浅谈三骰掷十点的概率之思维“雾”区

1、浅谈三骰掷十点的概率之思维“雾”区宋长庆摘要:人们对于三个骰子点数和为 10点的概率计算情形存在一些思维误区。本 文着眼于解释在多次投掷过程中, 每次骰子的点数遵循 “ 点数不减 ” 规律的情形 的概率问题,最终得到与正常投掷方法得到 10点的概率的比较与原因分析。 关键词:概率;三次投掷; 10点;点数不减;思维误区Abstract: With regard to the probability of the case that the sum of three casts of a dice equals 10, people have some thought erroneous zon

2、es. This essay sets foot on the probability that during each cast, the num of dice is equal to, or larger than the num of the last dice. Ultimately, it obtains the comparison with the probability of three normal casts as well as the analysis of the differences between them.Keywords: Probability; Thr

3、ee Casts; Ten points; Nondecreasing; Thought ErroneousZone正文分别掷三次骰子,试问:三次点数之和为 10的概率是多少?博弈问题是 “ 一种极易把人搞糊涂的东西” 1。虽然本问题的解决并不难, 一种方法如下:样本空间所含的基本事件总数 2为 6×6×6=216; 通过穷举的方法 可以得到点数和为 10有 1,3,6, 1,4,5, 1,5,4, , 1,6,3, 2,2,6, 2,3,5, 2,4,4, 2,5,3, 2,6,2, 3,1,6, 3,2,5, 3,3,4, 3,4,3, 3,5,2, 3,6,1, 4,

4、1,5, , 4,2,4, 4,3,3, 4,4,2, 4,5,1, 5,1,4, 5,2,3, 5,3,2, 5,4,16,1,3, 6,2,2, 6,3,1共 27个基本事件。故可得事件 -三次骰子点数和为10-的概率 P 1=21627=81。 看到题目的时候有人或许有如下的想法:可不可以像排列组合有无序那样, 通过使每次骰子的点数遵循点数不减的规律以减少穷举的次数, 即后一次掷骰子 所得的点数总是不小于前一次所掷的点数。 困惑也就随着这一想法的出现油然而 生:按这样的方式掷三次骰子,点数和为 10的概率是多少?显然这种情况较于 第一种情形,基本事件的总数将大大减少。那这两种掷骰子的方法

5、得到 10点的 概率是否与文章开始时的第一种方法的概率结果相同?首先需要解决第二种投掷方式(点数不减方式的概率的计算。设第一次骰 子的点数为 i( i=1,2,3,4,5,6 ,第二次点数为 j (j i ,则·第三次骰子的点数取值范围为 j 6,共(7-j 种情况;·对于第一次点数为确定值 i , 第二、 三次骰子的点数共有 =6j j -(7i 种情形;·因 61i 且为离散值,故三次投掷点数和为 10的基本事件总数为=61i 6 j -(7i j 。 利 用 公 式 1+2+3+n=21(n+n 和 12+22+32+n2=61(2n 1n(n+就可计算出基

6、本事件总数为 56。 “点数不减” 方法的穷举基本事件工作较于正常投掷方法将简单很多:只有 1,3,6, 1,4,5, 2,2,6, 2,3,5, 2,4,4, , 3,3,4共 6种情形。所以按点数不减的规律、掷三次骰子的点数和为 10的概率为 P 2=566=283。 这时可以清楚地发现,这两种计算方式得到的概率分别为 28381和 ,并不相 同。问题出在哪里呢?如何理解两者所得概率值不同?原因在于我们为了简化穷举过程而做的假设:每次所掷骰子的点数遵循不减 规律。 例如:对于遵循不减的情形之一 -3,3,4, , 可以对应于正常投掷方法 (即 不是遵循 “点数不减” 规律的投掷方法 的 3

7、,3,4, 3,4,3, 4,3,33种情形; 对于1,3,6,对应1,3,6, 1,6,3, 3,1,6, 3,6,1, 6,1,3, 6,3,16种 情形, 两种方法各自的样本点数目并没有明确的线性对应关系。 因而两者所得概 率自然是不同。另外,此次计算中三次骰子点数和为 10的概率 :283P 8121=>=P 。由概率和 为 1可知必然存在某些点数和, 使得按第一种投掷方法的概率小于按照第二种方 法的概率。即,第一种方法的概率并不是总是大于第二种的概率。如点数和为 3时,正常投掷只有1,1,1三种情形,基本事件总数为 216(=6×6×6 ;对于点 数不减情形,基本事件仅有1,1,1,基本事件总数为 56(=61i 6j -(7i j 561216121=<=P P 。 类似问题的解决的关键,一是找到基本事件总数,二是找到目标事件的基本 事件数,分而治之各自计算,继而汇总到 基本事件总数 目标事件N N P =。在培养思维时,如果结合排列组合等知识, 问题处理起来将更加高效便捷。 此外, 了解关于概率求解 的一些趣味故事将会让学习过程趣味横生!结束语博弈问题永远充满疑惑区,但亦