排列组合基础知识及解题技巧

1、排列组合根底知识及习题分析在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下根本的运算公式！ 543/321 65/21 通过这2个例子 看出 公式 是种子数M开场与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作为分母 543 654321 通过这2个例子 从M开场与自身连续N个自然数的降序乘积 当NM时 即M的阶层 排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (mn)个元素，有序和无序摆放的各种可能性.区别排列与组合的标志是“有序与“无序. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列，无序用“组合； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加

2、法，分步用“乘法. 分 类：“做一件事，完成它可以有n类方法，这是对完成这件事的所有方法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进展分类；其次，分类时要注意满足两条根本原那么：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一

3、件事有n类方法，这n类方法彼此之间是相互独立的，无论那一类方法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有假设干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1有限制条件的排列问题常见命题形式： “在与“不在 “邻与“不邻 在解决问题时要掌握根本的解题思想和方法： “相邻问题在解题时常用“合并元素法，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. “不邻问题在解题时最常用的是“插空排列法. “在

4、与“不在问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含与“不含 “至少与“至多 在解题时常用的方法有“直接法或“间接法. 3 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最根本的，也是最重要的思想方法. * 提供10道习题供大家练习 1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为 C (A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个

5、 -【解析】 根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 可见最大的边是11 那么两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开场分析 如果为11，那么另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。1 如果为10 那么另外一个边的长度是10，9，8。2， 不能为1 否那么两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合 如果为9 那么另外一个边的长度是 9，8，7，。3 理由同上 ，可见规律出现 规律出现 总数是1197。11116236 2、 1将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？ -【解析】 每封信

6、都有3个选择。信与信之间是分步关系。比方说我先放第1封信，有3种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封， 所以分步属于乘法原那么 即333334 23位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ -【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原那么属于乘法关系 即 44443 38本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ -【解析】分步来做 第一步：我们先选出3本书 即多少种可能性 C8取356种

7、 第二步：分配给3个同学。 P336种 这 里稍微介绍一下为什么是P33 ，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即321 这是分步选择符合乘法原那么。最常见的例子就是 1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？ 也是满足这样的分步原那么。 用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。 所以该题结果是566336 3、 七个同学排成一横排照相. 1某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ 3600 -【解析】 这个题目我们分2步完成 第一步： 先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取1

8、5 第二步： 剩下的6个人即满足P原那么 P66720 所以 总数是72053600 2某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ 1440 -【解析】 第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2取12 第二步：剩下的6个人满足P原那么 P66720 那么总数是 72021440 3甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ 3120 -【解析】特殊情况先安排特殊 第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况 去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取14， 剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5开场，剩下的5个位置满足P原那么 即5P55512060

9、0 总数是46002400 第2种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置 那么 剩下的6个位置满足P66720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 24007203120 4甲、乙必须相邻的排法有多少种？ 1440 -【解析】相邻用捆绑原那么 2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论 第1： 选位置 C6取16 第2： 选出来的2个位置对甲乙在排 即P222 那么安排甲乙符合情况的种数是2612 剩下的5个人即满足P55的规律120 那么 最后结果是 120121440 5甲必须在乙的左边不一定相邻的不同排法有多少种？2520 -【解析】 这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在

10、乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 那么总数是P775040 ,根据左右概率相等的原那么 那么排在左边的情况种数是504022520 4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数. 1能组成多少个四位数？ 300 -【解析】 四位数 从高位开场到低位 高位特殊 不能排0。 那么只有5种可能性 接下来3个位置满足P53原那么54360 即总数是 605300 2能组成多少个自然数？ 1631 -【解析】自然数是从个位数开场所有情况 分情况 1位数： C6取16 2位数： C5取2P22C5取1P1125 3位数： C5取3P33C5取2P222100 4位

11、数： C5取4P44C5取3P333300 5位数： C5取5P55C5取4P444600 6位数： 5P555120600 总数是1631 这里解释一下计算方式 比方说2位数： C5取2P22C5取1P1125 先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数 即C5取1P11 因为0不能作为最高位 所以最高位只有1种可能 3能组成多少个六位奇数？ 288 -【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 那么 先考虑低位，再考虑高位 即 34P441224288 4能组成多少个能被25整除的四位数？ 21 -【解析】 能被25整除的4

12、位数有2种可能 后2位是25： 339 后2位是50： P424312 共计91221 5能组成多少个比202145大的数？ 479 -【解析】 从数字202145 这个6位数看 是最高位为2的最小6位数 所以我们看最高位大 于等于2的6位数是多少？4P554120480 去掉 202145这个数 即比202145大的有4801479 6求所有组成三位数的总和. 32640 -【解析】每个位置都来分析一下 百位上的和：M1=100P52(5+4+3+2+1) 十位上的和：M2=4410(5+4+3+2+1) 个位上的和：M3=44(5+4+3+2+1) 总和 MM1+M2+M3=32640 5

13、、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进展检查. 1“其中恰有两件次品的抽法有多少种？ 152096 【解析】 也就是说被抽查的5件中有3件合格的 ，即是从98件合格的取出来的 所以 即C2取2C98取3152096 2“其中恰有一件次品的抽法有多少种？ 7224560 【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个 C2取1C98取47224560 3“其中没有次品的抽法有多少种？ 67910864 【解析】那么即在98个合格的中抽取5个 C98取567910864 4“其中至少有一件次品的抽法有多少种？ 7376656 【解析】全部排列 然后去掉

14、没有次品的排列情况 就是至少有1种的 C100取5C98取57376656 5“其中至多有一件次品的抽法有多少种？ 75135424 【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的 C100取5C98取375135424 6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，那么不同的取法共有 (A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种 -【解析】根据条件我们可以分2种情况 第一种情况：2台甲1台乙 即 C4取2C5取16530 第二种情况：1台甲2台乙 即 C4取1C5取241040 所以总数是 304070种 7、在50件产品中

15、有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有_种. -【解析】至少有3件 那么说明是3件或4件 3件：C4取3C46取24140 4件：C4取4C46取146 共计是 4140464186 8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承当, 乙、丙各需1人承当.从10人中选派4人承当这三项任务, 不同的选法共有 C (A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种 【解析】分步完成 第一步：先从10人中挑选4人的方法有：C10取4210 第二步：分配给甲乙并的工作是C4取2C2取1C1取162112种情况 那么根据分步原那么 乘法关系 210122520 9、12名同学分

16、别到三个不同的路口进展车流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的分配方案共有_种C(4,12)C(4,8)C(4,4) 【解析】每个路口都按次序考虑 第一个路口是C12取4 第二个路口是C8取4 第三个路口是C4取4 那么结果是C12取4C8取4C4取4 可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要P33吗 其实不是这样的 在我们从12人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。 如果再P33 那么是重复考虑了 如果这里不考虑路口的不同 即都是一样路口 那么情况又不一样 因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况 所以在上述结果的情况下要P

17、33 10、在一张节目表中原有8个节目，假设保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 990 【解析】这是排列组合的一种方法 叫做2次插空法 直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个空位，有P(9,1)种方法；再用另一个节目去插10个空位，有P(10,1)种方法；用最后一个节目去插11个空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为P(9,1)P(10,1)P(11,1)=990种。 另解：先在11个位置中排上新添的三个节目有P(11,3)种，再在余下的8个位置补上原有的8个节目，只有一解，所以所有方法有P3111=990种。 解决排列组合问题的策略

18、1、逆向思维法：我们知道排列组合都是对一个元素集合进展筛选排序。我们可以把这个集合看成数学上的单位1，那么1ab 就是我们构建逆向思维的数学模型了， 当a不利于我们运算求解的时候，我们不妨从b的角度出发思考，这样同样可以求出a1b。例题：7个人排座，甲坐在乙的左边不一定相邻的情况有多少种？例题：一个正方体有8个顶点 我们任意选出4个，有多少种情况是这4个点可以构成四面体的。例题：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A24个 B30个 C40个 D60个2、解含有特殊元素、特殊位置的题采用特殊优先安排的策略：1无关型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的

19、交是空集例题：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?2包含型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系 例题：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?P55P441202496 用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数?25，75 33212P443624603影响型：两个特殊位置上可取的元素既有一样的，又有不同的。例题：用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?3、解含有约束条件的排列组合问题一采用合理分类与准确分步的策

20、略例题：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，那么它们构成的矩形共有_个。简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步先在4条平行线中任取两条，有C4取2种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有C5取2种取法。这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有610=60个4、解排列组台混合问题采用先选后排策略对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进展排列的策略。 例：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，那么恰有一个空盒的放法有_种。1445、插板法插板法的条件构成： 1元素一样，2分组不同，3必须至少分得1个插板法的类型：1、10块奶糖分给4个小朋友，每

21、个小朋友至少1块，那么有多少种分法？典型插板法 点评略2、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法？凑数插板法： 这个题目对照插板法的3个条件我们发现 至少满足1个这个条件没有， 所以我们必须使其满足，最好的方法 就是用14块奶糖来分，至少每人1块 ，当每个人都分得1块之后，剩下的10块就可以随便分了，就回归到了原题3、10块奶糖放到编号为1，2，3的3个盒子里，每个盒子的糖数量不少于其编号数，那么有几种方法？定制插板法： 已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应该学会先去安排 使得每个盒子都差1个，这样就保证每个盒子必须分得1个，从这个思路出发，跟第二个例题是姊妹题 思路是一样的 对照条件

22、 想方法使其和条件吻合！4、8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为111的盒子里面，每个盒子至少放1个，有多少种方法？屡次插空法 这里不多讲，见我排列组合根底讲义6、递归法枚举法 公考也有这样的类型， 排错信封问题，还有一些邮票问题归纳法：例如：5封信一一对应5个信封，其中有3个封信装错信封的情况有多少种？枚举法：例如：10张一样的邮票 分别装到4个一样的信封里面，每个信封至少1张邮票，有多少种方法？枚举：1，1，1，71，1，2，61，1，3，51，1，4，41，2，2，51，2，3，41，3，3，32，2，2，42，2，3，3 9种方法！疑难问题1、如何验证重复问题2、关于位置与元

23、素的一样问题，例如： 6个人平均分配给3个不同的班级，跟 6个学生平分成3组的区别3、关于排列组合里面，充分运用对称原理。例题： 1，2，3，4，5 五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数？例题：7个人排成一排，其中甲在乙右边可以不相邻的情况有多少种？注解：分析2种对立情况的概率，即可很容易求解。 当对立情况的概率相等，即对称原理。4、环形排列和线性排列问题。见我的根底排列组合讲义二习题讲解例如：3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。 问有多少种方法？例如：3对夫妇围坐在圆桌旁，男女间隔的坐法有多少种？注解：排列组合中，特殊的地方在于，第一个坐下来的人是作为参照物，所以不纳入排列的范畴，

24、我们知道，环形排列中 每个位置都是相对的位置，没有绝对位置，所以需要有一个人坐下来作为参照位置。5、几何问题：见下面局部的内容。例析立体几何中的排列组合问题在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都表达了实际应用的观点。1 点11 共面的点例题： 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 A30种 B33种 C36种 D39种 答案：B点评：此题主要考察组合的知识和空间相像能力；属难度中等的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。12 不共面的点例2： 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中

25、取4个不共面的点，不同的取法共有 A150种 B147种 C144种 D141种解析：从10 个点中任取4个点有C10，4210 种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有C6，215种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有21041563141 种。答案：D。点评：此题难度很大，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难那么反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。几何型排列组合问题的求解策略有关几

26、何型组合题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高，因此要求掌握四种常用求解策略.一 分步求解例1 圆周上有2n个等分点n1，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_解：此题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形，由平面几何知识，应分两步进展：先从2n个点中构成直径即斜边共有n种取法；再从余下的(2n2)个点中取一点作为直角顶点，有(2n2)种不同取法故总共有n(2n2)2n(n1)个直角三角形故填2n(n1)例2： 从集合0、1、2、3、5、7、11中任取3个元素分别作为直线方程AxByC0中的A、B、C，所得的经过

27、坐标原点原直线共有_条结果用数值来表示.解：因为直线过原点，所以C0. 从1、2、3、5、7、11这6个数中任取2个作为A、B， 两数的顺序不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为 P6，230二 分类求解例3 四边体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3点，使它们和A在同一平面上，不同取法有 (A)30种 (B)33种 (C)36种 (D)39种 解：符合条件的取法可分三类： 4个点含A在同一侧面上，有3 30种；4个点含A在侧棱与对棱中点的截面上，有3种；由加法原理知不同取法有33种，应选B.三 排除法求解例4 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 (A) 8种

28、 (B) 12种 (C) 16种 (D) 20种解：由六个任取3个面共有 C6，320种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件共有 20812种，应选(B)例5 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个？解：从7个点中任取3个点，共有C7，335 个，排除掉不能构成三角形的情形3点在同一直线上有3个，故符合条件的三角形共有 35332个 四 转化法求解 例6 空间六个点，它们任何三点不共线，任何四点不共面，那么过每两点的直线中有多少对异面直线？ 解：考虑到每一个三棱锥对应着3 对异面直线，问题就转化为能构成多少个三棱锥. 由于这六

29、个点可构成C6，415 个三棱锥，故共有315 45对异面直线.例7 一个圆的圆周上有10个点，每两个点连接一条弦，求这些弦在圆内的交点个数最多有几个？ 解：考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点，那么问题可转化为构成凸四边形的个数显然可构成 C10，4210个圆内接四边形，故10个点连成的点最多能在圆中交点210个.6、染色问题：不涉及环形染色 可以采用特殊区域优先处理的方法来分步解决。环形染色可采用如下公式解决：Ana1n+(a-1)(-1)n n表示被划分的个数，a表示颜色种类原那么：被染色局部编号，并按编号顺序进展染色，根据情况分类在所有被染色的区域，区分特殊和一般，特殊区域优先处

30、理例题1：将3种作物种植在如图4所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物。那么有多少种种植方法？图1例题2：用5种不同颜色为图中ABCDE五个局部染色，相邻局部不能同色，但同一种颜色可以反复使用，也可以不使用，那么符合要求的不同染色方法有多少种？图2例题3：将一个四棱锥的五个顶点染色，使同一条棱的2个端点不同色，且只由五个颜色可以使用，有多少种染色方法？图3例题4：一个地区分为如图4所示的五个行政区域，现在有4种颜色可供选择，给地图着色，要求相邻区域不同色，那么那么有多少种染色方法？图4例题5：某城市中心广场建造了一个花圃，分6个局部如图5 现在要栽种4种不同的颜色

31、的花，每局部栽种一种且相邻局部不能种同样颜色的花，那么有多少种不同栽种方式？图5：1. 排列组合题系列之二一 1, 2, 3, 4作成数字不同的三位数，试求其总和？但数字不重复。 解析 组成3位数 我们以其中一个位置(百位,十位,个位)为研究对象就会发现 当某个位置固定 比方是1,那么其他的2个位置上有多少种组合? 这个大家都知道 是剩下的3个数字的全排列 P32我们研究的位置上每个数字都会出现P32次 所以每个位置上的数字之和就可以求出来了 个位是:P32*(1+2+3+4)=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以总

32、和是6660 二 将“PROBABILITY 11个字母排成一列，排列数有_种，假设保持P, R, O次序，那么排列数有_种。 解析 这个题目就是直线全排列出现一样元素的问题:在我的另外一个帖子里面有介绍: (1)我们首先把一样元素找出来,B有2个, I 有2个 我们先看作都是不同的11个元素全排列 这样就简单的多是P11,11 然后把一样的元素能够形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=9979200。 (2)第2个小问题 因要保持PRO的顺序，就将PRO视为一样元素跟B，I类似的性质，那么其排列数有11！/2！2！3！= 166320种。 三 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫

33、妇共10人围坐一圆桌聊天，试求以下各情形之排列数： 1男女间隔而坐。 2主人夫妇相对而坐。 3每对夫妇相对而坐。 4男女间隔且夫妇相邻。 5夫妇相邻。 6男的坐在一起，女的坐在一起。 解析 (1) 这个问题也在l介绍过 先简单介绍一下环形排列的特征,环形排列相对于直线排列缺少的就是参照物.第一个坐下来的人是没有参照物的,所以无论做哪个位置都是一样的. 所以从这里我们就可以看出 环形排列的特征是 第一个人是做参照物,不参与排列. 下面就来解答6个小问题: (1)先让5个男的或5个女的先坐下来 全排列应该是 P44, 空出来的位置他们的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列这个时候有了参照物所以排列

34、是P55 答案就是 P44*P55=2880种 (2)先让主人夫妇找一组相对座位入座 其排列就是P11(记住不是P22 ),这个时候其他8个人再入座,就是P88,所以此题答案是 P88 (3)每对夫妇相对而坐,就是捆绑的问题.5组相对位置有一组位置是作为参照位置给第一个入座的夫妇的,剩下的4组位置就是P44, 考虑到剩下来的4组位置夫妇可以互换位置即 P44*24=384 (4)夫妇相邻,且间隔而坐. 我们先将每对夫妇捆绑 那么就是5个元素做环形全排列 即P44 这里在从性别上区分 男女看作2个元素 可以互换位置 即答案是P44*2=48种(值得注意的是,这里不是*24 因为要互换位置,必须5

35、对夫妇都得换 要不然就不能保持男女间隔) (5) 夫妇相邻 这个问题显然比第4个问题简单多了,即看作捆绑 答案就是P44 但是这里却是每对夫妇呼唤位置都可以算一种方法的. 即 最后答案是P44*25 (6)先从大方向上确定男女分开座,那么我们可以通过性别确定为2个元素做环形全排列.即P1,1 , 剩下的5个男生和5个女生单独做直线全排列 所以答案是P1,1 *P55*P55 四在一张节目表中原有8个节目，假设保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 解析 这个题目相信大家都见过 就是我们这次2021年国家公务员考试的一道题目: 这是排列组合的一种方法 叫做2次插空法或

36、屡次插空法 直接解答较为麻烦，我们知道8个节目相对位置不动,前后共计9个间隔,故可先用一个节目去插9个空位，有C9取1种方法；这样9个节目就变成了10个间隔,再用另一个节目去插10个空位，有C10取1种方法；同理用最后一个节目去插10个节目形成的11个间隔中的一个，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为9*10*11=990种。 方法2: 我们先安排11个位置,把8个节目按照相对顺序放进去,在放另外3个节目,11个位置选3个出来进展全排列 那就是P11,3=11*10*9=990 五 0，1，2，3，4，5五个数字能组成多少个被25整除的四位数？ 解析 这里考察了一个常识性的问题

37、 即 什么样数才能被25整除 即这个数的后2位必须是25或者50，或者75或者00 方可. 后两位是25的情况有:千位只有3个数字可选(0不能) 百位也是3个可选 即3*3=9种 后两位是50的情况有:剩下的4个数字进展选2位排列 P4,2=12种 75不可能，因为数字中没有7 00也不可能，因为数字不能重复共计 9+12=21种2. “插板法的条件模式隐藏运用分析在说这2 道关于“插板法的排列组合题目之前，我们需要弄懂一个问题：插板法排列组合是需要什么条件下才可以使用？这个问题清楚了，我们在以后的答题中 就可以尽量的变化题目使其满足这个条件。这个条件就是： 分组或者分班等等 至少分得一个元素

38、。 注意条件是 至少分得1个元素！好我们先来看题目，例题1：某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出，共演出18个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种？【解析】这个题目是Q友出的题目，题目中是不考虑节目的不同性 你可以视为18个一样的节目 不区分！发现3个年级都是需要至少4个节目以上！ 跟插板法的条件有出入， 插板法的条件是至少1个，这个时候比照一下，我们就有了这样的思路 ，为什么我们不把18个节目中分别给这3个年级各分配3个节目。这样这3个班级就都少1个，从而满足至少1个的情况了339 还剩下1899个剩下的9个节目就可以按照插板法来解答。 9个节目排成一排共计8个间隔。分别选取其中任意2个间隔就可以分成3份班级！C8取228练习题目：有10个一样的小