回转运动20151128

1、、刚体运动的描述0、刚体：既考虑物体的质量, 又考虑形状和大小，但忽略其形变的物体模型。刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间相对距离保持不变的质点系。1、刚体运动的基本形式（1）平动：刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行，刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。因此可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。（2）转动：刚体上所有质点都绕同一直线（即转轴）作圆周运动。（3）平面运动：刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。可以分解为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平面的定轴转动。（4）刚体的一般运动：刚体的一般运动可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。2、转动与平动的类

2、比平动转动位置位置角位置位置的变化位移角位移位置变化的快慢速度角速度速度变化的快慢加速度角加速度惯性量质量转动惯量改为运动的因素力力矩运动的量动量角动量（动量矩）能量平动动能转动动能功守恒定律无外力做功时，动量守恒无外力矩做功时，角动量守恒动量定理的微分形式角速度的方向用右手螺旋定则判定。角加速度的方向与角速度方向平行。作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，但不同位置的质点具有不同的线量。刚体上的质元的角量和线量的关系为：（1）线速度与角速度的关系（2）切向加速度（3）法向加速度3、刚体的转动惯量（1）转动惯量的计算定义转动惯量刚体为质量连续体时转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的形状

3、、大小、质量分布以及转轴的位置有关。几种基本的转动惯量：（1）质量为m、半径为R的均质圆环（宽度不计），绕通过其质心的轴转动的转动惯量为；（2）质量为m、半径为R的均质圆盘，绕通过其质心的轴转动的转动惯量为；（3）质量为m、长度为L的均质长杆，绕其一端转动的转动惯量为；（4）质量为m、长度为L的均质长杆，绕其一端转动的转动惯量为。设一个质量为m、半径为R的均质圆盘形车轮在地面上以速度v滚动且不打滑，则其转动的角速度为，平动动能为，转动动能为，总动能为。（2）平行轴定理刚体绕通过其质心的轴转动时的转动惯量最小。刚体对任一转轴的转动惯量I等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Ic加上刚体质量m乘以两平

4、行转轴间距离d的平方，即一、回转仪与进动刚体绕定点的运动一般是非常复杂的，这里只讨论一种简单的特殊情况，即陀螺仪（gyroscope）。陀螺仪的特点是：具有轴对称性和绕此对称轴有较大的的转动惯量。当外力矩M=0时，角动量及角速度矢量保持恒定定向回转仪。当回转仪受到外力矩作用时，例如陀螺倾斜回转效应（进动）。1、陀螺的运动设陀螺质量为m，以角速度自转。重力对固定点o的力矩为绕自身轴转动的角动量为结合角动量定理的微分形式，可见这种角动量时刻改变方向而大小不变的的运动称为进动（precession）。陀螺仪在外力矩作用下产生进动的效应，叫做回转效应（gyroscopic effect）。定量分析：进

5、动角速度以上只是在>>下的近似结果。说明：（1）1. 与有关，与无关；（2）进动轴通过定点且与外力平行；（3）进动方向决定于外力矩和自转角速度的方向；（4）较小时，有周期性变化，称为章动。二、刚体绕定点转动的详细分析（一）欧拉角刚体定点运动自由度s=3，刚体力学的奠基者欧拉巧妙地找到了能简单、明确、单值而且独立变化的三个角度，即著名的欧拉角作为描述刚体定点运动的变量。以固定的原点建立静止坐标系O-，再以固定点为原点建立与刚体固连的动坐标系O-xyz，确定刚体位置就等价于确定动坐标的位置。用两个角度确定z轴的位置：一个是z轴对轴的倾角；另一个用来确定z轴的方位，它是xOy平面与O平面

6、的交线ON与轴的夹角，交线ON称为节线。z轴位置确定以后，再用x轴与节线ON的夹角确定动坐标系绕z轴的转动。、和三个角度确定后，动坐标的位置也就确定了。x轴与ON之间的夹角称为自转角，取值范围为02；轴与ON之间的夹角称为进动角，取值范围为02；轴与z轴直角的夹角称为章动角，取值范围为0；这样选取的三个角、和统称为欧拉角。三个欧拉角可以独立变化，即当任何一个角自由改变时，其他两个角可以保持不变：（1） 仅发生改变而保持和不变，刚体的这种运动称为自转，相应的角速度为自转角速度，为沿z轴的单位矢量；（2） 仅发生改变而保持和不变，相当于z轴与轴的夹角不变，z轴在静止空间中沿一圆锥面运动，同时角不变

7、，刚体的这种运动称为进动，相应的角速度为进动角速度，为沿轴的单位矢量；（3） 仅发生改变而保持和不变，刚体的这种运动称为章动，相应的角速度为章动角速度，为沿节线的单位矢量。若三个角同时变化，则三种运动同时存在，刚体的角速度为三个分角速度的合成，即（二）欧拉运动学方程为计算方便，需要将在适当的坐标系中正交分解。作辅助线Oy'，它是zO平面与xOy平面的交线，Oy'方向上的单位矢量为。由于OO，故OON；又OzxOy，故OzOy'且OzON；由ON同时垂直于O和Oz，可得ONOy'，故NOy'相当于xOy转过角度。将进动角速度沿z轴和y'轴方向分解，

8、得再继续沿x轴和y轴方向分解，得章动角速度在动左边上的分解为所以刚体角速度在动坐标系中的分量为这组方程称为欧拉运动学方程，只要在头脑中形成前文中的坐标图，就能方便地列出方程。（三）惯量张量与惯性椭球设刚体以角速度绕O点做定点运动。刚体由无数个质点组成，其中第i个质点的质量为，位置矢量为，速度为，则刚体对O点的角动量为取任意坐标系O-xyz，和的正交分量都可以表示为将其代入角动量表达式，整理后得引入符号Ixx、Iyy、Izz分别称为刚体对x轴、y轴、z轴的转动惯量，Ixy、Iyz、Izx称为惯量积，统称为惯量系数，于是有惯量系数决定于刚体质量在坐标系中的分布，由于刚体质量连续分布，故惯量系数定义

9、中的求和实际为积分，即倘若坐标系是静止的，由于刚体的运动，刚体的质量对坐标系的分布会随时间改变，惯量系数是时间的函数，这将给求解带来难以克服的困难。为此做如下简化：为使惯量系数为常数，采用与刚体固连的动坐标。角动量的表达式可以写成矩阵形式这个由六个惯量系数组成的对称矩阵是一个对称的二阶张量I，称为惯量张量，因此刚体定点运动对定点的角动量表达式可写为在刚体的任一转轴上，选取一点P，使得矢径的大小为I为刚体绕该转轴的转动惯量，k为任意给定常数。当变转动时，P点坐标(x,y,z)满足方程这个方程决定了一个椭球面，称为惯性椭球。在选定k的情况下，惯性椭球是和刚体固联的，它上面每一点的矢径长度恰好和刚体

10、绕该矢径轴转动的回转半径成反比。惯量张量的分量由刚体质量相对坐标系的分布决定，可以证明：通过适当选择坐标系可以使惯量张量对角化，即使所有的惯量积为零，使张量的分量从六个减少到三个，这样的坐标系称为该点的主轴坐标系。对于主轴坐标系，惯量张量为式中Ix、Iy、Iz分别代表刚体对主轴坐标系的x、y、z轴的转动惯量，称为主转动惯量。角动量表达式简化为寻找主轴坐标系在数学上属于求本征值和本征矢量的问题。主轴坐标系的每一个轴称为该固定点的主轴，针对所讨论的转动惯量问题，称为惯量主轴。从中可见，若角速度沿某一惯量主轴方向，则角动量的方向也沿此方向，即为正的比例系数。该式可以作为主轴的定义：若刚体绕过定点的某

11、轴以角速度转动，而刚体对该点的角动量方向与角速度方向相同，则此轴就是该点的惯量主轴（简称主轴）。对于均匀对称的刚体，包含坐标x的所有惯量积都为零是x轴为O点的惯量主轴的充要条件（证明略）。根据该条件，可以得出以下结论（证明略）：（1） 匀质刚体的对称轴上是轴上各点的惯量主轴；（2） 与匀质刚体的对称面垂直的轴是该轴与该对称面交点的惯量主轴；（3） 若坐标系的两个轴是惯量主轴。则第三个轴也是惯量主轴，此坐标系是主轴坐标系；（4） 以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴为一轴的坐标系是主轴坐标系。（四）欧拉动力学方程刚体定点运动自由度s=3，对定点O运用的角动量定理足以确定其运动状态，为使角动量的表达式简

12、化并便于计算，采用与刚体固连的主轴坐标系O-xyz，于是刚体对定点的角动量为Ix、Iy、Iz分别为刚体绕x轴、y轴、z轴的转动惯量。由于采用动坐标，角动量的绝对变化率等于相对变化率与牵连变化率之和，所以角动量定理为根据定义所以角动量定理的投影方程为该方程称为欧拉动力学方程，是求解刚体定点运动的基本方程。由于主轴坐标系与刚体一起运动，所以欧拉动力学方程必须和欧拉运动学方程联立求解，这是六个非线性常微分方程，求解十分困难，目前已知只有三种情况能以解析的形式完全解出：（1） 欧拉-潘索情况，指刚体不受外力矩作用的定点运动；（2） 拉格朗日-泊松情况，指陀螺在重力场中的运动，要求主转动惯量中两个相等，

13、Ix=IyIz，重心在动力对称轴z轴上；（3） C.R.科凡列夫斯卡娅情况，要求朱转动惯量满足Ix=Iy=2Iz，刚体的重心在xOy平面上。上述三种情况之所以有解析解，是因为每个问题的动力学方程都有独立的代数积分。1906年于松（Husson）证明，除上述三种情况外，无论刚体的质量如何分布，在任意初始条件下它在重力场中绕一定点运动的问题，再也不能找到与能量不灭与分角动量不灭定理不同的代数积分。但这并不是说明刚体在某种质量分布情形下没有其他超越积分存在，至于如何去寻找此类超越积分则相当困难。所以上述三种情况至今仍认为是刚体在重力作用下定点运动的三个仅有的可解问题。三、回转效应的应用（1） 为防止

14、炮弹在飞行中发生翻转，在出膛前利用来复线使之获得高速自转，这样，在飞行中受到沿轨道切线方向的阻力作用时，阻力对质心的力矩不能使它翻转，只是使它绕切线方向做微小的进动；（2） 自行车在行驶过程中，当车身向倾斜时，地面支撑力的力矩不能使车轮翻倒，而是使车轮轴产生进动，使得自行车转弯；（3） 若在船上装上质量很大的高速回转器，则能起到抗摇摆的作用，这种抗摇摆的稳定器也安装在一些特殊用途的汽车上，还曾被用来制造高速单轨火车；（4） 回转效应的另外一种表现是，当迫使高速回转器进动时会出现回转力矩，通过计算可知回转力矩与进动角速度成正比，过大会损坏设备；回转效应还被用来制造各种陀螺仪表，比如能指示地表方向

15、的回转罗盘，它具有不受电磁场影响的优点，还有测量载体转动角速度的仪表等。四、欧拉-潘索情况分析（一）一般分析假定作用于刚体上的合外力为零或者合外力通过固定点O'，则外力矩为零，欧拉动力学方程简化为用x、y、z分别乘以三个动力学方程，然后相加，得到能量守恒方程E为刚体转动的动能，上式表明刚体的转动动能是一个常数。用Ixx、Iyy、Izz分别乘以三个动力学方程，然后相加，再积分，得到角动量守恒方程L是刚体角动量的数值，上式表明刚体角动量的数值是一个常量。值得注意的是，刚体的角动量是一个矢量，在不受外力矩作用时，在静止坐标系中角动量矢量是一个常矢量；但由于固连坐标系是运动的，所以角动量在固连

16、坐标系中的三个分量就不是常数了。令G和是两个常数，G具有转动惯量的量纲而具有角速度的量纲。当我们选取固连坐标系的轴线时，可令Ix>Iy>Iz，利用能量守恒方程和动量守恒方程消去，得由于Ix>Iy>Iz，故G>Iz。利用能量守恒方程和动量守恒方程，将x、z分别表示为y的函数，为正实数g和f都具有角速度的量纲。由于x、z都是实数，所以。又由于故g和f的大小由Iy和G的大小确定。若初始条件满足Iy>G（Iy<G同理），则g>f，故y只能在-f与+f之间变动，z就永远不为零，它保持恒定的符号，由初始条件确定。当y=±f时，x=0；当y增加时，即

17、，由动力学第二方程可知x与z异号；当y减小时，由动力学第二方程可知x与z同号。将x与z带入动力学第二方程，得令s和k都是无量纲的量，则有该式左端为第一类椭圆积分，它与单摆的振动运动具有相同的形式。因此自由刚体绕着一固定点的运动为周期运动。求出y后，即可得到x和z关于时间的函数；再带入欧拉运动学方程，可得、关于时间的函数，陀螺的运动问题乃完全解决。此部分计算需用椭圆函数。（二）潘索的几何分析以代表以O'为参考的惯性椭球上一点P的坐标矢量，并令此矢量方向与角速度方向相同，经计算有E为刚体转动的动能，k为任意给定常数，所以是一常数。上式表明，刚体的角速度与矢量的大小成正比，故原点O'

18、与椭球在P点切面之间的距离为L为角动量。角动量矢量与P点的切面垂直，而角动量矢量在静止坐标系中是一不变量，故P点的切面称为“不变平面”，而刚体绕O'的转动可以表述为：刚体以O'点作参考并固定在此刚体中的惯性椭球在不变平面上作不滑动的滚动。惯性椭球同不变平面的接触点在椭球上所作的轨迹称为“本体极迹”，在平面上所作轨迹称为“空间极迹”。固定点O'与本体极迹上各点所确定的各直线形成的锥体称为“本体锥体”，这锥体是固定在刚体上的；固定点O'与空间极迹上各点所确定的各直线形成的锥体称为“空间锥体”，这锥体是固定在静止坐标系内的。一个自由刚体绕着一固定点的运动也就是刚体的本

19、体锥体在它的空间锥体上作不滑动的滚动。（三）行星的转动普通刚体绕一固定点的自由转动是相当复杂的，现在讨论一个简单的特例，即绕着一固定点转动的刚体具有旋转对称性的均匀的质量分布，它的对称轴线通过此固定点，或者说，刚体在固定点的惯性椭球具有旋转对称性。地球和其他行星在它们轨道内的转动可以归纳为此种运动，行星的中心相当于固定点。以固连坐标系的z轴与刚体的对称轴线重合，则Ix=Iy，因此欧拉动力学方程化为对动力学第三方程积分，得这表明刚体的转动角速度沿它的对称轴线的分量是一个常数，可以在选取坐标系时令其为正。将其代入动力学第一和第二方程，求解常系数二阶线性常微分方程得到其中0和是两个积分常数，由初始条

20、件确定。由于行星的形状都是扁球形，故Iz>Ix。三个角速度分量的表达式表明刚体总角速度的数值是一常数，此总角速度的方向绕着刚体的对称轴线作匀速圆周运动，且画出一个锥体，z轴为此锥体的轴线。此圆周运动的周期为若Ix和Iz相差很小，则T很大，即角速度绕着刚体对称轴线的转动很慢，这就是地球转动的情形：地球的总角速度并不与其对称轴线重合，故它的角速度向量沿着其对称轴线作很慢的转动，此转动产生的天文现象称为“纬度变移”。用上式计算得纬度变移的周期为305日，实测为440±6 日，两者数值不同的原因是地球为一不完全刚体（会发生形变）以及太阳和月球作用于地球的引力使得外力矩不完全为零。自由刚

21、体的总角动量是一个常矢量，以此常矢量的方向为轴，故刚体角动量在固连坐标系中的分量为故极角=0为一常数，将其代入x、y的运动学方程表达式和三角函数表达式，得将z与的值代入运动学第三方程，得0为的初始值。从表达式中看出，为一常数，与皆随时间t匀速变化。它们的几何解释为：刚体的瞬时角速度为绕轴的角速度和绕z轴的角速度的矢量和，而轴和z轴之间的夹角为常数。刚体瞬时角速度绕z轴所画的本体锥体和绕轴所画的空间锥体都为圆锥体，或者说，刚体的转动是本体锥体在空间锥体表面作无滑动的匀速滚动。Ix>Iz时，本体锥体在空间锥体外部运动；Ix<Iz时，本体锥体在空间锥体内部运动。地球的转动属于Ix<

22、Iz一类，它的本体锥体侧面与地面的交线是一个直径26英尺的圆周。五、拉格朗日-泊松情况分析若有一质量分布具有旋转对称性的刚体，在重力作用下绕着在对称轴线上的一点O'转动，则此力系名为“拉格朗日陀螺”。以静止坐标系的O轴与地面正交，并使动坐标系的O'z轴与陀螺的轴线重合，固定点O选为两个坐标系的原点，陀螺的重心在G点，OG=l为一常数。作用在刚体上的外力就是重力，m为陀螺的质量。重力对O点的重力矩为由于故由于拉格朗日陀螺满足Ix=IyIz，因此动力学方程为根据第三个动力学方程，有它表明拉格朗日陀螺沿着自身对称轴线的分角速度不变。将x、y、z分别与三个动力学方程相乘，然后相加，再将

23、运动学方程带入等式右端，得即表明陀螺转动的能量不灭定理，W代表陀螺的总能量。再将运动学方程带入该式，得将动力学第一方程乘以、动力学第二方程乘以后相加，得为使后续运算更为简便，可将上式变换为将运动学方程带入，得对该式进行积分，得容易证明，L的物理意义就是陀螺转动的角动量在静止坐标系轴上的投影，即陀螺总角动量在静止坐标系轴上的投影为常数。至此我们得到的三个值为常数的量令、，消去，得到一个u所满足的微分方程第二个常量表达式可变换为第三个常量表达式可变换为f(u)是u的三次函数，且f(±1)<1、f(-)<0、f(+)>0，而u=cos是取值范围为-1,1的量；根据u所满足的微分方程可知，f(u)非负。故f(u)=0存在三个实根u1、u2和u'。令u0为u的初始值，则有关于u的微分方程可写作由于f(u)非负，因此u只能在u1uu2的范围内变动，即角度满足条件12，其物理意义为陀螺的对称轴线只能在极角1与2之间变动。陀螺因变动的运动称为“章动”。角度随时间的变化率有三种情况：（1）当或时，的正负号不发生改变，即随时间单调变化，此时