高考数学试题中的开放型题

1、 II精诚凝聚 7=成就梦想高考数学试题中的开放型题王思俭近年来，随着素质教育思想的不断深入，人们日益认识到数学开放题在测试能力中，特别是测试创造能力水平中的重要作用，因此，加强对开放型题的研究和教学就显得十分必要，本文拟就高考试题中所出现的开放型问题作点归纳1 数学开放型题的概念及特征所谓“数学开放题”是指“凡是答案不惟一或者条件不完备者具有多种不同的解法的习题，称之为开放题” 匚1：数学开放题有以下几个特点：(1) 不确定性：所提的问题常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描 述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题；(2) 探究性：没有现成的解题模式，有些答案可能易于直

2、觉地被发现，但是求解过程中 往往需要从多个角度进行思考和探索；(3) 非完备性：有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案 本身的多样性，而在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建；(4) 发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、 更有概括性的结论；(5) 层次性：常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数 学模型；(6) 发展性：能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属 于何种程度和水平；(7) 创新性：教师推以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中 的地位是示范者、启发者、鼓

3、励者2高考试题中常见的开放型试题近两年来，全国高考试题、上海高考试题及各地的高考模拟试题中都出现了开放型试题， 它不仅可以考查学生的素质水平，也对开放性教学起着良好的导向和推动作用，下面就高考试题中开放性试题常见的几种类型归纳如下：2.1条件开放型若其未知的要素是假设，则称为条件开放题，这种类型的考题是给定结论来反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不惟一，这类题常以基本知识为背景加以设计而成的，主要 考查学生的基础知识的掌握程度和归纳探索能力图 3 41例1: (1998年全国高考试题(文、理)第(18)题)如图，在直四棱 柱A1BQ1D1ABCD中，当底面四边形满足条件 ，有AQ丄B1D1

4、(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情 形).分析：如果A1C丄B1D1，由三垂线定理逆定理知 A1C1丄B1D1，而 使A1C1丄B1D1的四边形有无穷多个，如正方形、菱形等都可以例2: (1999年南京市高考模拟试题第 17题)设非零复数 乙，Z2 所对应的向量分别为 OZ1, 0Z2，试用Z1, Z2的形式写出0Z1丄0Z2的 一个充分非必要条件为 .分析：要使 0Z1丄0Z2,只须0Z1与0Z2的夹角为90°,于是选照亮人生 择 Z1=2iz2, |z什Z2|=|Z1 Z2I,=ai(a R+)等均可.Z2 鑼点亮心灯/(AvA)22策略开放型若其未知的要素

5、是推理，则称为策略开放题，这类题要求学生依据题目提供的题设信息， 寻找切合实际的多种途径解决问题例3: （1998年全国高考试题（理）第（10）题）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果 注水量V与水深h的函数关系的图象如下图所示，那么水瓶的形状是（）D图 3 44 II精诚凝聚 7=成就梦想图 3 44 II精诚凝聚 7=成就梦想分析：策略一：直接运算建立函数，画图较困难策略二：直觉法，根据直觉判断，排除C、D，对A、B可以考虑等量水注入容器，A的水面高，排除A.策略三：正难则反策略，利用特殊值法，取h=-H时，从函数图象上看出注水量 V>-Vo,2 2于是排除A、C、D，故选B.2.3

6、结论开放型若未知的要素是判断，则称为结论开放型题，这种类型的考题是在给定条件下探索结论的多样性，主要考查学生的发散思维和所学基本知识的应用能力例4 （1999年上海市高考试题（理）第12题）若四面体各棱的长是 1或2,且该四面体不是正四面体，则其体积的值为（只需写一个可能值）.分析：由于四面体不是正四面体，故棱长不可能都为 长分别为1和2，这样的四面体有三个：1或都为2,因此，至少有两个棱图 3 44 II精诚凝聚 7=成就梦想图 3 44 II精诚凝聚 7=成就梦想其体积分别为也兰14也.6 12 122.4综合开放型如果一个问题只给出一定的情境、条件，解题策略与结论都要求主体在情境中自行设

7、定与寻找，这类题目可称为综合开放题，对于这种问题，由于主体思考角度与经验背景不同， 必然会提出多种多样的解题策略，得到各种不同的精确的或近似的、繁冗的或简练的，可推广的或难以推广的结论，这样的问题其条件、 解题策略与结论都呈现极大的开放性，主要是考查学生的分析与解决问题的能力例5 （1999年全国高考试题（文、理）第18题）a，B是两个不同的平面， m，n是平面 a及B之外的两条不同直线，给出四个论断： m丄n;a丄B :门丄B :m丄a，以其中三 个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是.分析：题目的条件的结论都没有给出，所以是一道综合开放题，.鑼点亮心灯/（&quo

8、t;）照亮人生图 3 44 II精诚凝聚 7=成就梦想三个作条件、一个作结论有 c3=4个命题，但根据线线、线面、面面位置关系，可得到只有两个命题是正确的即=，=.例6 （1998年全国高考数学试题（理）第22题）如图，为处理含有某种杂质的污水，要 制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从 B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a, b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米，问当a, b各为多少米时经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最 小（A、B孔的面积忽略不计）.分析：本题只是用一般性的语言来描述问题的背景，其条件、解题策略与结论都

9、呈现极大开放性，是一道综合开放型试题， 主要考查建立函数关系、 不等式的性质、最值等基础知 识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法，解决实际问题的能力，本题的实质是求最值， 关键是准确建模，要求考生具有阅读、理解、表达与转化等综合素质，本题入手容易，稍有数学知识和良好心态的考生，都能顺利建立数学模型2a+4b+2ab=60(a，b>0)，y=ab(k为 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼 II精诚凝聚 7=成就梦想比例系数，k>0），但欲获得圆满解决，必须有丰富的解题策略，因而该题是策略性开放较强 的综合题.策略一：模式识别，本题实质是求ab的最大值，30=a+2b+ab>

10、;2、. 2 , ab +ab，解得abw 3 2，取等号条件a=2b=6.策略二：整体把握，30=ab+a+2b=辿 + 亚+弐+a+2b5()3 a 2b，333V 3ab 2(ab)4w 65 33，. ab< 18，当且仅当=a=2b 时，取“=”.3ab ab ab该法巧拆“ ab”为“+”，须有使不等式右边出现 （ab）4的目标意识和预见333力.策略三：问题转化 1:换元法，令 a=v+u，2b=u v，由已知有：v2+4v- 60=u2> 0.故v>6 或 v< 10(舍)，ab=v -u=30 2v w 18. 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼 II精诚凝聚 7=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼 II精诚凝聚 7=成就梦想问题转化2: ab=罟严=34 -（2t罕，利用基本不等式求解（其中t=b+1）策略四：数形结合，消去a化为y=k 30-2b1，转化为吋）与（2b， b）（b>0）连线 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼 II精诚凝聚 7=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼 II精诚凝聚