日年全国初中数学联赛模拟试题及解答

1、20XX年全国初中数学联赛模拟试题第一试一、选择题(每小题 7分，共42分)1 .已知a、b、c是两两不相等的实数. 则方程(x-a ) (x-b ) + (x-b ) (x-c ) + (x-c ) (x-a ) =0根的情况为().(A)必有两个不相等的实根(B)没有实根(C)必有两个相等的实根(D)方程的根有可能取值 a、b、c2 .在半径为1的圆内，自点 A出发的所有长度不小于该圆的内接正ABC?勺边长a的弦，所组成的图形的面积为()二 22 ,2: W3J3(A) + (B) + (C) +(D) - + 3 .已知a、b为实数，设b-a=2 006,如果关于x的一元二次方程 x2+

2、ax+b=0的根都是整数， 则该方程的根共有()组.口(A) 4(B) 6(C) 8(D) 104 .如图是一个三角形数表，从上到下依次称作第一行、第二行、.？Odb已知该三角形数表中每个中的数均为正整数的倒数，且等于与其1相连的两脚下数之和.如果第一行中的那个数是-，则第三行中的数从左至右的填法有1().(A)恰有一种(B)恰有两种(C)恰有三种(D)有无数多种5 .在 ABC中，AB<BC<CA且AC-AB=2, AD为/ BAC的平分线，E为边AC上的一点，？联结 _ AC AE - AGBE父AD于点G,且=2,=2 007 ,则边BC的长为().CD BD GD(A) 2

3、 008(B) 2 007(C) 2 006( D) 2 0056 .某次数学竞赛设选择题(含6个小题)、填空题(含 4个小题)、解答题(含 3个小题)分类，其中，选择题、填空题均每小题7分，解答题中第1小题20分、第2、3小题每小题25分，满分140分.评分标准是：选择题、填空题做对得7分，不做或做错得 0分；解答题设0分，5分，10分，15分，20分，25分共6档.那么，这次考试所得的 不同分数最多有()种.(A) 141(B) 129(0 105(D) 117、填空题（每小题 7分，共28分）bc-a_c a-bab1 .已知a、b、c均为非零实数，满足:w (a b)(b c)(c a

4、) /则的值为abc2 .点G是 ABC的重心，过点G的直线与边AR AC分别交于点M N.已知AM = m, AN =n.则 AB AC一次函数y=- x+n与x轴、y轴所围成的三角形的面积的最小值为 m3 .把n个大小均不相同的正方形互不重叠地拼在一起，？所得的图形的面积恰为 2006,则n的最小值为.4 .如图，两个全等的边长为正整数的正A1B1G和正 A&C2的中心重合，?且满足ABLA2G,若六边形ABCDEF勺面积为S='_1,其中，mm nn为有理数，则 m的值为 n第二试（20分）求证：面积和周长分别对应相等的两个直角三角形全等.（25分）已知k、a都是正整数，

5、2 004k+a、2 004 （k+1） +a都是完全平方数.（1）请问这样的有序正整数（k, a）共有多少组?（2）试指出a的最小值，并说明理由.三、（25分）如图，已知圆内接四边形 ABCM对角线AC BD交于点N,点M纸对角线BD上，且满足/BAM之 DAN / BCMW DCN求证：（AN1） M为BD的中点；（2）CNAMCM第一试1. A.原方程可化为 3x2-2 ( a+b+c) x+ab+bc+ca=0 .其判别式为2 , =4 (a+b+c) -4X3 (ab+bc+ca)=2(a-b ) 2+ (b-c ) 2+ (c-a ) 2,因为a、b、c两两不相等，则4 >0

6、,所以，方程必有两个不相等的实根.2. D.由题给条件易知，这些弦组成的图形恰为正ABC及其所对的弓形.设 ABC的中心为O,则小扇形BOC勺面积为 土.而3Saaob=Saou x2>< sin1202故所求的图形的面积为+j3. B.由韦达定理得 xi+x2=-a , xix2=b,则 xi+x2+x 1x2=2 006 .所以，(xi+1) ( x2+1) =2 007=9 X 223=-9 X (-223 ) =3X669=-3 X (-669) =1X2 007= (-1 ) X (-2 007 ).易知方程有6组解.4. C.设第二行的两个数为 mr n,则 1+=1

7、(m nCN+).m n一一 n1于是，m=1+,解得 n-1=1 .从而，n=2,且n=2,n 1 n -1 11即第二行的数只能为 ,.221 _ 11 ，、十 (mr nCZ) 2 m n、1 .设第三行中L脚下的两个数为2则m=2n=2n -24+n -2故(n-2)4,知 n-2=1 , 2, 4.8 = 6，或8=4,n = 3 n = 4,故第三行的数由左到右是11-111-16363645. B.如图，过点E作EF/ AD交CD于点F,设AB=x,则ACAECDDFCDBD有 BD=DF所以，DG为 BEF的中位线，贝U BG=GE又/ BAGh EAG 所以，AB=AE=x得

8、 CE=AC-AE=AC-AB=2AE CE AC又因 EF” AD, 所以 = =2DF CF CD x故 DF=, CF=1.2-EF CE 22而 =AD AC AE CE x 2及 正= 2GD_ = _2_ = _2_ 故 x=2 006 .AD AG GD AG 1 2 008GD因此，BC=2 007.6. D(1)选择题及填空题的得分有0, 7, 14,，70共11种可能，解答题得分有 0, 5,10, ?，70共有15种可能，故产生11 X 15=165种结果.(2)下列 23 个分数 0, 5, 7, 10, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22,

9、24, 25, 26, 27, ?28, ?29, 30, 31, 32, 33, 34可以得到且只有一种获得方法；又 35=7X5=5X7,即 35?分可表示为做对5个7分或7个5分的题，故前面23个分数相应分别加上 35?所得的分 数均有两种获得方法.于是，这新的 23个分数各有两种获得方法，且均小于 70.根据对称 性，用140减去新的23个分数所得的数也均有两种表示方法， 这些数恰为71到140之间的 能够取到的分数.前后共计 2X23=46个数.(3)由70=7X10=5X14=7X5+5X7,知共有三种获取方法.故满足不重复的要求的不同分数共165-46-2=117(种).二、1.

10、 -1 或 8.人 b c-a c a-b a b -c 令=k,则abcb+c= (k+1) a, c+a= (k+1) b, a+b= (k+1) c.于是，2 (a+b+c) = (k+1) ( a+b+c).故 a+b+c=0 或 b+c=2a, c+a=2b, a+b=2c. (a b)(b - c)(c a) 所以=-1 或 8.abc 2.- 9如图，在 ABD中，应用梅涅劳斯定理得AM BE DG 目口 MB ED 1L一户二二1,即L-二1MB ED GA AM BE 2在 adc中，应用梅涅劳斯定理得 当里回 =1,即.DELCN =1. GD EC NA EC NA 2

11、加 BMCN1 BE 1 EC DE则十=-L +=1.AMAN 2 ED 2 DE DE故出冬=3,即1 1=3. AM AN m n所以，3mn=m+*2 Jmn ,解得 mn> 4 .9而一次函数y=-n x+n与x轴、y轴的交点坐标为(30) , ( 0, n),故所求的三角12 一一， 形的面积S= mn> -,且当且仅当 m=n时，等号成立.29注：本题也可以用特殊值法求解.3. 3.设n个正方形的边长分别为 x1, x2, xn,则xi2+X22+xn=2006.由于xi2三0或1 (mod 4),而2 006 =2 (mod 4),故xi中至少有两个奇数。若n=2,

12、则xi、x2均为奇数，设为 2p+1、2q+1,故 P2+p+q2+q=501。但是P2+p, q2+q均为偶数，矛盾.若n=3,可设x1=2p+1 , x2=2k, x3=2q+1.则(2p+1) 2+ (2k) 2+ (2q+1 ) 2=2 006 , 即 p2+p+k2+q2+q=501 .显然，k为奇数且kw J501,故kW21.当k=1时，p2+p+q2+q=500无正整数解；当 k=3 时，p2+p+q2+q=492 有解p=8 , q=20.故得 172+62+412=2 006,所以 nmin=3 .4. 13由对称性知，A1B1，A2c2, B1CA2B2, C1A1 XB

13、2C2,即 RtA1AF, RtAA2AB , RtAB1CB, ?Rt?AB2CD, RtCED, RtAC2EF 全等.故考察RtAA1AF .设 A 1B1=a (aC N+),AA 1 =x ,贝U AF= V3x, AF=2x,有x+ V3 x+2x=a .解得 x= f= 33故 S"1AF=Tx2=T贝U S= a2-3 Sa A1AF44m=3a2 'n - a2 .，一一 1 . 3.由已知S=-及a为正整数，nr n为有理数，得第二试、设在Rt ABC和RtAiBiCi中，直角边分别为 AC=b , BC=a及AC仔b, BiC尸ai,斜边为AB=c及AR

14、d,根据题意得2 22,2c =a +b ,222Cibi ,a +b +c =a +bi +c1,-ab =1aibi.22式两边平方得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=ai2+bi2+ci2+2aibi+2bi ci+2cai,并结合，得 c (a+b+c) =ci (ai+bi+ci)再利用式得c=ci.于是，a+b=ai+bi=m, ab=aibi=n.则知a、b是方程x2-mx+n=0的解，同时a1、bi也是该方程的解.皿 a二百，2a二h，故必有1或wb 巾 b =q.不妨设 a=a1，b=bi.于是，得 a=ai, b=bi, c=ci.从而，RtAABCRtAAiBiC

15、i,命题得证.二、(i)设 2 004k+a=m2,22 004(k+i) +a=n ,这里m n都是正整数，则 n2- m2=2 004 .故(n+m)(n-m) =2 004=2 X2X 3Xi67.注意到，m+仆n-m的奇偶性相同，则n m =i002, n -m =2或 n m=334,n - m = 6.n =502,解得m =500或需.当 n=502, m=500时，由式得 2 004k+a=250 000所以，a=2 004 (i24-k)+i 504 .由于k、a都是正整数，故 k可以取值i, 2,，i24,相应得满足要求的正整数数组(k, a)共 124 组.当 n=170

16、, m=164时，由式得 2 004k+a=26 896 .所以，a=2 004 (13-k) +844.由于k、a都是正整数，故 k可以取值1, 2,，13, ?相应得满足要求的正整数数组(k, a)共 13 组.从而，满足要求的正整数数组(k, a)共有124+13=137(组).(2)满足的最小正整数 a的值为1 504 .满足式的最小正整数 a的值为844.所以，所求的a的最小值为844.三、根据同弧所对的圆周角相等，得/ DAN=/ DBC / DCNW DBA又因为/ DAN=Z BAM / BCMW DCN所以，/ BAM之 MBC / ABMh BCM有 BAMh CBM 则-BM- =JAM- 即 bm 2=AM- CM CM BM '又/ DCM= DCN+ NCM= BCM+ NCM= ACB