211曲线与方程教学设计

1、曲线和方程（教学设计）教学目标知识与技能目标（1） 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；（2） 初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；（3） 学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。过程与方法目标（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品

2、质，发展应用意识。情感与态度目标（1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；（2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具； （3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。教学难点：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。教学过程：一、创设情境，新课引入：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方

3、程也表示着一条直线。二、师生互动，新课讲解：例1：作出方程表示的直线借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足（1）直线上的点的坐标都是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么直线（图形） 方程（数量）。变式训练1：作出函数y=x2的图象类比方程与如图所示的抛物线。这条抛物线是否与这个二元方程 也能建立这种对应关系呢？ （按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？这就是今天这节课的内容：曲线和方程。（板书课题） 现在请同学们思考这样的问题：?方程的

4、解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程表示曲线C，同时曲线C也表示着方程,为什么要具备这些条件？刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一个事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把例1中曲线和方程的这种对应关系完整的表达出来？为了弄清这些问题，我们来研究下列例题。（说明：在讨论中，学生会有各种不同的意见，教师应予鼓励，并随时补正纠错，但不要急着把两个关系并列起来抛出定义，中断学生的探索

5、性思维，而是再提出问题，深入探索。）例2：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？（1） （2）（3） （学生思考，回答）说明：方程（1），（2），（3）都不是表示曲线C的方程。第（1）题中曲线C上的点不全是方程的解。例如点，等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第（2）题中，尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解”，但是以方程的解为坐标的点却不全在曲线C上。例如、等，即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第（3）题中，则既有以方程的解坐标的点，如、等不在曲线C上，又有曲线C上的点，如、等的坐标不是方程的解。事实上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲线

6、应该是如图所示的三种情况。 (1) (2) (3)上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系。假如我们把例1这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了。在下定义时，针对例2（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”，以及（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定“曲线上的点的坐标都是方程的解”；为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上，必须规定“以这个方程的解为坐标的点都

7、是曲线上的点” 这样我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1） 曲线上的点的坐标都是方程的解；（2） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F。请大家思考：如何用集合C和F间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系？进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义。关系（1）指点集C是点集F的子集；关系（2）指点集

8、F是点集C的子集。这样，根据集合的性质，我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即 =。例3：下列各题中，图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系（1）还是关系（2）？曲线C为的中线 曲线C是到坐标轴距离相等的点组成的直线方程 方程曲线C是过点（4，1）的反比例函数图象 方程解：（1）错。不符合定义中的（2），即; （2）错。不符合定义中的（1），即; （3）错。不符合定义中的（1）和（2），即;例4：解答下列问题，并说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？（1） 点是否在方程为的圆上？（2） 已知方程为的圆过点，求的值。解：依据关系（2

9、），可知点在圆上；依据关系（1），可知点不在圆上；依据关系（2），求得； 变式训练4：（1）（课本P37练习NO：2）已知方程ax2+by2=2的曲线经过点A（0，）和点B（1，1），求a和b的值。（2）（课本P37习题2.1 A组 NO：1）例5：证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是。（说明：课本上原有例题：证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是，并判断点。处理时将有些要求分散到了例3与例4中，例5的要求集中在“证明”上。这样安排的意图是先集中注意力于概念的领会上，对证明过程中在表述上遇到的一些困难，留在这里解决，层层深入。）与刚才判定时一样，证明也要紧扣定义分两步进行；关系（1

10、）、（2）中，“点”与“解”指的都是有关集合中的全体元素，我们只要用表示“任意一个”，以此代表“全体”即可，这种方法为数学证明中常用。证明：（略）三：课堂小结，巩固反思：本节课我们通过对实例的研究，掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系（1）、（2）两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。即：如果曲线C的方程是，那么点 在曲线C上的充要条件是。曲线和方程之间一一对应关系的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来。在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。（说明：小结时才

11、提出“必要性”与“充分性”的问题，使学生的认识再上一个台阶，另一点意在建立曲线的方程和方程的曲线概念之后，“画龙点睛”，不失时机地“点”一下“解析几何”的基本思想，使之逐步转变为学生的思想。）四：分层作业A组：1方程(x2)2(y2)20表示的图形是()A圆B两条直线 C一个点 D两个点解析：由已知得即所以方程表示点(2，2)答案：C2已知直线l：xy30和曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2,1)满足()A在直线l上，但不在曲线C上 B既在直线l上，也在曲线C上C既不在直线l上，也不在曲线C上 D不在直线l上，但在曲线C上解析：把M的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可答案：B3方程表示

12、的曲线是()A两条线段 B两条直线 C两条射线 D一条射线和一条线段解析：由已知得1|x|1y,1y0，所以y|x|(y1)答案：A4以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是()Axy5 Bxy5(x0) Cxy5(y0) Dxy5(0x5)答案：D5方程|x|y|1表示的曲线是图中的()解析：分x0，y0；x0，y0；x0，y0；x0，y0四种情形去绝对值号，即可作出判断答案：D6若曲线yx2x2与直线yxm有两个交点，则()AmR Bm(，1) Cm1 Dm(1，)解析：联立yx2x2与yxm得x22x2m0.由44(2m)0，得m1.答案：D7若P(2，3)在曲线x2ay21上，则a的值为_解析：由22a(3)21，得a.答案：8方程x2y20表示的图形是_解析：由x2y20得yx，所以方程x2y20表示的图形是两条直线答案：两条直线B组：1、已知方程x2(y1)210.(1)判断P(1，2)，Q(，3)两点是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值解：(1)因为12(21)210，而()2(31)210.所以点P(1，2)在方程表示的曲线上，点Q(，3)不在方程表示的