B) = 0、2, (3) P(Ax : 1 x 4。B) = 0、7、2: P(AB)=0、1:(1) C；C22/C30,(2)(C201 9 2 8 10 .C8C22C8C22)/C30 ,(3)1-(C20c8 c22)/c3：、2:P：/43、§1、51:、2/6;2:1/4。§ 1、6 1:设A表示第一人“中”,则 P(A) = 2/10设B表示第二人“中”，则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=_21_8_2_2_-10910910两人抽“中的概率相同，与先后次序无关。2:随机地取一盒，则每一盒取到的概率都就是0、5,所求概率为p

7、=0、5X0、4+0、5X0、5=0、45§1、71:(1)94%(2)70/94;2:0、993;§1、8、1:用A,B,C,D表示开关闭合，于就是T=ABUCD,从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)=P(A)P(B)+P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)224c24PPP2pp2: (1) 0 、4(1-0、5)(1-0、6)+(1-0、4)0、5(1-0、6)+(1-0、4)(1-0、5)0、6=0、38;(2)1-(1-0、4)(1-0、5)(1-0、6)=0、88、第2章随机变量及其分布

8、67;2、1随机变量的概念，离散型随机变量1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码、，试写出X的分布律、2某射手有5发子弹，每次命中率就是0、4,一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数，试写出X的分布律。§2、201分布与泊松分布1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X就是服从入=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2设随机变量X有分布律：X23,Y兀(X),试求：p0、40、6(1)P(X=2,YW2);(2)P(Yw2

9、);(3)已知YW2,求X=2的概率。§2、3贝努里分布1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0、6,计算机就是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有2台计算机被使用的概率就是多少？(2)至少有3台计算机被使用的概率就是多少？(3)至多有3台计算机被使用的概率就是多少？(4)至少有1台计算机被使用的概率就是多少？2设每次射击命中率为0、2,问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0、9?§2、4随机变量的分布函数0x11设随机变量X的分布函数就是：F(x)=0.51x11x1写出X的分布律。(1)求P(XW0);P0X1;

10、P(X>1),(2)Axx02设随机变量X的分布函数就是：F(x)=1x,求(1)常数A,(2)P1X2、0§2、5连续型随机变量1设连续型随机变量X的密度函数为：f (x)kx0(1)求常数k的值;(2)求X的分布函数F(x),画出F(x)的图形,(3)用二种方法计算P(-0、5<X<R5)、0x12设连续型随机变量x0勺分布函数为：F(x)=lnx1xe1xe(1)求X的密度函数f(x)，画出f(x)的图形，(2)并用二种方法计算P(X>0、5)、§2、6均匀分布与指数分布21设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布，求万程4x+4Kx+K+2

11、=0有实根的概率。2假设打一次电t所用时间(单位:分)X服从0.2的指数分布，如某人正好在您前面走进电话亭，试求您等待：(1)超过10分钟的概率；(2)10分钟到20分钟的概率。§2、7正态分布1随机变量XN(3,4),(1)求P(2<X<5),P(-4<X<10),P(|X|>2),P(X>3);(2)确定c,使得P(X>c)=P(X<c)。2某产品的质量指标X服从正态分布，科二160，若要求P(120<X<200)>0、80,试问b最多取多大？§2、8随机变量函数的分布1设随机变量X的分布律为；X012、

12、p0、30、40、Y=2X-1,求随机变量X的分布律。2设随机变量X的密度函数为：f (x)2(1 x) 0 x 10 其 他2YX;求随机变量Y的密度函数。2lnX，求随机变量Y的密度函数。3、设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，Y第2章作业答案§2、11:XI345p|0、10、30、60、2:X12345p0、40、6>0、40、6>0、6>0、40、6>0、6>0、6>0、46>0、6>0、6>0、6X1§2、21:(1)P(X=1)=P(X>1)-P(X>2)=0、981684-0、908422

13、=0073262,(2) P(X>1)=0、981684,(3) P(X<1)=1-P(X>2)=1-0、908422=0、091578。2:(1)由乘法公式：2222P(X=2,YW2)=P(X=2)P(Y<2|X=2)=0、4x(e2e2e)=2e(2)由全概率公式：P(YW2)=P(X=2)P(Y<2|X=2)+P(X=3)P(Y<2|X=3)2173=0、4X5e+0、6Xe=0、27067+0、25391=0、52458P(X2,Y2)0.27067八(3)由贝叶斯公式:P(X=2|Y<2)=-0.516P(Y2)0.52458§2

14、、31：设X表示在同一时刻被使用的台数，则XB(5,0、6),(1)P(X=2)=C20.620.43(2)P(X>3)=C30.630.42C540.640.40.65(3)P(X<3)=1-C540.640.40.65(4)P(X>1)=1-0.452:至少必须进行11次独立射击、§2、41:(1)P(X<0)=0、5;P0X1=0、5;P(X>1)=0、5,(2)X的分布律为：X|-11P0、50、52:(1)A=1,(2)P1X2=1/60x0§2、51:(1)k2,(2)F(x)x20x1;1x1(3)P(- 00.500.515Vx

15、<0、5)=f(x)dx0dx2xdx;0.50.504_1_1或二F(0,5)-F(-0、5)=0-o442: (1)1/x1xef(x)0其他P(X2)1ln2§ 2、6 1: 3/52:2_24 e (2)e e§ 2、7 1: (1) 0、5328,0、9996,0、6977, 0、5;(2) c = 3,§2、8 1: Y J - 113p0、30、40、32:31、25。2: fY(y)T7(1y) 01,3:fY(y)1y/2-e2y 0.;第3章多维随机变量§3、1二维离散型随机变量1 .设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球，从中

16、随机地取3个，用X表示取到的红球个数用Y表示取到的白球个数，写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律。2 .设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为:XX|012试根楣下列条件分别求a与b的值；00、10、2aP(X1)0.6;10、1b0、2(2)P(X1|Y2)0.5;(3)设F(x)就是Y的分布函数，F(1.5)0.5。§3、2二维连续型随机变量1. (X、Y)的联合密度函数为：f(x,y)k(x y) 0 x 1,0 y 10 其他求(1)常数k;(2)P(X<1/2,Y<1/2);(3)P(X+Y<1);(4)P(X<1/2)。2.( X、Y)的联合密度

17、函数为：f(x,y)kxy 0 x 1,0 y x求(1)常数 k;(2)P(X+Y<1);(3) P(X<1/2)。§3、3边缘密度函数1 .设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。f(x, y)122(1 x )(1 y )2 、设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。f(x, y)xe 0 y x0 其他§ 3、4随机变量的独立性1. (X, Y)的联合分布律如下，试根楣下列条件分别求a与b的值;2 a b 1/9 P(Y 1) 1/3;(2) P(X 1| Y 2) 0.5; (3)已知X与Y相互独立。2. (

18、X,Y)的联合密度函数如下，求常数c,并讨论X与Y就是否相互独立?f (x,y)2cxy 0 x 1,0 y 1* §3、5多个随机变量的函数的分布* §3、6几种特殊随机变量函数的分布第3章作业答案3、11:xy122:(1)a=0、1b=0、3%10、40、30、7(2)a=0、2b=0、220、30、0、3(3)a=0、3b=0、10、70、31§3、21:(1)k=1;(2)P(X<1/2,Y<1/2)=1/8;(3)P(X+Y<1)=1/3;(4)P(X<1/2)=3/82:(1)k=8;(2)P(X+Y<1)=1/6;(3

19、)P(X<1/2)=1/16。§3、3 1: fX(x)2 (1 x2)(1 y2)fY(y)2(1-dx y )(12: fX(x)xxefY(y)§ 3、4 1: (1)a=1/6b=7/18;(2) a=4/9b=1/9;(3)a = 1/3,b = 2/9。2:c = 6, X与Y相互独立。第4章随机变量的数字特征§4、1数学期望1.盒中有5个球，其中2个红球，随机地取(A)1;(B)1、2;(C)1、5；3个，用X表示取到的红球的个数，则EX就是:(D)2、x 41他，求 E(X), E(2X 1), E(出)，并求 X3x22、设X有密度函数：f

20、(x)80大于数学期望E(X)的概率。3 .设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为已知E(XY)0.65,则a与b的值就是：XV01200、10、210、1ba0、2(A)a=0、1,b=0、3;(B)a=0、3,b=0、1;(C)a=0、2,b=0、2;(D)a=0、15,b=0、25。4 .设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下：求EX,EY,E(XY1)。f(x, y)xy 0 x 1,0 y 20 其他§4、2数学期望的性质2一一一1.设X有分布律：X0123则E(X2X3)就是:p0、10、20、30、4(A)1;(B)2;(C)3;(D)4、5212.设(X,Y)有 f(

21、x,y)4yxy1,试验证E(XY)E(X)E(Y),但X与Y不0其他相互独立。§4、3方差1 .丢一颗均匀的骰子MX表示点数，求EX,DX、(x1)/40x22 .X有密度函数：f(x)甘.，求D(X)、0其他§4、4常见的几种随机变量的期望与方差1 .设X，Y-B(3,0.6)，相互独立，则E(X2Y),D(X2Y)的值分别就是(A)-1、6与4、88;(B)-1与4;(C)1、6与4、88;(D)1、6与-4、88、2、设XU(a,b),YN(4,3),X与Y有相同的期望与方差，求a,b的值。(A)0与8;(B)1与7;(C)2与6;(D)3与5、§4、5协

22、方差与相关系数1.随机变量(X,Y)的联合分布律如下：试求协方差Cov(X,Y)与相关系数xy,Xy10100、20、1010、10、30、32.设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下：试求协方差Cov(X,Y)与相关系数xyxy0x1,0y1f(x,y)0其他§4、6独立性与不相关性矩1 .下列结论不正确的就是()(A) X与Y相互独立，则X与Y不相关；(B) X与Y相关，则X与Y不相互独立；(C) E(XY)E(X)E(Y),则X与Y相互独立;(D) f(x,y)fx(x)fY(y),则X与Y不相关;2 .若COV(X,Y)0,则不正确的就是()(A)E(XY)E(X)E(Y);

23、(B)E(XY)E(X)E(Y);(C)D(XY)D(X)D(Y);(D)D(XY)D(X)D(Y);3.(X,Y)有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性与独立性。X、丫101、11/81/81/801/801/811/81/81/84 .E(XY)E(X)E(Y)就是X与Y不相关的()(A)必要条件；(B)充分条件：(C)充要条件；(D)既不必要，也不充分。5 、E(XY)E(X)E(Y)就是X与Y相互独立的()(A)必要条件；(B)充分条件：(C)充要条件；(D)既不必要，也不充分。6、设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下：试验证X与Y不相关，但不独立。一.2.2.f(x, y)21xy

24、/4xy10其他第4章作业答案§4、11:B;2:3/2,2,3/4,37/64;3:D;4:2/3,4/3,17/9;§4、21:D;§4、31:7/2,35/12;2:11/36;§4、41:A;2:B;§4、51:0、2,0、355;2:-1/144,-1/11;§4、61:C;2:C;3:X与Y不相关，但X与Y不相互独立；4:C;5:A;第5章极限定理*§5、1大数定理§5、2中心极限定理1 .一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0、004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损

25、坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。2 .某一随机试验，“成功”的概率为0、04,独立重复100次，由泊松定理与中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。第5章作业答案§5、22:0、1788;3:0、889,0、841;第6章数理统计基础§6、1数理统计中的几个概念1 .有n=10的样本；1、2,1、4,1、9,2、0,1、5,1、5,1、6,1、4,1、8,1、4,则样本均值X=样本均方差S，样本方差S2。2.2 .设总体方差为b有样本Xi,X2,Xn,样本均值为X,则Cov(Xi,X)。§6、2

26、数理统计中常用的三个分布1、查有关的附表，下列分位点的值：Z0.9=,(21(5)=,t0.9(10)=22.设X1，X2,Xn就是总体(m)的样本，求E(X),D(X)。§6、3一个正态总体的三个统计量的分布一.一221 .设总体XN(,)，样本X1,X2,Xn,样本土值X,样本方差S，则XX/.nS/,n1n21n2(XiX),(Xi),i1i1*§6、4二个正态总体的三个统计量的分布第6章作业答案§6、11.X1.57,s0.254,s20.0646；2、Cov(XjX)b2/n;§6、21.-1、29,9、236,-1、3722;2.E(X)m,

27、D(X)2m/n；§6、31、N(0,1),t(n1),2(n1),2(n);第7章参数估计§7、1矩估计法与顺序统计量法1、设总体X的密度函数为：f(x)X"0x1,有样本X1,X2,Xn,求未知0其他12n参数的矩估计。2、每分钟通过某桥量的汽车辆数X(),为估计的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下:次数：23456量数：95374试求的一阶矩估计与二阶矩估计。§7、2极大似然估计1、设总体X的密度函数为：f(x)(-1)x00其，有样本X1,X2,X n ,求未知参数的极大似然估计。§7、3估计量的评价标准1、设总体X服从区间(a,1)上的均匀分布，有样本X1,X2,Xn,证明夕2X1就是a的无偏估计。2、设总体X()，有样本Xi,X2,Xn,证明aX(1a)S2就是参数的无偏估计(0a1)。2，某厂化纤纤度 X N(,)，抽取9根纤维，测§7、4参数的区间估