不等式的证明

1、不等式的证明第一页，共26页。1( )arctan2f xxx令(0)( )f x在 ，内单调减小,lim( )0 xf x而0( )0 xf x故知对一切，10arctan2xxx 证明当1例时解：解：2211( )1fxxx1arctan2xx即221(1)xx0第二页，共26页。例例2.abbaeab，证明设证法1：;lnlnbaabbaab，只需证要证0)(,lnln)(afaxxaaxxf令)(01ln)(axxaxaaxf时单调增加，在axxf)(0)()(afbfab时，有于是当;lnlnbaab即.abba 第三页，共26页。例例2.abbaeab，证明设证法2：;lnlnba

2、abbaab，只需证要证ln( )xf xx令21 ln( ),xfxx则( )f xxe在时单调增减少，( )( )baf bf a于是当时，有lnln,abab即.abba lnln;abab即证,( )0 xe fx 对于 第四页，共26页。0)0(,0)( fxf设 证明对任意0, 021xx有有)()()(2121xfxfxxf证法一：证法一：120,xx)()()(1221xfxfxxf12)(xf121( )()x f )()()(2121xfxfxxf,(2122xxx例例3.不妨设 )0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x11)(xf2、利用、利用lagr

3、ange中值定理证明不等式中值定理证明不等式 0利用lagrange中值定理第五页，共26页。0)0(,0)( fxf设 证明对任意0, 021xx有有)()()(2121xfxfxxf证法二：证法二：22( )( )()(),xf xf xf xx设利用单调性证明2( )( )()xfxfxx(0)00,例例3.单增11()(0)0(0)xx1212()( )()f xxf xf x即第六页，共26页。例例4.MaaffaxfMxfa | )(| )0(|), 0()(,| )(| , 0最最大大值值，试试证证内内取取得得在在且且上上设设在在证证内内可可导导在在上上连连续续在在由由于于),

4、0(, 0)(aaxf内内取取得得最最大大值值在在且且),0()(axf0)(), 0(, cfacFermat使使定定理理知知由由上上分分别别使使用用在在对对, 0)(accxf Lagrange定理定理cffcf )()0()(1 )0(1c )()()()(2cafcfaf )(2ac )( | )(| )(| )(| )0(|21cafcfaff )(cacM Ma 第七页，共26页。练习练习.( ) , ,( , ),( )( , )( )|,|( )|( )|().f xa ba bf xa bfxMf af bM ba设在上连续 在内可导在内至少有一个零点，且|试证证证( )0(

5、 , ),f cca b设，( ) , , , f xa cc b对在上分别使用Lagrange定理定理1( )( )( ) ()f cf afca1()ac2( )( )() ()f bf cfbc2()cb12|( )|( )| |( )| () |()|()f af bfcafbc()M ba第八页，共26页。3、利用极值、最值证明不等式、利用极值、最值证明不等式 例例5. 证明当证明当 0 x 2时时, 4xlnx x2 2x + 4 0.证证: 令令 f (x) = 4xlnx x2 2x + 4 , 则则 f (x) = 4lnx 2x + 2 , 令令 f (x) = 0, 得驻

6、点得驻点 x = 1, 这是唯一驻点这是唯一驻点. 而而 , 02) 1 ()2(2)( fxxxf，故故 x = 1是是 f (x)的极小值点的极小值点. 又当又当0 x 2时时, f (x) 0, 故曲线故曲线 y = f (x)在在(0, 2)内是凹内是凹的的, 故故 x = 1既是极小值点既是极小值点, 又是最小值点又是最小值点, 从而在从而在 0 x 2中中, 有有 f (x) f (1) = 1 0， 从而从而 4xlnx x2 2x + 4 0. 第九页，共26页。例例6 设,sin2sinsin)(21nxaxaxaxfn且,sin)(xxf证法一证法一: :nxnaxaxax

7、fncos2cos2cos)(210)0(f证明1221nanaa,2)0(21nanaafnanaa212)0(f 0( )(0)limxf xfxxxfx)(lim0 xxxsinlim014、其他方法、其他方法 第十页，共26页。例例6 设,sin2sinsin)(21nxaxaxaxfn且,sin)(xxf证法二证法二: :证明1221nanaa122naana0( )limxf xxxxxsinlim01200sinsin2sin( )limlimnxxaxaxanxf xxx12000sinsin2sinlimlimlimnxxxxxnxaaaxxx( )f xxsin xx00(

8、 )( )limlimxxf xf xxx12|2|,naana0sinlim1xxx1221naana第十一页，共26页。例例7.7.)1 , 0(21)(:, 1)(),1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf证明证明且且上二阶可微上二阶可微在在若函数若函数证证,1 , 00 x设设有有展展成成一一阶阶泰泰勒勒公公式式处处把把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 则则有有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff 第十二页，共26页。2022010)1)(21

9、)(21)(xfxfxf ,),1()0(ff 注注意意到到则有则有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x,1 , 00知知又又由由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可可知知命命题题成成立立的的任任意意性性由由 x第十三页，共26页。2eaxx 22 1 ln0 xfxxe,x a2eaxx x设设为正常数，使得为正常数，使得 对一切正数对一切正数a成立，求常数成立，求常数的最小值的最小值. .a要求要求的最小值，只要求的最小值，只要求 2ln xfxx 的最大值的最大值. . 0e0,xfx时由于由于 2eef所以为其极大值，为其极大值

10、， a2.e 故故的最小值为的最小值为 二、最值二、最值例例8.2ln xax2ln,xax解：解：即为最大值即为最大值. . e0,xfx时第十四页，共26页。证证 xtttf0d)(),(xxf xttf0d)()(xf 20)d)( xttfxddxdd1.1. 0)(), 0)( xfxf内内连连续续且且在在设设证明函数证明函数 xxttftttfxF00d)(d)()(内内在在), 0( 为单调增加函数为单调增加函数. xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF练习练习第十五页，共26页。200)d)(d)()()()( xxttfttftxxfxF0)()(

11、 tftx0)( xf0 20)d)( xttf xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF内内在在), 0( 为单调增加函数为单调增加函数.故故)(xF x0td第十六页，共26页。2.xxxx2tansin,20 时时证证明明 证证xxxxf2tansin)( 记记2seccos)(2 xxxf则则2cos1cos2 xx2cos1cos xx0 或或xxxxftansec2sin)(2 1cos2sin3 xx0 )(xf0)0()( fxf )(xf0)0()( fxfxxx2tansin 即即第十七页，共26页。一 3.第十八页，共26页。证法二 lagran

12、ge中值定理证.当x=1时，原式显然成立，当 时， 由lagrange中值定理得1x 1lnln1(1)xx1(1)x1x在 与 之间22(1)ln(1)xxx要证，22(1)ln1(1)xxx只需证，1(1)1,x即0101,xx当时，1,x 即11x 11,xx当时，1xx 因此，原式成立.第十九页，共26页。4. 试比较试比较 e 与与 e 的大小的大小. 解解 由于由于 e = eeln , 问题转化为比较同底数得幂指数问题转化为比较同底数得幂指数 e 与与 eeln 的大小的大小, 只要比较只要比较 与与 eln 即可即可, 令令 f (x) = x elnx, xexxexf 1)

13、(当当 x e 时时, f (x) 0, f (x)单调增加单调增加, 而而 f (e) = 0, 从而从而 f (x) f (e) = 0, 又又 e, 故故 f ( ) 0, 有有 eln 0, 即有即有 e eeln 从而从而 e e . 第二十页，共26页。5.5. 证明.111bbaababa证证: : 利用“形似”构造辅助函数则0)1 (1)(2xxf, )0(1)(xxxxf又)(xf,baba故)()(bafbafbbaa11babababa11babbaa11babababa11bbaa11第二十一页，共26页。6. 设1111,qpqp的常数，且是求证对0 x有xqxpp1

14、1成立证明：证明：设)(xfxqxpp1101)(1pxxf令1x2) 1()( pxpxf) 1 (01) 1 (fpf 为极小值也是最小值0 x时有0) 1 ()( fxfxqxpp11即成立第二十二页，共26页。7. 设 f (x) = xex, 求它在定义域上的最大值和最小值.解解: f (x)在(, +)上连续可导, 且 f (x)=(x+1)ex令 f (x)=0, 得 x = 1x 1时, f (x) 1时, f (x)0, f (x)单增. 故 f (x)在1处达到极小值, ef1) 1(由于极小值点唯一, .1为最小值故em而 0lim)(limxxxexxfxxxelim故

15、 f (x)无最大值.第二十三页，共26页。上的在 1 ,0)(xf试求，设Nnxxnxfn,)1 ()().(limnMn解解:)(xf,0)( xf令内的唯一驻点得) 1 ,0() 1(1 )1 (1xnxnnnxn)1 ( 1)1 (nxnxn,)(由增变减通过此点时易判别xfx及最大值)(nM故所求最大值为1)1(nnn)11()(nfnM)(limnMn1 e1)111 (limnnn11nx函数的极值与最大值最大值8. .第二十四页，共26页。9.9.大大所所围围成成的的三三角角形形面面积积最最及及与与直直线线使使曲曲线线在在该该点点处处的的切切线线上上求求一一点点，曲曲边边成成一一个个曲曲边边三三角角形形，在在围围及及抛抛物物线线，由由直直线线808022 xyxyxyxy解解如图如图,),(00yxP设所求切点为设所求切点为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(C ABCS)80(0 x21)218(0 x )16(200 xx xyOABCTP 函数的极值与