证明线段相等的方法

1、平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。例1如图，C是线段AB上一点，ACD和BCE是等边三角形。求证：AE=BD。证明 ACB和BCE都是等边三角形ACD=60，BCE=60，DCE=60ACE=ACDDCE=120BCD=BCEDCE=120AC=CD，CE=CBACEDCB（SAS）AE=DB例2

2、如图，已知ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。证明：过点E作EG/AF交BC于点GEGB=ACB，EGD=FCDAB=ACB=ACB，B=FGB，BE=GEBE=CF，GE=CF在EGD和FCD中，EGD=FCD，EDG=FDC，GE=CFEGDFCD（AAS） ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。例1如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。证明：延长AD到G

3、，使DG=AD，连结BG。AD=GD，ADC=GDB，CD=BDADCGDBAC=GB，FAE=BGEBE=ACBE=BG，BGE=BEGFAE=BGE=BEG=AEFAE=EF例2如图，已知ABC中，AB=AC，DFBC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。证明：DFBCDFB=EFC=90，D=90B，CEF=90CAB=AC，B=CD=CEFCEF=AEDD=AEDAD=AE三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。例1如图，ABC中，C=90，A=30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE和

4、正ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。证明：过D作DOAC交AB于点OOD垂直平分AC，ACB=90BCACO点必为AB的中点，连结EO，则EOABCAB=30，BAE=CAD=60ADAB，AEACOE/AD，AE/OD四边形ODAE为平行四边形EF=FD例2如图，AD是ABC的中线，过DC上任意一点F作EG/AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH/AC，交AB于点H。求证：HG=BE。证明：延长AD到A”，使DA”=AD又BD=CD四边形BACA”是平行四边形BA=A”C由题设可知HFGA也是平行四边形HF=AGHF/AC，又，HF=AG，BA=A”CBH=EG四边形BEG

5、H是平行四边形HG=BE四、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。例1如图，以ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使ABD=ACE，M是BC的中点。证明：DM=EM。证明：延长BD至F，使DF=BD。延长CE到G，使EG=CE，连结AF、FC，连结AG、BGBD=FD，ADB=ADF=90，AD=ADRtABDRtAFDBAD=FAD同理可得：CAE=GAEABD=ACEFAB=GAC，故FAC=GAB在ABG和AFC中，AB=AF，GAB=CAF，AG=ACABGAFCBG=FC又DF=DB，EC=EG，M是BC的中点DM=E

6、M，即DM=EM例2如图，ABC中，C为直角，A=30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE与正ACD，DE与AB交于F。求证：EF=FD。证明：过D作DG/AB交EA的延长线于G，可得DAG=30BAD=3060=90ADG=90DAG=30=CAB，AD=ACRtAGDRtABCAG=AB，AG=AEDG/ABEF/FD五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。例如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：

7、AG=AD。证明：作DA、CE的延长线交于HABCD是正方形，E是AB的中点AE=BE，AEH=BECBEC=EAH=90AEHBEC（ASA）AH=BC，AD=AH又F是BC的中点RtDFCRtCEBDFC=CEBGCFGFC=ECBCEB=90CGF=90DGH=CGF=90DGH是RtAD=AHAG=AD证明线段相等的技巧要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。一、如果要证明的两条线段分

8、别在两个三角形中一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，ABC和DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。分析：从结论入手，要证明线段AE=DB，即看AE和DB分别是ACE和BCD的一边，因此，欲证AE=DB，只须证ACEBCD即可，而在这两个三角形中，AC=BC，EC=DC，欲证ACEBCD，只须证ACE=DCB，又因为DCE=ACE=，于是，DCE+ACD=ACB+ACD，即ACE=DCB，故结论可证，证明略。二、如果要证明的两条线段在同一三角形中一般的思路是利用等角对等边。例2 已知：如图2，ABC中AB=AC，D为BC

9、上一点，过D作DFBC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。分析：证明同一三角形中两条边相等，一般不采用全等三角形，而且把两边所对的角迁移到相应三角形中找出相等关系。证明：法一：因为DFBC于D，所以F+B=，C+DCE=，又因为，所以B=C，所以F=DCE=AEF，所以AE=AF。法二：考虑到AB=AC，即ABC是以BC为底的等腰三角形的特殊性（三线合一），过顶点A作AGBC于G，于是BAG=CAG，又因为DFBC，所以AGDF，所以AEF=CAG，BAG=F，所以AEF=F，所以AE=AF。法三：考虑到要证的结论AE=AF，即要证AEF是等腰三角形，也由等腰三角形的特殊性质（三

10、线合一）作辅助线，过顶点A作AHDF于H，于是，AHBC，所以有EAH=C，FAH=B，又有B=C，于是EAH=FAH，即AH是高又是角平分线，故AE=AF。三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。例3 已知：如图3，ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。分析：已知线段相等，要证线段相等，一般的思路是利用等腰三角形或全等三角形来证明，但这两条线段不在一个三角形中，且它们所在的两个三角形显然不全等。因此，欲证DE=DF，必须添加适当的辅助线，构成证题所需的等腰三角形或全

11、等三角形，这样的辅助线有：（1）过D作DGAE交BC于G，则易证DGB=ACB，又因为AB=AC，所以B=ACB，即DGB=B得DB=DG，从而得DG=EC，易证DGFECF。（2）过E作EHAB交BC的延长线于H，易得B=H，又因为1=2，B=1，所以2=H，从而EH=EC=DB，易证DBFEHF。例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AGBF于F，CHBE于H，求证：AG=CH。分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然结合已知条件可知构成