数学经典易错题会诊与高考试题预测3

1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测(三)考点-3 函数 (2)二次函数的图象和性质的应用指数函数与对数函数的图象和性质的应用函数的应用二次函数闭区间上的最值的问题三个“二次”的综合问题含参数的对数函数与不等式的综合问题经典易错 会诊命题角度1 二次函数的图象和性质的应用 1(典型例题)已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t)若函数f(x)=ab在区间(-1，1)上是增函数，求t 的取值范围 考场错解 依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t，则f(x)=-3x2-2x+t. 若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有f0t3x2-2x在区

2、间(-1，1)上恒成立设g(x)= 3x2-2x=3(x-)2-，当x=时，g(x)min=- t-即t的取值范围是-,+. 专家把脉 上面解答由t3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立得t大于或等于3x2-2x的最小值是错误的因为若tg(x)min只能说存在一个x的值能使t3x2-2x成立，但不能保证x在(-1，1)上的每一个值都能使t3x2-2x成立因而t应大于或等于g(x)在(-1，1)上的最大值 对症下药 解法1：依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t.则f(x)=-3x2+2x+t(-1,1)上是增函数，则f(x)=-3x2+2x+t0在 (-1，1)上

3、恒成立，即t3x2-2x在(-1，1)上恒成立 设g(x)=3x2-2x=3(x-)2-对称轴为x=g(x)0即f(x)在(-1，1)上是增函数故t的取值范围是5，+ 2(典型例题)已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于，又当x时，f(x). (1)求a的值; (2)设0a1，an+1=f(an)，n N*，证明：an. 考场错解 第(1)问，f(x)=ax-x2=-(x-a)2+ ，即a21-1a1 又当x时,f(x)，即f(x) 在上恒成立f(x)在上的最小值为f() f()即. 综合，知a1 专家把脉 上面解答错在f(x)在的最小值的计算上，由得-1a1(-,)，对称轴x=离端点较远

4、，因此,f(x)的最小值应是f().而不是f(). 对症下药 (1)由于f(x)=ax-x2=-(x-)2+f(x)的最大值为.,即a21-1a1又x时，f(x)，即f(x)在上恒成立f(x)min.由得-1a1-a.f(x)在上的最小值为f()=-.-解得a1 由,得a=1.(2)(i)当n=1时,0a1，不等式0an0，x(0，)，所以0a2=f(a1).故n=2时，不等式也成立.()假设n=k(k2)时，不等式0ak成立，因为f(x)=x-x2的对称轴x=知f(x)在0，上为增函数，所以0ak得0f(ak)f()于是有0ak+1-2x的解集为(1，3) (1)若方程f(x)+6a=0有两

5、个相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围 考场错解 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)+2x=ax2+(b+2)x+c0的解集为(1，3)，1、3是方程ax2+(b+2)x+c=0的两根，f(x)=ax2-(2+4a)x+3a 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0 方程有两个相等的根，=-(2+4a)2-4a9a=0即 5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-.f(x)的解析式为f(x)=x2-6x+9或f(x)=- x2-x-.(2)由f(x)=ax2-(2+4a)x+3a=a(x-)2-可得f(x)的最大值为- 令-0

6、a(a+2+)(a+2-)0 解得0-2-或-2+a0 故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-，-2-)(-2+，0) 专家把脉 上面解答由f(x)+2x0的解集为(1，3)忽视了隐含条件a0所以(1)应舍去a=1另外第(2)问若没有a0这个条件，也不能说f(x)的最大值是-，从而很不容易求得a的范围对症下药 (1)f(x)+2x0的解集为(1，3),f(x)+2=a(x-1)(x-3)且a0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0 因为方程有两个相等的根，=-(2+4a)2-4a9a=

7、0即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-. 由于a0，舍去a=1将a=-代入得f(x)的解析式为f(x)=- x2-x-. (2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a0，可得f(x)的最大值为-.由， 解得a-2-或-2+af(0)f(-2) Bf(-2)f(2)(0) Cf(0)f(-2)f(2)D. f(-2)f(0)f(2) 答案：B解析：由f(1+x)=f(-x)得f(x)的对称轴x=b=-1. f(2)=2+c,f(-2)=6+c,f(0)=c. f(-2)f(2)f(0).2 若函数y=x2-2x+3在闭区间0，m上有最大值为3，最小值为2，则m的取值

8、范围是_. 答案：1,2解析：y=(x+1)2+2是以直线x=1为对称轴开口向上、其最小值为2的抛物线，又f(0)3.结合图象易得，2m1. m的取值范围是1，2.3 设函数f(x)=ax2+bx+1(1，bR) (1)若f(-1)=0，则对任意实数均有f(x)0成立，求f(x)的表达式答案：解析：（1）f(-1)=0a-b+1=0b=a+1,又对任意实数均有f(x) 0成立，f(x)=x2+2x+1.(2)在(1)的条件下，当x-2，2时，g(x)=xf(x)-kx是单调递增，求实数k的取值范围 答案： g(x)=xf(x)-kx=x(x2+2x+1)-kx=x3+2x2+(1-k)x,g(

9、x)=3x22222+4x+1-k0在-2，2上恒成立g(x)在-2，2上的最小值g(x)(-)4 已知二次函数f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最大值为3，求a的值答案：解析：原函数式可化为f(x)=lga由已知，f(x)有最大值3，lga0并且整理得4（lga）2-3lga-1=0解得lga=1,lga=命题角度 2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 1(典型例题)函数y=elnx-|x-1|的图像大致是 ( ) 考场错解 选A或B或C 专家把脉 选A，主要是化简函数y=elnx-|x-1|不注意分x1和x1两种情况讨论，选B，主要是化简时错误地认为当，x1时，elnx-|x-

10、1|=-.选C，主要时当x1时化简错误对症下药 D f(x)=elnx-|x-1|=作出其图像即可 2(典型例题)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0x1x2恒成立的函数的个数是 ( ) A.0 B1 C2 D3 考场错解 C 专家把脉 对四个函数图像不熟悉导致错误由题设条件知F(x)在(0，1)上是凸函数，认为y=log2x和y=cos2x在(0，1)上是凸函数其实y=cos2x在(0，)是凸函数，在(，1)是凹函数.对症下药 B 根据条件，当0x1x2恒成立知f(x)在(0，1)上是凸函数，因此只有y=log2x适合y=2x和y=x2在(0，1)上是函数y

11、=cos2x在(0，)是凸函数，但在(，1)是凹函数，故选B 3(典型例题)若函数f(x)=loga(2x2+x)(a0且a1)在区间(0, )内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为 ( ) A.(-，-) B(-，+) C(0，+) D(-，-) 考场错解 选A或C 专家把脉 选A，求f(x)的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误；选C，求复合函数的单调区间时没有注意内、外层函数均递减时，原函数才是增函数事实上 (0，+)是f(x)的递减区间对症下药 D f(x)=loga(2x2+x)(a0且a1)在区间(0，)内恒有f(x)0，若a1，则由f(x)0 x或x-1与题设矛盾.0a0x

12、0或x0) (1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)及f(x)的导数f(x) (2)假设对任意xln(3a)，ln(4a)不等式m-f-1(x)lnf(x)lna)，f(x)=ln(ex+a)= (2)由m-f-1(x)+lnf(x)0得-ln+ln(ex-a)mln(ex-a)+ln在(ln(3a)，ln(4a)上恒成立设h(x)=ln(ex-a)+ln. S(x)=-ln+ln（ex-a)即mh(x)mni.且mS(x)max S(x)，h(x)=ln(ex-a)+ln(1+)在ln(3a)，ln(4a)上是增函数h(x)min=ln(2a)+ln=ln(a) S(x)max=ln

13、(3a)-ln=ln(a) ln(a)mlna)，f(x)= . (2)解法1 由m-f-1(x)+ln(f(x)0得-ln+ln(ex-a)mln(ex-a)+ln即对于xln(3a)，ln(4a)恒有em 设t=ex，u(t)=，v(t)=，于是不等式化为u(t)emv(t)，t3a，4a当t10 u(t)，v(t)在3a，4a上是增函数 因此，当t3a，4a时，u(t)的最大值为u(4a)= a，v(t)的最小值为v(3a)=a，而不等式成立，当且仅当u(4a)emv(3a) 即aema，于是，得ln amln(a)解法2 由m-f-1(x)+ln(f(x)0得ln(ex-a)-ln(e

14、x+a)+xmln(ex-a)+ln(ex+a)-x设(x)=ln(ex-a)-ln(ex+a)+x，r(x)=ln(ex-a)+ln(ex+a)-x，于是原不等式对于xln(3a)，ln(4a)恒成立等价于 (x)mr(x) 由(x)=+1,-1注意到0ex-aex0，r(x)0，从而可知 (x)与r(x)均在ln(3a)，h(4a)上单调递增，因此不等式成立，当且仅当 (ln(4a)mr(ln(3a)，即ln(a)mln(a)专家会诊论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时，首先要弄清复合函数的构成，然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域，忽视指数和对数的底数对

15、它们的图像和性质起的作用.考场思维训练1 已知函数f(x)=(ex+e2-x)(x1)(其中e为自然对数的底数)，则 ( ) Af-1()f-1() Bf-1()f-1() C.f-1()f-1(2) D.f-1()f-1(2) 答案： D解析：f(x)=2 已知f(x)=ax+loga(x+1)在0，1上的最大值与最小值之和为a，则a的值为 ( ) A. B. C2 D4 答案： B解析：f(x)=ax+loga(x+1)是单调递增（减）函数. (y=ax与y=loga(x+1)单调性相同).且在0，1的最值分别在端点处取得，最值之和：f(0)+f(1)=ao+loga1+log22=2,

16、loga2+1=0, a=选B.3 对于0a1，给出下列四个不等式 ( ) loga(1+a)loga(1+) loga(1+a)loga(1+) a1+a 其中成立的是 ( )A.与 B.与 C.与 D与 答案： D 解析： 选D。4 已知函数f(x)=loga(-2)x+1在区间1，2上恒为正，求实数a的取值范围答案：在区间1，2上使f(x)0恒成立。解析：（1）当a1时，只要即与1矛盾. (2)当0a1时，设g(x)=只要0g(x)1. a=时，g(x)=1f(x)=0不能使f(x)恒为正。 当0a时，当命题角度 3 函数的应用 1(典型例题)某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位

17、：万元)分别为L1=506x-015x2，和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ( ) A45606 B456 C468 D46806考场错解 D 设甲地销售x轴，则乙地销售15-x辆总利润L=L1+L2=5.06x-015x2+2(15-x)=-015x2+306x+30=-O15(x-)2+46.806 当x=时，获得最大利润46806万元故选D. 专家把脉 上面解答中x=不为整数，在实际问题中是不可能的，因此x应根据抛物线取与x=接近的整数才符合题意 对症下药 B 设甲地销售x辆则乙地销售(15-x)辆，则总利润L=L1+L2=50

18、6x-015x2+2(15-x)=-015x2+306x+30=-015(x-102)2+46806 根据二次函数图像和xN*，当x=10时，获得最大利润L=-015102+30610+30=456万元选B 2甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格) (1)将乙方的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量 (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失余额

19、y=0002t2.在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少? 考场错解 (1)因为赔付价格为S元吨，所以乙方的实际利润为：W=2000-St=(2000-S)=S(2000-)S=10003S当且仅当=2000-.即t=106(吨)时W取得最大值(2)设甲方净收入为v元，则v=St-0.002t2,将t=106代入上式v=106S-10120.002=106(S-2103).v在(0，+)上是增函数即S越大，v越大，故甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是任意大的数字 专家把脉 上面解答主要在第(1)问求w的最

20、值时，变形出了错误，即由w=2000-St=S(2000-)正确的变形为w=2000-St=S(-)这一步出错导致后面结果都是错误的 对症下药 (1)解法1 因为赔付价格为S元吨，所以乙方的实际年利润为：W=2000-St W=2000-St=S(-)S=()2当且仅当=-即t=()2时，W取得最大值 乙方取得最大年利润的年产量t=()2吨 解法2 因为赔付价格为S元吨，所以乙方的实际年利润为W=2000-St W=2000-St=-S(-)2+ 当t=()2时，w取得最大值 乙方取得最大年利润的年产量t=()2 (吨)解法3 因为赔付价格为S元吨，所以乙方的实际年利润为：w=2000-St由

21、w=-S=,令w=0得t=t0=()2当t0；当tt0时，w0所以t=t0时w取得最大值因此乙方取得最大年利润的年产量t0=()2吨(1) 设甲方净收入为v元，则v=St-0002t2 将t=()2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式v=-.又v=-令v=0得S=20，当S0；当S20时，v0，S=20时，v取得最大值 因此甲方向乙方要求赔付价格S=20(元吨)时，获得最大净收入 3(典型例题)某段城铁线路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行时，假设列车从

22、A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkmh，匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差 (1)分别写出列车在B、C两站的运行误差； (2)若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围 考场错解 (1)列车在B、C两站的运行误差(单位：分钟)分别是|-7|和|-11|(2)由于列车在B、C两站的误差之和不超过2分钟，所以|-7|+|-11|2(*)当0v时，(*)式变形为-y+-112 解得v当v时，(*)式变形为7-+-112，解得v.当v时，(*)式变形为7-+11-2 解得v 综上所述，v的取值范围,专家把

23、脉 上述解答错在单位不统一，应将速度v(kmh)化为v(60km分)由于一开始出现错误，导致后面结果全是错误的 对症下药 (1)列车在B、C两站的运行误差(单位：分钟)分别是-7和-11(2)由于列车在B、C两站的误差之和不超过2分钟，|-7|+|-11|2(*)当0v时，(*)式变形为-7+-112，解得39v.当v，(*)式变形为7-+-112，解得时，(*)式变形为7-+11-2，解得v，综上所述，v的取值范围是39, 4(典型例题)某人在一山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖直线OC，塔高BC=80(米)，山高OB=220(米)，OA=200(米)，

24、图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为，tan=试问，此人距山崖的水平距离多远时，观看塔的视角BPC最大(不计此人的身高)? 考场错解 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(200，0)，B(0，220)，C(0，300) 直线l的方程为y=(x-200)tan，即y=设此人距山崖的水平距离为x，则P(x，)(x200)，由经过两点的直线的斜率公式kPC=kPB=.由直线PC到直线PB的角的公式得：tan BPC= 设u=ux2-(288u-64)x+160640u=0 u0xR.=(288u-64)2-4160640u20. 解得 u2 当u=2时，x=320即此人距

25、山崖320米时，观看铁塔的视角BPC最大 专家把脉 上述解答过程中利用xR由判别式法求u的最大值是错误的，因为x200，即由判别式求得u的最大值，还必须检验方程的根在(200，+)内对症下药 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(200，0)，B(0，220)，C(0，300)直线l的方程为y=(x-200)tan，即y=.设此人距山崖的水平距离为x，则P(x，)(x200)由经过两点的直线的斜率公式 kPC=,kPB=.由直线PC到直线PB的角的公式得 tanBPC=要使tanBPC达到最大，只须x+达到最小由均值不等式x+2,当且仅当x=时上式取得等号故当x=320时tanBPC最大由此实际

26、问题知，0BPC5时，f(x)=12-025x12-1255时，12-025x05x48 综合得01x48即生产量在10件到4800件不亏本专家会诊与函数有关的应用题经常涉及到物价、路程、产值、环保、税收、市场信息等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题，解答这类问题的关键是建立相关函数的解析式，然后应用函数知识加以解决.在求得数学模型的解后应回到实际问题中去，看是否符合实际问题.考场思维训练 1 把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 ( ) Acm2 B.4cm2C3cm2 D.2cm2 答案： D解析：S=2 将一张2mx

27、6m的硬钢板按图纸的要求进行操作，沿线裁去阴影部分，把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(其中与、与分别是全等的矩形，且+=)，设水箱的高为xm，容积为ym3) (1)求y关于x的函数关系式；答案：依题意，长方体水箱长故水箱容积y=(3-x)(2-2x)x,又y关于x的函数关系式为y=2x(1-x)(3-x),(0x0;当y因此把水箱的高设计成时，水箱装的水最多。 3 (典型例题)某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元 (1)当每辆车的

28、月租金定为3600元时，能租出多少辆车?答案：当每辆车的月租金定为3600元时，未租出车辆数为所以，这时租出了88辆车。 (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?答案：设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f(x)=所以，当x=4050时f(x)最大，最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050.4 某车间有工人30人，现有生产任务：加工A型零件100个，B型零件50个在单位时间内，每个工人若加工A型零件能完成10个，若加工B型零件能完成7个问这30名工人应如何分组，才能使

29、任务完成得最快? 答案：解：设加工A型零件的一组工人数为x，则加工B型零件的另一组工人数为30-x。由题意加工100个A型零件所需的时间为p(x)=加工50个B型零件所需的时间为令p（x）=q(x); .当x；当0xq(x).当0xq(x).考虑到人数必须是整数，分别考虑p(17)和q(18),p(17)=即p(17)0)之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸(x轴)是一条公路，公路上的公交车站P(x，0)随时都有公交车来往家住A(0，a)的某学生在位于公路上B(2a，0)处的学校就读，每天早晨学生都要从家出发,可以先乘船渡河到达公路上公交车站，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B(2

30、a，0)处的学校已知船速为v0(v00)，车速为2v0(水流速度忽略不计) ()设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上的站P(x，0)，再乘公交车去学校，请用x来表示他所用的时间t； 答案：设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上的车站P(x,0),再乘公交车去学校，则他所用的时间t=f(x)=()若xa，请问该学生选择哪种上学方式更加节约时间，并说明理由(取=1414，=2236)答案：若该学生选择先乘船渡河到达公路上的车站p(x,0),再乘公交车去学校，则他所用的时间为直接乘船渡河到达公路上B(2a,0)处的学校所用的时间因为，所以该学生选择先乘船再坐公交车上学更加节约时间.答：该同这选择先

31、乘船再坐公交车上学更加节约时间。探究开放题预测预测角度 1 二次函数闭区间上的最值的问题1已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x+1在-,2上的最大值为3，求实数a的值 解题思路 根据f(x)的最大值可能产生在抛物线段的端点或顶点处，分别令f(-)=3f(2)=3和f=3，再一一检验后决定取舍a的值 解答 f(x)=a(x+)2+1-.(1)令f(-)=f(x)max=3(2)令f(-)=f(x)max=3,a=-. 有f(x)=(3)令f(2)=3f(x)max=f(2)=3.符合题意.综上：a=-或a=. 2已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)=2x-x2 (1)求f(x

32、)的解析式； (2)是否存在实数a、b(ab)使f(x)在a，b上的值域为,若存在，求a和b，若不存在，说明理由 解题思路 (1)运用奇函数性质可求出f(x)在x0上的解析式； (2)利用已知a，b，得a、b的符号，再运用二次函数在区间上的单调性列出a、b的方程组可解得a、b的值 解答 (1)设x0，则-x0，由当x0时，f(x)2x-x2且f(x)为奇函数，得f(-x)=-2x-x2，f(x)=-f(-x)=-(-2x-x2)=2x+x2f(x)(2) 由0ab,(f)=2x-x2=-(x-1)2+11,又f(x)在a，b上值域为，1，即a1，即1ab,而f(x)=-(x-1)2+1在1,b

33、 上为减函数.因此：可知a、b为方程2x-x2=的两根，将此方程化为x3-2x2+1=0,(x3-x2)-(x2-1)=0,(x-1)(x2-x-1)=0,x1=1,x2=,x3=（舍），a=1,b=.若ab0,f(x)=2x+x2=(x+1)2-1-1.又f(x)为a,b上值域为，-1，即b-1,即ab-1.而f(x)=(x+1)2-1在a,-1上为减函数，因此可知a、b为方程2x+x2=的两根，将此方程化为x3+2x2-1=0(x+1)(x2-x-1)=0 x1=-1,x2=-,x3=(舍)，a=-,b=-1.综合,知存在实数a,b,使f(x)在a,b上的值域为，有a=1,b=或a=-1或

34、b-.3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、cR，且满足abc,f(1)=0.(1)证明：函数f(x)与g(x)的图像交于不同的两点A、B;(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)在2，3上的最小值为9，最大值为21，试求a、b的值.(3)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.解题思路(1)证0；(2)利用二次函数的单调性求解；(3)将|A1B1|的长度表示为的函数，利用二次函数数闭区间上的最值求解解答 (1)由g(x)=-bx与f(x)=ax2+bx+c得ax2+2bx+c=0f(1)=a+b+c=0，abca0，c0，从而=b2-4ac

35、0，即函数f(x)与g(x)的图像交于不同的两点 (2)c=-a-b，abc即ac=-a-b，得2a-b，-bc，b=-a-c，得a-a-cc，(-2,)设|A1B1|2=h()=4()2+的对称轴为x=-,h=()在(-2,)上是减函数|A1B1|2(3,12),得|A1B1|().预测角度 2 三个“二次”的综合问题1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a，bR，且a0)，设方程f(x)=x的两个实根为x1和x2，(1)如果x12x2-1 (2)如果|x1|2,|x2-x1|=2,求b的取值范围 解题思路 (1)由二次函数的图像找出方程f(x)=x的两根x1、x2满足x12x24的充

36、要条件从而求出x0=-的范围即可(2)由x1x2=0知x1,x2同号，故对较小根x1分0x12和-2x10，由x12x24得g(2)0即故x0= (2)由g(x)=ax2+(b-1)x+1=0知x1x2=0，x1，x2同号， 若0x12g(2)=4a+2b-10，又|x2-x1|=4,得2a+1=(a0,负根舍去)，代入上式得23-2b，解得b.若-2x10，则x2=-2+x1-2，g(-2)0即4a-2b+3. 故b的取值范围是(-, )(+)2设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，cR，a0)满足条件： 当xR,f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x； 当x(0，2)时,f(x)

37、； f(x)在R上的最小值为0 (1)求f(x)的表达式； (2)求最大的m(m1)，使得存在tR，只要x就有f(x+t)x恒成立 解题思路 (1)本小题是利用二次函数的概念，性质求出其解析式(2)本小题涉及到两个参变量t与m的讨论，可利用二次不等式在闭区间上恒成立的解题思路求解 解答 (1)方法一 因为f(x-4)=f(2-x)，所以函数f(x)的图像关于x=-1对称所以-=-1，b=2a，由条件，x=-1时，丁y=0得a-b+c=0由得，f(1)1，由条件，得f(1)1，所以f(1)=1即a+b+c=1即a+b+c=1f(x)=. 方法二 f(x-4)=f(2-x)，xR， 函数f(x)的

38、图像的对称轴为x=-1由条件，f(x)在R上的最小值为0，可知，函数f(x)的图像是开口向上，顶点位于点(-1，0)的抛物线，故不妨设f(x)=a(x+1)2，(a0)由条件f(x)x，xR，当x=1时f(1)1 由条件,f(x)x(0，2)，当x=1时，有f(1)1 f(1)=1，从而a= 方法三 同解法1，可判断f(x)图像的对称轴为x=-1，且f(-1)=0b=2a，a-b+c=0即b=2a，c=a，故f(x)=ax2+2ax+a 由条件,f(x)x对一切xR恒成立 即ax2+(2a-1)x+a0，xR恒成立.由条件,f(x),x(0,2) 令(a-)x2+(2a-)x+(a-)由上a

39、(2)方法一 假设存在t，只要x1，m就有f(x+tx，即f(x+t)-x0，x2+2(t-1)x+(t+1)20对一切x1，m恒成立不妨设G(x)=x2+2(t-1)x+(t+1)2则对x1，m，都有G(x)0，故设h(t)=t2+(2+2m)t+(m-1)2即在区间-4，0上存在实数t，使h(t)0成立由图像得，h(-4)010；当|x|2时，有|f(x)|2；当|x|1时,f(x)最大值为2，求f(x)的解析式 解题思路 (1)利用0证明；(2)用反证法证明；(3)借助二次函数图像进行分类讨论(4)利用不等式性质推出-2f(0)-2得f(0)=-2，再借助最值可求得a，b，c值解答 (1

40、)f(x)的图像与y=x是公共点 =(2b-1)2-16ac=4b2-16bc+1-4b0同理由f(x)的图像与y=-x公共点得4b2-16ac+1+4b2 区间-2，2在对称轴x=-的左侧式右侧 f(x)在-2，2上是单调函数 f(x)max=4|b|= f(x)min=-4|b|= 也是不可能的2 (3)f(x)=a(x+)2+3- a0f(x)max=3- 当3-5，即-8a0此时0M(a)- M(a)是方程ax2+8x+3=-5的较大根M(a)=因此当且仅当a=-8时，M(a)取最大值 (4)f(x)=2ax+2b a0 f(x)max=2a+2b=2 a+b=1 -2f(0)=4c=

41、4a+4b+4c-4(a+b)=f(2)-42-4=-2 4c=-2c=- 又|f(x)|2 f(x)=-2=f(0) f(x)在x=0处取到最小值且0-2，2- b=0 从而a=1f(x)=x2-2.预测角度 3 含参数的对数函数与不等式的综合问题 1已知函数f(x)=log2(x+1)，当点(x，y)在y=f(x)图像上运动时，点P( ,2y)在函数y=g(x)的图像上运动 (1)求y=g(x)的解析式； (2)当t=4，且x0，1时，求g(x)-f(x)的最小值； (3)若在x0，1时恒有g(x)f(x)成立，求t的取值范围 解题思路 (1)用相关点法；(2)设F(x)=g(x)-f(x)用基本不等式可求得F(x)的最小值(3)先由g(x)f(x)转化为一元二次不等式在x0，1上恒成立，然后利用二次函数图像和性质可求得参数t的取值范围 解答 (1)令x=,y=2y，点(x，y)在y=g(x)；图像上，