不定积分的第二类换元积分法

1、上页下页铃结束返回首页不定积分的第二类换元积分法不定积分的第二类换元积分法第一页，共16页。一、第二类换元法基本定理一、第二类换元法基本定理v定理定理2 2 设设x j j(t)是单调的、可导的函数是单调的、可导的函数, , 并且并且j j (t) 0. . 又设又设f j j(t)j j (t)具有原函数具有原函数F(t), , 则有换元公式则有换元公式其中其中t j j-1-1(x)是是x j j(t)的反函数的反函数. . 这是因为这是因为, , 由复合函数和反函数求导法则由复合函数和反函数求导法则, , dtttfdxxf)()()(jj.)()(1CxFCtF-j第二页，共16页。一

2、、第二类换元法基本类型v（1 1）三角代换去根式）三角代换去根式 v（2 2）根式代换）根式代换( (去根式去根式) ) v（3 3）倒代换倒代换第三页，共16页。v（1 1）三角代换去根式）三角代换去根式 去根式去根式)0(22-axa作代换作代换,sintax .cos22taxa-去根式去根式)0(22-aax作代换作代换,sectax .tan22taax-去根式去根式)0(22axa作代换作代换,tantax .sec22taxa),2,2(-t),2,2(-t)2, 0 (ttdtadxcostdtadx2sectdttadxtansecxysec 第四页，共16页。例例1 1 求

3、求)0(d22-axxa解解 令taxsinttaxdcosd -2,2txxad22-ttadcos22-taa222sinttad22cos12Ctta)2sin21(22辅助三角形辅助三角形ttadcosaxaarcsin22Cttta)cossin(22Cxax-222 回代回代第五页，共16页。例例2 2 求求解解)0(d122axax令taxtanttaxdsecd2xaxd122tasec1ttdsec1|tansec|lnCtt-2,2taCaxxln|ln122-Caxx|ln22ttadsec2 回代ln1Caax22ax辅助三角形辅助三角形第六页，共16页。例例3 3 解

4、解 当xa 时, (CC1-lna) 回代辅助三角形辅助三角形1|tansec|lnCtt122lnCaaxax-Caxx-22ln)2, 0(t第七页，共16页。当x0). 解解 222lnCauu-222lnCaxx-(CC2-2lna) Caxx-22ln第八页，共16页。例例4 4xxxd)1 (13求令),0(6ttxttxd6d5xxxd)1 (13ttttd)1 (6235tttd1622-tttd111622-ttd11162Ctt-arctan 6Cxx-arctan 666解解v（2 2）根式代换）根式代换( (去根式去根式) ) 第九页，共16页。例例5 5 求求解解xe

5、xd11,1xet令, 12- tex.d12d2tttx-xexd11ttd122-Ctt-11lnCxex-) 11ln(2),1ln(2-txttttd1212-v（2 2）根式代换）根式代换( (去根式去根式) ) 第十页，共16页。例例6 6 xxxd)2(17求令,1tx ttxd1d2-xxxd)2(17ttttd12127-tttd2176Ct-|21 |ln1417Cxx-|ln21|2|ln1417-7721)21 (d141tt可作倒代换.1tx 一些情况下一些情况下(如被积函数是分式如被积函数是分式, 分母的方幂较高时),解解(3)倒代换倒代换第十一页，共16页。上页下

6、页铃结束返回首页课堂练习：课堂练习：(1).d1143xxx94d2xx(2)-22dxxxx（3）第十二页，共16页。上页下页铃结束返回首页（1） 求解.d1143xxxxxxd1143令ttxd1d2-ttttd111243-tttd143-)d(114144tt-1Ct -4121.2124Cxx-,1tx 第十三页，共16页。上页下页铃结束返回首页94d2xx223)2(dxx解Cxx942ln21294d2xx223)2()2(d21xx（2）求第十四页，共16页。上页下页铃结束返回首页-22)d1(xxxx解-22dxxxx-22dxxxx（3）求-22dxxx-222)d(221xxxx-2) 1(1) 1d(xxCxxx-) 1arcsin(22第十五页，共16页。课堂小结课堂小结 熟记第二换元积分