三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用

1、三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用1.三角形的“四心”定理的平面几何证明三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。 证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ABC外接圆的圆心 因而称为外心三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。证明: AD、BE、CF为ABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线，相交成ABC，AD为BC的中垂线；同理BE、CF也分别为 AC、AB的中垂线， 由外心定理，它们交于一点，命题得证三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。三角形三内角平分线

2、交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明 : 设A、C的平分线相交于I, 过I作IDBC，IEAC， IFAB，则有IE=IF=ID因此I也在C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点P1P3OP2.三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明是的重心(其中是三边)证明：充分性是的重心若，则，以，为邻边作平行四边形，设与交于点，则为的中点，有，得，即四点共线，故为的中线，同理，亦为的中线，所以，为的重心。必要性：是的重心如图，延长交于，则为的中点，由重心的性质得. P1P3OP点是的垂心证明：是的垂心,同理故当且仅当.ABCDO点是的外心证明：O是ABC的外心|=|=|(或2=2=

3、2)(点O到三边距离相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线的交点)是的内心。(其中是三边)证明：充分性：是的内心=所以，而，分别是，方向上的单位向量，所以向量平分，即平分，同理平分，得到点是的内心。必要性：是的内心若点O为的内心，延长交于，由三角形内角平分线的性质定理，有，于是再由，有（定比分点）代入前式中便得.必要性证法二：设O是内任一点，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系。并设显然不共线，由平面向量基本定理，可设则（）若O是的内心，则故必要性得证同时还可得到以下结论（）若O是的重心，则故（）若O是的外心则OFEDCBA故（）

4、若O是(非直角三角形)的垂心，则故证明：（A 、E、O 、F四点共圆）同理因此只需证先证第一个等式（E 、C、D、O四点共圆,为的补角；E 、O、F、A四点共圆,为的补角）所以上式成立，即第一个等式成立。同理可证：该连等式成立，原题得证。评注：一箭四雕，需要提醒的是，这里只探求了三角形内心向量形式的必要条件，充分性并未证明。3.与三角形的“四心”有关的一些常见的其它向量关系式 设，则向量必平分BAC，该向量必通过ABC的内心; 设，则向量必平分BAC的邻补角 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过ABC的垂心 ABC中一定过的中点，通过ABC的重心为ABC的重心(P是平面上任意点).证明G是A

5、BC的重心=，即由此可得.(反之亦然(证略) ABC的外心、重心、垂心共线，即证明：（详细证明见欧拉线的证明）按重心定理 G是ABC的重心 按垂心定理 ，由此可得 . 设为ABC所在平面内任意一点，I为ABC的内心，* 内心I（，）证明：由是的内心。(其中是三边)（见内心的充要条件的证明）, I（，）.4. 欧拉线的4种证法三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 在ABC中，已知O、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：O、G、H三点共线，且OG:GH=1:2。（证九点园园心在欧拉线上略，可查有关资料）欧拉线的证法1：（平面几何法）关于欧拉

6、线的介绍详见：欧拉线，下面是欧拉线的证明如图，H、G、O分别是ABC的垂心、重心、外心，连AH，作ABC的外接圆直径BOD，再连DC、DA，则DCBC，DAABH为ABC垂心 AHBC，CHAB由、可知DCAH，由、可知DACH，故四边形ADCH为平行四边形，AH=DC。点O与点M分别是BD、CB的中点 DC=2OM，即AH=2OM。作BC边上的中线AM，连OM、OH；设OH交AM与点G'OMBC，AHG'MOG'，AH=DC=2OM，AG'=2G'M，因此G'即ABC重心G。故ABC的垂心H、重心G和外心O三点共线，直线HGO即欧拉线。评注：利

7、用垂心H、外心O作为已知，证中线AM与OH的交点G'为重心。欧拉线的证法2：（平面几何法）设H,G,O,分别为ABC的垂心、重心、外心 连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。连接OD ，又因为O为外心，所以ODBC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AEBC。所以OD/AE，有ODA=EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF/CM.所以有OFC=MCF连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以DFC=FCA，FDA=CAD，又OFC=MCF，ODA=EAD，相减可得OFD=HCA,

8、ODF=EAC,所以有OFDHCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA: OD=GA:GD=2:1,又ODA=EAD，所以OGDHGA。所以OGD=AGH,，所以OGD +OGA=180°,所以AGH +OGA =180°。即O、G、H三点共线。评注：利用重心G、外心O作为已知，证垂心H在直线OG上。欧拉线的证法3：（向量法）图设H,G,O,分别为ABC的垂心、重心、外心.若为的外心，为垂心求证：。作直经，连，,有，故，故是平行四边形，故若为的外心，G为重心求证：证明G是ABC的重心=，即由此可得.(反之亦然(证略)由，由，所以O、G、H三点共

9、线欧拉线的证法：（向量的坐标法）在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF由题设可设,，即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2【注】：本例用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都较麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、

10、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。5.与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用A F E C TB例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上如图设都是单位向量易知四边形AETF是菱形 故选答案B例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）为ABC所在平面内一点，如果，则O必为ABC的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上OBCA 故选答案D例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的（ ）（A

11、）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上由条件可推出故选答案D例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上 故选答案D例5：图32005年全国（I）卷第15题“的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，则实数=_”先解决该题：作直经，连，,有，故，故是平行四边形，进而，又故，所以评注：外心的向量表示可以完善为：若为的外心，为垂心，则。其逆命题也成立。例6已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1，求证：P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明

12、：由已知+=-，两边平方得·=， 同理 ·=·=，|=|=|=，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有+=0且|=|=|，即O是ABC所在平面内一点，+=0且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.6. 练习题1已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(+2),则点P一定为三角形ABC的( B)A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心 D.AB边的中点分析：取AB边的中点M，则，由=(+2)可得3，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。2在同一个平

13、面上有及一点满足关系式：2+2=2+222，则为ABC的( D )A.外心 B.内心 C重心 D垂心3已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为ABC的( C )A.外心 B. 内心 C重心 D垂心4已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，则P的轨迹一定通过ABC的(C )A.外心 B. 内心 C. 重心 D垂心5已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足：，则P点为三角形的 ( D )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心6已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的(B  )A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心7在三角形ABC中，动点P满足：，则P点一定通过ABC的(B )A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心8.非零向量与满足(+)·=0且·=,则ABC为(D)A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D等边三角形解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，AB=AC，又=，A=，所以ABC为等边三角形.9.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m= 110.点O是三角形ABC所在平面内