控制系统的数学模型

1、第3章 控制系统的数学模型第第3 3章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型本章主要内容本章主要内容(1)利用利用MATLAB描述在控制系统中常见的几种数学模型；描述在控制系统中常见的几种数学模型；(2)利用利用MATLAB实现任意数学模型之间的相互转换；实现任意数学模型之间的相互转换；(3)利用利用MATLAB求解系统经过串联、并联和反馈连接后求解系统经过串联、并联和反馈连接后的系统模型；的系统模型；(4)利用利用MATLAB获取一些典型系统的模型；获取一些典型系统的模型；(5)利用利用MATLAB求取系统的特性函数。求取系统的特性函数。 第3章 控制系统的数学模型v3.1线性系统数学模型

2、的基本描述方法线性系统数学模型的基本描述方法v3.2模型的转换模型的转换与连接与连接v3.3典型系统的生成典型系统的生成v3.4系统的特性值系统的特性值第第3 3章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第3章 控制系统的数学模型u控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控

3、制器，使得系统响应达到预期的设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。效果，从而符合工程实际的需要。u在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模型传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、（系统的内部模型）、零极点增益模型零极点增益模型和和部分分式部分分式模型模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。互进行转换。第3章 控制系统的数学模型按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系按系统性能分

4、：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统。统；定常系统和时变系统。v 线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程的线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统线性定常连续系统为主。为主。v 线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。脉冲序列或数码形式。这类系统用

5、差分方程来描述。v 非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。的系统。3.1 线性系统数学模型的基本描述方法线性系统数学模型的基本描述方法3.1.1系统的分类系统的分类第3章 控制系统的数学模型v 微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。v

6、如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。v 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了提供了ode23、ode45等微分方程等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统

7、，也适用于非线性及时的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。变系统。3.1.2 3.1.2 微分方程模型微分方程模型第3章 控制系统的数学模型例例exp3_1exp3_1RLCRLC网络如图所示，试求以网络如图所示，试求以UcUc作输出，以作输出，以UrUr作输入的微分方程与作输入的微分方程与传递函数模型。传递函数模型。求微分方程求微分方程clear;clear;syms ai aip ur ucpp ucp uc syms ai aip ur ucpp ucp uc R L C;R L C;aip=Caip=C* *ucpp;ucpp;ul=Lul=L* *aip;

8、aip;ur=Rur=R* *ai+ul+uc;ai+ul+uc;ur=subs(ur,ai,Cur=subs(ur,ai,C* *ucp)ucp)程序运行结果：程序运行结果：Ur=RUr=R* *C C* *ucp+Lucp+L* *C C* *ucpp+ucucpp+uc即有微分方程为：即有微分方程为：求传递函数模型：求传递函数模型：clear;symsRLCsUrUc;Uc=simple(Ur*(1/(s*C)/(R+s*L+1/(s*C);G=factor(Uc/Ur)程序运行结果：程序运行结果：G=1/(R*s*C+s2*L*C+1)rcccuudtduRCdtudLC22第3章 控

9、制系统的数学模型对线性定常系统，式中对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且的系数均为常数，且a1不等于零，这时不等于零，这时系统在系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和和den表示表示:num=b1,b2,bm,bm+1den=a1,a2,an,an+1注意：它们都是按注意：它们都是按s的降幂进行排列的。的降幂进行排列的。1)1)连续系统的传递函数连续系统的传递函数连续系统的传递函数如下：连续系统的传递函数如下：11211121.)(nnnnmmmmasas

10、asabsbsbsbsG3.1.3 3.1.3 传递函数模型传递函数模型第3章 控制系统的数学模型零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。获得系统的零点和极点的表示形式。).()().()()(2121nmpspspszszszsKsGv在在MATLAB中零极点增益模型用中零极点增益模型用z,p,K矢量组表示。即：矢量组表示。即：z=z1,z2,zmp=p1,p2,.,pnK=kv函数函数

11、tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。可以用来求传递函数的零极点和增益。2)零极点增益模型零极点增益模型K K为系统增益，为系统增益，z zi i为零点，为零点，p pj j为极点为极点第3章 控制系统的数学模型v 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。其表现为一些基本控制单元的和的形式。v 函数函数r,p,k=residue(num,den)r,p,k=residue(num,den)对两个多项式的比进行部分展对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。开，以

12、及把传函分解为微分单元的形式。v 向量向量b b和和a a是按是按s s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量余数返回到向量r r，极点返回到列向量，极点返回到列向量p p，常数项返回到，常数项返回到k k。v num,den=residue(r,p,k)num,den=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)p(s)/q(s)。3)部分分式展开部分分式展开(零极点留数模型零极点留数模型)hpsrpsrpsrsGnn2211)(第3章 控制系统的数学模型举例：传递函数描述举例：

13、传递函数描述(1)num=12,24,0,20;den=24622;(2)借助多项式乘法函数借助多项式乘法函数conv来处理：来处理：num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5)22642202412)(23423sssssssG) 523() 1()66)(2( 4)(23322sssssssssG第3章 控制系统的数学模型(3)(3)零极点增益模型：零极点增益模型：num=1,11,30,0;num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50; z,p,k=tf2

14、zp(num,den)den=1,9,45,87,50; z,p,k=tf2zp(num,den)50874593011)(23423ssssssssG)43)(43)(2)(1() 5)(6()(jsjsssssssGz=0-6-5p=-3.0000+4.0000i-3.0000-4.0000i-2.0000-1.0000k=1结果表达式结果表达式：第3章 控制系统的数学模型(4)部分分式展开：部分分式展开：num=2,0,9,1;den=1,1,4,4;r,p,k=residue(num,den)44192)(233ssssssG12225. 0225. 02)(sisiisisGp=0.

15、0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000k=2r=0.0000-0.2500i0.0000+0.2500i-2.0000结果表达式结果表达式：第3章 控制系统的数学模型状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入态方程，经典控制理论用传递函数将输入输出关系表达出输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。DuCxy

16、BuAxx在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。3.1.4 3.1.4 状态空间描述状态空间描述第3章 控制系统的数学模型BSICDAx xuy结构图线性连续系统状态变量第3章 控制系统的数学模型解：解：以以 作为中间变量，列写该回路的微分方程作为中间变量，列写该回路的微分方程 选选 )(tidiLdt)(tuc)(tu)(tucc1idtRL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出RiC为系统两状态变量，则原方程可化成为系统两状态变量，则原方程可化成: :ix 1idtx2状态空间状态空间描述举例描述举例第3章 控制系统的数学模型uLxxLCLRxx01011

17、21212110 xxCy第3章 控制系统的数学模型举例：举例：系统为一个两输入两输出系统系统为一个两输入两输出系统A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14;A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14;B=4 6; 2 4; 2 2; 1 0;B=4 6; 2 4; 2 2; 1 0;C=0 0 2 1; 8 0 2 2; C=0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2);D=zeros(2,2);xyuxx22081200012242641413125119748612310961第3章 控

18、制系统的数学模型表表1线性系统模型及其表述矩阵线性系统模型及其表述矩阵第3章 控制系统的数学模型v 在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。v 模型转换的函数包括：模型转换的函数包括：residueresidue：传递函数模型与部分分式模型互换：传递函数模型与部分分式模型互换ss2tfss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型状态空间模型转换为传递函数模型ss2zpss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型状态空间模型转换为零极点增益模型tf2s

19、stf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型传递函数模型转换为状态空间模型tf2zptf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型传递函数模型转换为零极点增益模型zp2sszp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tfzp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型零极点增益模型转换为传递函数模型3.23.2 模型的转换与连接模型的转换与连接3.2.1模型的转换模型的转换第3章 控制系统的数学模型模型转换的七种函数模型转换的七种函数第3章 控制系统的数学模型用法举例：用法举例：1）已知系统状态空间模型为：）已知系统状态空间模型为：A=0 1; -1 -

20、2; B=0;1; A=0 1; -1 -2; B=0;1; C=1,3; D=1;C=1,3; D=1;num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)iuiu用来指定第用来指定第n n个输入，当只有一个输入时可忽略。个输入，当只有一个输入时可忽略。num=1 5 2; den=1 2 1num=1 5 2; den=1 2 1z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)z= -4.5616 p= -1 k=1z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1 -0.4384 -1

21、uxyuxx31102110第3章 控制系统的数学模型2 2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：num=00-2;0-1-5;120;den=16116;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A=-6-11-6B=1C=00-2D=010000-1-5001001200 61162)(61165)(61162)()()(23231232123111ssssssGsssssGssssusysG第3章 控制系统的数学模型3 3）系统的零极点增益模型：）系统的零极点增益模型：z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;z=-3;p=-1,-2,-

22、5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num,den=zp2tf(z,p,k)num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10 A,B,C,D=zp2ss(z,p,k) A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)A= -1.0000 0 0 B=1 A= -1.0000 0 0 B=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 0 3.1623 0 0 C= 0 0 1.8974 D=0 C= 0 0 1.8974 D=0 v 注意：零

23、极点的输入可以写成行向量，也可以写成列向量。注意：零极点的输入可以写成行向量，也可以写成列向量。 ) 5)(2)(1() 3( 6)(sssssG第3章 控制系统的数学模型4）已知部分分式：）已知部分分式：r=-0.25i,0.25i,-2;p=2i,-2i,-1;k=2;num,den=residue(r,p,k)num=2091den=1144注意余式一定要与极点相对应。注意余式一定要与极点相对应。 12225. 0225. 02)(sisiisisG第3章 控制系统的数学模型v 在一般情况下，控制系统常常由若干个环在一般情况下，控制系统常常由若干个环节通过节通过串联、并联和反馈连接串联、

24、并联和反馈连接的方式而组成，的方式而组成，对在各种连接模式下的系统能够进行分析就需对在各种连接模式下的系统能够进行分析就需要对系统的模型进行适当的处理要对系统的模型进行适当的处理, , 在在MATLABMATLAB的的控制系统工具箱中提供了大量的对控制系统的控制系统工具箱中提供了大量的对控制系统的简单模型进行连接的函数。简单模型进行连接的函数。3.2.2 3.2.2 模型的连接模型的连接第3章 控制系统的数学模型v v在MATLAB的控制系统工具箱中提供了系统的串联连接处理函数series( )，它既可处理由状态方程表示的系统，也可处理由传递函数阵表示的单输入多输出系统，其调用格式为vA ,B

25、 ,C,D=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)v和和num,den=series(num1,den1,num2,den2)1）串联连接）串联连接第3章 控制系统的数学模型2)2)并联连接并联连接v 在在MATLABMATLAB的控制系统工具箱中提供了系统的并联的控制系统工具箱中提供了系统的并联连接处理函数连接处理函数parallel( )parallel( )，该函数的调用格式为，该函数的调用格式为 A ,B ,C,D=parallel(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)和和 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)v

26、 其中前一式用来处理由其中前一式用来处理由状态方程表示的系统，后状态方程表示的系统，后一式仅用来处理由传递函一式仅用来处理由传递函数阵表示的单输入多输出数阵表示的单输入多输出系统。系统。第3章 控制系统的数学模型3)反馈连接反馈连接v在在MATLAB的控制系统工具箱中提供了系统反的控制系统工具箱中提供了系统反馈连接处理函数馈连接处理函数feedback(),其调用格式为其调用格式为vA,B,C,D=feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2 ,sign)和和num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)v其中前一式用来处理由状态方程表

27、示的系统，后一其中前一式用来处理由状态方程表示的系统，后一式用来处理由传递函数式用来处理由传递函数表示的系统，表示的系统，sign为反馈为反馈极性，对于正反馈极性，对于正反馈sign取取1，对，对负反馈取负反馈取-1或缺省或缺省。第3章 控制系统的数学模型 特别地，对于单位反馈系统，特别地，对于单位反馈系统，MATLAB提供了更提供了更简单的处理函数简单的处理函数cloop()，其调用格式为，其调用格式为A,B,C,D=cloop(A1,B1,C1,D1,sign)和和num,den=cloop(num1,den1,sign)A,B,C,D=cloop(A1,B1,C1,D1,outputs,

28、inputs)其中其中第三式表示将指定的输出第三式表示将指定的输出outputs反馈到指定的输反馈到指定的输入入inputs,以此构成闭环系统以此构成闭环系统, outputs指定反馈的输出序指定反馈的输出序号，号，inputs指定输入反馈序号。指定输入反馈序号。第3章 控制系统的数学模型v例例已知系统的方框图如图所示，求系统的传已知系统的方框图如图所示，求系统的传递函数。递函数。第3章 控制系统的数学模型v解 MATLAB语句如下所示语句如下所示vnum1=10;den1=1 1;num2=1;den2=2 0.5;vnum3=540;den3=1;num4=0.1;den4=1;vna,d

29、a=series(num1,den1,num2,den2);vnb,db=feedback(na,da,num4,den4,-1);vnc,dc=series(num3,den3,nb,db);vnum,den=cloop(nc,dc,-1);vprintsys(num,den)结果显示结果显示v num/den=5 .54015 . 2225400ss第3章 控制系统的数学模型3.3典型系统的生成典型系统的生成v1)1)建立二阶系统模型建立二阶系统模型v可利用可利用 MATLABMATLAB所提供的函数所提供的函数ord2( )ord2( )来建来建立，其调用格式为立，其调用格式为v num

30、num, ,denden=ord2(=ord2(n n,),)v或或 A A, ,B B, ,C C, ,D D=ord2(=ord2(n n,),)2221)(nnsssG第3章 控制系统的数学模型v2)建立随机建立随机n阶模型阶模型vA,B,C,D=rmodel(n)%可得到一个单变量可得到一个单变量n阶稳定系阶稳定系统模型；统模型；vA,B,C,D=rmodel(n,m,r)%可得到一个可得到一个r输入输入m输出的输出的随机随机n阶稳定模型；阶稳定模型；vnum,den=rmodel(n)%可得到一个单变量系统的随可得到一个单变量系统的随机机n阶稳定模型；阶稳定模型；vnum,den=r

31、model(n ,m)%可得到一个单输入可得到一个单输入m输出的输出的随机随机n阶稳定模型；阶稳定模型；vdrmodel()%可得到稳定的离散时间随机模型。可得到稳定的离散时间随机模型。第3章 控制系统的数学模型在分析控制系统的时候，经常用到系统的一些特性在分析控制系统的时候，经常用到系统的一些特性函数，如系统的增益、阻尼系数和自然频率等等，函数，如系统的增益、阻尼系数和自然频率等等，MATLAB的控制系统工具箱中提供了相应的函数用来的控制系统工具箱中提供了相应的函数用来计算系统的特性函数，如表计算系统的特性函数，如表2所示。所示。 函函数数名名功功能能damp()求系统的阻尼系数和自然频率求系统的阻尼系数和自然频率ddamp()求离散系统的阻尼系数和自然频率求离散系统的阻尼系数和自然频率dcgain()求连续控制