第1章 1.2 第2课时　角度问题

1、.第2课时角度问题学习目的：1.能灵敏运用正弦定理及余弦定理解角度问题重点2.会将实际问题转化为解三角形问题难点3.能根据题意画出几何图形易错点自 主 预 习·探 新 知1方位角从指北方向按顺时针转到目的方向线所成的程度角如点B的方位角为如图1­2­18所示方位角的取值范围：0°360°.图1-2-182方向角从指定方向线到目的方向线所成的小于90°的程度角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.根底自测1判断正确的打“，错误的打“×1假设P在Q的北偏东44°，那么Q在P

2、的东偏北44°方向2如图1­2­19所示，该角可以说成北偏东110°.图1­2­193方位角与方向角其本质是一样的，均是确定观察点与目的点之间的位置关系，其范围均是.4假设点A在点C的北偏东30°方向，点B在点C的南偏东60°方向，且ACBC，那么点A在点B北偏西15°方向解析1错误因假设P在Q的北偏东44°，那么Q应在P的南偏西44°.2错误因本图所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.3错误因为方向角的范围为0°90°，而方位角的范围为0&#

3、176;360°.4正确答案1×2×3×42某次测量中，A在B的南偏东34°27，B在A的【导学号：12232045】A北偏西34°27B北偏东55°33C北偏西55°33D南偏西55°33A如下图3两座建筑A，B与规划测量点C的间隔 相等，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，那么A在B的A北偏东10°B北偏西10°C南偏东10°D南偏西10°B如图，因为ABC为等腰三角形，所以CBA180°80°50°，6

4、0°50°10°.即北偏西10°.4某人从A处出发、沿北偏西60°行走2 km到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，那么A、C两地的间隔 为_km.【导学号：12232046】2如下图，ABC30°，又AB2，BC2，由余弦定理得AC2AB2BC22AB×BCcosABC1242×2×2×4，AC2，所以A、C两地的间隔 为2 km.合 作 探 究·攻 重 难角度问题1如图1­2­20，两座灯塔A和B与海岸观察站C的间隔 相等，灯塔A在观察站南偏西40

5、6;，灯塔B在观察站南偏东60°，那么灯塔A在灯塔B的图1­2­20A北偏东10°B北偏西10°C南偏东80°D南偏西80°2有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是 【导学号：12232047】A.，60°B，60°C.，30°D，30°思路探究1两座灯塔A，B与观察站C的间隔 相等，说明A与B有何大小关系？灯塔B在观察站南偏东60°，说明CBD是多少度？2本小题关键是理解坡比与坡角的意义解析1由条件及

6、图可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2如下图，横断面是等腰梯形ABCD，AB10 m，CD6 m，高DE2 m，那么AE2 m，tan DAE，DAE60°.答案1D2B规律方法测量角度问题画示意图的根本步骤：跟踪训练1在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停顿转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，假设不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，大小为_k

7、m/h.60°20如图，AOB60°，由余弦定理知OC2202202800cos 120°1 200，故OC20，COY30°30°60°.求航向的角度某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处得悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，间隔 为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间. 【导学号：12232048】思路探究此题中所涉及的路程在不断变化，但舰

8、艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形解如下图，根据题意可知AC10，ACB120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，那么AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°，所以212t210281t22×10×9t×，即360t290t1000，解得t或t舍去所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理得，所以sinCAB，即CAB21.8°或CAB158.2°舍去即

9、舰艇航行的方位角为45°21.8°66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近渔轮规律方法1.测量角度问题的关键是在弄清题意的根底上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和间隔 ，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角.因为余弦函数在0，上是单调递减的，而正弦函数在0，上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角.但角在上时，用正、余弦定理皆可.跟踪训练2某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距201 n mile的

10、海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile，正以每小时10 n mile的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且1 h后开场影响基地持续2 h求台风挪动的方向. 【导学号：12232049】解如下图，设预报时台风中心为B，开场影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，那么B，C，D在一直线上，且AD20，AC20.由题意AB201，DC20，BC1·10.在ADC中，DC2AD2AC2，DAC90°，ADC45°.在ABC中，由余弦定理得cosBAC.BAC30°，又B位于A南偏东60°，60

11、6;30°90°180°，D位于A的正北方向，又ADC45°，台风挪动的方向为向量的方向即北偏西45°方向答：台风向北偏西45°方向挪动求解速度问题探究问题1某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50°，间隔 是4 km，从B到C，方位角是80°，间隔 是8 km，从C到D，方位角是150°，间隔 是6 km，试画出示意图提示如下图：2在探究1中，假设投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，那么此人的速度至少是多少？提示如探究1图，在ABC中，ABC50°180°80

12、76;150°，由余弦定理得AC，那么此人的最小速度为v8km/h3在探究1中假设投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？提示投递员到达C点的时间为t1小时30分钟，追投递员的人所用时间由探究2可知t20.55 小时33分钟；由于30<3310，所以此人在C点不能与投递员相遇如图1­2­21所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶图中的箭头方向为汽车行驶方向，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的间隔 为5公里、间隔 公道路的垂

13、直间隔 为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？ 【导学号：12232050】图1­2­21思路探究根据图形构造三角形利用余弦定理建立速度与时间的函数求解解作MI垂直公路所在直线于点I，那么MI3，OM5，OI4，cosMOI.设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理得vt25250t22×5×50t×，即v22 50025900900，当t时，v获得最小值为30，其行驶间隔 为vt公里故骑摩托车的人至少

14、以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里规律方法解决实际问题应注意的问题：1首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.2将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.跟踪训练3如图1­2­22，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处1n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，间隔 A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船图1­2­22此时，走私船正以10 n

15、 mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？解设缉私船用t h在D处追上走私船，那么有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120°，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC12222·1·2·cos 120°6，BC，且sinABC·sinBAC·.ABC45°.BC与正北方向垂直CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30°.即

16、缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船当 堂 达 标·固 双 基1台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向挪动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为【导学号：12232051】A0.5 hB1 hC1.5 hD2 hB2一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，那么水柱的高度是A50 mB100 mC120 mD150 m

17、A设水柱高度是h m，水柱底端为C图略，那么在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，h2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即h50h1000，即h50，故水柱的高度是50 m3两灯塔A和B与海洋观测站C的间隔 都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，那么灯塔A与灯塔B的间隔 为_km.【导学号：12232052】a由题意知ACB120°，ACBCa，由余弦定理，得AB2a2a22a×a×cos

18、120°3a2，ABa.4一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，假设此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，那么此船沿_方向行驶_海里至海岛C.北偏东40°10在ABC中，ABC110°10°120°.又ABBC，故CABACB30°，AC10.故此船沿着北偏东70°30°40°方向行驶了10海里到达海岛C.5如图1­2­23，某海轮以60海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，