等差数列复习教案

1、精选优质文档-倾情为你奉上_ 等差数列专心-专注-专业一、高考考点1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列.2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求 ；求 ；解决关于 或 的问题.3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求 ；求 ；解决有关 或 的问题.4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.二、知识要点1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.认知： 为等差数列 =d(nN且

2、d为常数) =d (n 2, nN且d为常数)此为判断或证明数列 为等差数列的主要依据.2.公式 （1）通项公式： = +（n1）d：引申： = +（nm）d（注意：n=m+(nm) ）认知： 为等差数列 为n的一次函数或 为常数 =kn+b (n )（2）前n项和公式： = 或 =n + 认知： 为等差数列 为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n )3.重要性质(1) 为递增数列 d0; 为递减数列 d0; 为常数列 d=0(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项

3、依次成等差数列.(4)设 , , 分别表示等差数列 的前n项和,次n项和,再次n项和,则 , , 依次成等差数列.一、基本知识复习1.等差数列的相关概念及等差中项2.判断或证明等差数列的方法主要有(1)；(定义法)(2)；(等差中项法)(3)an；(通项法)(4)Sn.注：在具体的证明过程中，若出现(3)或(4)，最好再利用(1)或(2)的思想方法.3.基本公式及等价形式(1)关于an的：an；an；an.(2)关于Sn的：Sn；Sn；Sn；Sn.课本中推导Sn的方法称为.4.三个数或四个数成等差数列的表达方式三个数四个数一般设法a，b，c且2bac定义设法a，ad，a2d，a3d(d为公差)

4、对称设法ad，a，ad(d为公差)二、基本知识·性质的拓展1.若an为等差数列，且满足则amanapaq(m，n，p，qN*)2.(1)在等差数列an中，下标成等差数列，且公差为m的项，ak，akm，ak2m，(k，mN*)组成数列.(2)若an，bn是等差数列，则panqbn是数列，如anbn，anbn是等差数列.(3)an是等差数列，则a1a2am，am1am2a2m，a2m1a2m2a3m，是数列.3.与前n项和有关的等差数列的性质(1)等差数列的依次每k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为的等差数列.(2)若等差数列项数为2n(nN*)，则S2nn(anan1)(

5、an，an1为中间两项)且S偶S奇nd，.(3)若项数为2n1，则S2n1an(an为中间项)且S奇S偶an，.4.在等差数列中：若a10，d0，则Sn必有最值，这时既可由二次函数确定n，也可用不等式组来确定n.若a10，d0，则Sn必有最值，这时既可由二次函数确定n，也可用不等式组来确定n.【例1】等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A.130B.170C.210D.260【解法一】将Sm30，S2m100代入等差数列前n项和公式Snna1d，得解得d，a1.所以S3m3ma1d3m··210.联想1：等差数列的前n项和公式Sn是关于n

6、的二次函数，能否运用函数的思想求解？【解法二】由等差数列的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即SnAn2Bn(A、B是常数).将Sm30，S2m100代入得解得A，B.所以S3mA·(3m)2B·3m210.联想2：由等差数列的性质知，Sm，S2mSm，S3mS2m构成等差数列，利用此性质，此题还可以怎样解呢？【解法三】根据等差数列性质知，Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，从而有2(S2mSm)Sm(S3mS2m)，所以S3m3(S2mSm)210.联想3：本题是一道选择题，联想解决选择题常用的一种方法特殊值法，你将会怎样解？【解法四】令m1得S130，S2

7、100，从而a130，a1a2100，得到a130，a270，所以a370(7030)110，所以S3a1a2a3210.此题虽是一道小题，但我们从不同的角度去审视，得到四种不同的方法，开阔了视野，锻炼了思维.此四种方法体现了解决数列问题常用的四种思想方法：方程思想；函数与方程思想；整体思想；特殊值思想.【例2】(1)数列的前n项和Sn，研究一下，能否找到求Sn的一个公式.你能对这个问题作一些推广吗？并解决下面的问题(2)已知正数数列an的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2an1.求数列an的通项公式；设bn，求数列bn的前n项和Bn.【解】(1)anSn11 这是数列求和的裂项相消法，

8、它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)，并使它们相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而可求出数列的前n项和.常见的裂项公式：()()(2)对任意的正整数n,2an1恒成立，当n1时，2a11，即(a11)20，a11.当n2时，有2an11.22得4anaa2an2an1，即(anan1)(anan12)0.an0，anan10，anan12，数列an是首项为1，公差为2的等差数列，an1(n1)×22n1，an12n1，bn()，Bnb1b2b3bn(1)()()()(1).有的数列本身不是等差数列，求其前n项和时，可对其通项进行恰当变形，转化为已

9、知数列或等差数列的和的问题.上述求和法是“裂项相消法”，它是“变换通项法”的一种.对于变换通项法，再如：ann(n1)，求Sn由ann(n1)n2nSn(1222n2)(12n)转化为两个常见数列的前n项和【例3】(1)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为3227，求公差d.(2)若两个等差数列an和bn的前n项和An和Bn满足关系式(nN*)，求.(3)an是等差数列，a15a12a9a620，求S20【解】(1)(方法一)(方程思想)设此数列首项为a1，公差为d，则解得d5.(方法二)(整体思想)S偶S奇6d，d5.(2)由等差数列性质an，bn，.(3)a

10、15a6a12a9a1a20a1a20×2010S20100设计这三个题的目的，是为了进一步训练解决数列问题的两种主要思想方法：方程思想与整体思想.通过第(2)(3)题的解答，体会一下Sn的两个公式的运用特点，哪一个更易利用整体思想.【例4】一个水池有若干水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池.如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？【分析】每隔相等的时间关闭一个水龙头，则每个水龙头放水的时间组成等差数列，

11、用等差数列前n项和知识解决.【解析】设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x1，x2，xn.由已知可知x2x1x3x2xnxn1，数列xn成等差数列，(x1x2xn)24n，即Sn24n，24n，x1xn48.又xn5x1，6x148，xn40(min)，故最后关闭的水龙头放水40 min.解答应用题，关键是审清题意，分析清楚各量及其关系，转化为相应的数学问题(即建立数学模型).【例5】已知数列an的首项a13，通项an与前n项和Sn之间满足2anSn·Sn1(n2).(1)求证：数列是等差数列，并求公差；(2)求数列an的通项公式.(1)【证明】因为n2时，2anSn&

12、#183;Sn1，又anSnSn1，所以2(SnSn1)Sn·Sn1.所以且.所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.(2) 【解】由(1)得(n1)，所以Sn.当n2时，anSnSn1；当n1时，a13不适合上式.所以an由an与Sn形成的综合题是常见的，因为它是数列中两个主要元素，为此对an与Sn的关系一定要搞清楚.前面对此已做过训练，对所给式子是通过变换转化为关于an的式子，还是转化为关于Sn的式子，要根据题目要求而定，此题第(1)问是证明是等差数列，所以应找到关于Sn的式子，进行推证.本课是关于等差数列的综合运用题，各题目有一定的综合性.我们解决一个题目，不仅仅是为了得到结果

13、，更重要的是通过对题目的分析、解决来巩固双基，锻炼各方面能力、心理素质，不断汲取数学思想.有的题目自己可能解不出来，但要通过老师的分析、讲解及自己的探索、总结、反思，从中总结出基本知识、方法的运用思想.即抓住其中的双基，不要只看问题的表面，有的题目所体现的思想、方法、技巧，不是让你在一节课内就全部理解、掌握，要有一个持之以恒、循序渐近的学习过程.不要一看不会，就想全部放弃，只要你充满信心，抓住基础，坚持不懈地学下去，一定会掌握其方法、其规律、其思想，最终取得成功，实现自己的理想.本课各题目所体现的基本方法、基本思想，在各题的分析及中已总结的非常清晰，在这里就不多谈了.课后练习3一、选择题1.等

14、差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项的和等于()A.160B.180C.200D.2202.如果a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则()A.a1a8a4a5 B.a1a8a4a5C.a1a8a4a5 D.a1a8a4a53.设数列an是等差数列，且a26，a86，Sn是数列an的前n项和，则()A.S4S5 B.S4S5C.S6S5 D.S6S54.在等差数列中，amn，anm(mn)，则amn为()A.mnB.0C.m2D.n25.一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是()A.1997

15、B.1999C.2001 D.20036.设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A.1B.1C.2D.二、填空题7.等差数列an中，已知a2a3a10a1136，则a5a8.8.在数列an中，a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，则S100.9.设f(x)，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为.10.若关于x的方程x2xa0和x2xb0(a，bR，且ab)的四个根组成首项为的等差数列，则ab.三、解答题11.一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和.12.设an为等差数列，Sn为数

16、列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.13.已知在正整数数列an中，前n项和Sn满足：Sn(an2)2.(1)求证：an是等差数列；(2)若bnan30，求数列bn的前n项和的最小值.14.设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，且S120，S130.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由.课后练习2以一.选择题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.1.等差数列中，那么 （ ）A. B. C. D. 2.从前个正偶数的和中减去前个正奇数的和，其差为 （ ）A. B. C. D. 3.已知等差数列，那么这个数

17、列的前项和 （ ）A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数4.等差数列的前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为( )A. B. C. D. 5.在等差数列和中，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 6.若关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则 （ ）A. B. C. D. 二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列中，若，则 .8.等差数列中，若，则公差 .9. 有一个 凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差是100，最小角为1000，则边数n= .10.若两个等差数列和的前项和分

18、别为和，且满足，则 .三.解答题11.在等差数列中，求.12. 已知等差数列an的项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。13、求在小于200的正整数中所有被6除余2的正数和。课后练习1一.选择题：1、等差数列an中，a1=60,an+1=an+3则a10为（ ）A、-600B、-120C、60D、-602、若等差数列中，a1=4,a3=3,则此数列的第一个负数项是 （ ）A、a9B、a10C、a11D、a123.若数列的通项公式为，则此数列是 （ ）A. 公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列C. 首项为的等差数列 D. 公差为的等差数列4. 已知an是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=（ ）A、36B、30C、24 D、185.等差数列的一个通项公式为 （ ）A. B. C. D. 6.若是等差数列