第七章数列（教案） (2)

1、§7.1 数列及其表示 教学目的：1.理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法；2.应用数列的有关概念和函数的性质.判断单调性、求数列通项的最值等。教学重点：正确理解数列的概念教学难点：掌握数列通项公式的一般求法。教学过程：一、知识梳理1、学生完成下列填空题引导梳理总结：（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.(2)通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 。（3）递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即

2、或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，其中是数列的递推公式.（4）数列的前项和与通项的公式； .（5） 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.（6）数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.递增数列:对于任何,均有.递减数列:对于任何,均有.摆动数列:例如: 常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数使.无界数列:对于任何正数,总有项使得.2、方法定位：（1）数列的通项公式的求法：观察发现法；转化法，化成等差数列或等比数列；利用之间的关系；由递推关系求通项公式，观察特点，采用叠加、叠乘等公式获取通项公式。消常数项法

3、。（2）判断单调性、求数列通项的最值的方法：通常应用数列的有关概念和函数的性质。二、典型例题例1：设数列，则是这个数列的（ ）A第9项 B第10项 C第11项 D第12项解析：C，选C例2：数列的前项和为，且，则数列的首项为（ ） A或 B C D或解析：D中令，得，或例3：已知定义在正整数集上的函数满足条件：，,则的值为（ ） A2 B 2 C4 D4解析：B利用数列的周期性，周期为4，例4：数列中数值最大的项是第 项.解析：3例5：观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，则可得出一般结论 .解析：例6：数列中，则的值是（ ） A

4、B C D解析：C利用数列的周期性，除前4项后，周期为6，例7：已知是数列的前项和，则此数列是( )A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列分析：将已知条件转化为数列项之间的关系，根据数列单调性作出判定.解析：，两式相减，得，当时，选C.例8：（07北京理10）若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项例9：已知数列的首项，其前项和求数列 的通项公式解析：由， ，得：，即， ，例10：求下列数列的一个通项公式：解题思路：写出数列的通项公式，应注意观察数列中和的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的

5、数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式.解析：联想数列即数列，可得数列的通项公式；将原数列改写为分母分别为分子分别为呈周期性变化，可以用，或，或表示.（或，或）分子为正偶数列，分母为得 观察数列可知：本题也可以利用关系式求解. 注意：联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.例11：数列中，.求数列的最小项；判断数列是否有界，并说明理由.解题思路：转化为判断数列的单调性，即证，或；从“数列的有界性”定义入手.

6、解析： ，数列是递增数列，数列的最小项为.，数列有界.注意：数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列.归纳小结：本课要求大家理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法；应用数列的有关概念和函数的性质.判断单调性、求数列通项的最值等。（1）数列的通项公式的求法：观察发现法；转化法，化成等差数列或等比数列；利用之间的关系；由递推关系求通项公式，观察特点，采用叠加、叠乘等公式获取通项公式。消常数项法。（2）判断单调性、求数列通项的最值的方法：通常应用数列的有关概念和函数的性质。§7.2 等差数列及其性质教学目的：1、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通

7、项公式、前项和公式并能解决实际问题；2、理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质并能灵活运用。教学重点：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的性质解题.会求等差数列的公差、求项、求值、求和、求最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质.教学难点：运用等差数列的有关公式及其性质求等差数列的公差、求项、求值、求和、求最值等教学过程：一、知识梳理1.等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差. 2.通项公式与前项和公式通项公式，为首项，

8、为公差.前项和公式或.3.等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，成等差数列.4.等差数列的判定方法：定义法：（，是常数）是等差数列；中项法：()是等差数列.5.等差数列的常用性质：数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.；(,是常数)；(,是常数，)若，则；若等差数列的前项和，则是等差数列；当项数为，则； 当项数为，则.6. 等差数列中求最值的方法：（1）、不等式组法；（2）、性质法；（3）、二次函数配方法。二、典型例题例1：已知,且和都是等差数列，则 分析：问题转化为：在插入若干个数

9、，使其成等差，利用等差数列公差的求法公式解答.解析：设等差数列和的公差分别是 则，同理，得，.例2：已知函数则 ； .分析：可以直接代入计算，也可以整体处理；寻找规律，整体处理.解析：，经计算，得，.例3：已知为等差数列，则 解题思路：可以考虑基本量法，或利用等差数列的性质解析：方法1：方法2：，方法3：为等差数列，也成等差数列，设其公差为，则为首项，为第4项. 注意：给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法.例4：已知为等差数列的前项和，求；若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.解题思路：利用等差数列的通项公式求出及，代入可求

10、项数； 利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.解析：设等差数列的首项为，公差为，则注意：解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：基本量法；利用等差数列的性质.例5：已知为等差数列的前项和，。求.解题思路：利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.解析：， .由，得，当时，；当时，.当时， 当时， 注意：含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.例6：已知为等差数列的前项和，。求证：数列是等差数列.解题思路：利用等差数列的判定方法定义法；中项法. 解析:设等差数列的公差为， （常数）数列是等差数列.注意：判断或证明数列是等差数列的方法有：定义法：（，是常数）是等差数列；

11、中项法：()是等差数列；通项公式法：（是常数）是等差数列；前项和公式法：（是常数，）是等差数列.例7:（1）含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） 解析:，.选B.(2)设、分别是等差数列、的前项和，则 . 解析: 填. 例8:已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；求的值；求数列的前项和解析:等差数列中，公差，令当时，；当时，.当时，取得最大值；数列是等差数列；由得，当时，；当时，. 注意：求等差数列的最值的方法主要有两种方法：1、不等式组法；2、利用二次函数配方法。例4：已知为数列的前项和，；数列满足：，其前项和为 求数列、的通项公式； 设为数列的前项和，求使不等式对

12、都成立的最大正整数的值.解题思路：利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；求出后，判断的单调性.解析：，当时，； 当时， 当时，；，是等差数列，设其公差为.则，. ，是单调递增数列.当时，对都成立所求最大正整数的值为.注意：本题综合考查等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识，利用了函数、方程思想，这是历年高考的重点内容.归纳小结：要求大家理解和掌握1已知等差数列的某些项，求某项；2、已知前项和及其某项，求项数；3、求等差数列的前n项和；4、证明数列是等差数列；5、等差数列的性质应用的解法，并能灵活运用。探析了：1、求等差数列的最值其方法为不等式组法和利用二次函数配方法。2、与等差数列有关的

13、求和问题主要有用倒序相加法求数列的前n项和及用裂项法求数列的前n项和要分析特点恰当选取。3、等差数列与其它知识的综合等考点和题型，这些是高考的重点。§7.3 等比数列及其性质教学目的：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质，能灵活运用等比数列的性质解题.教学重点：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质.教学难点：灵活运用等比数列的性质解题.教学过程：一、知识梳理1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个

14、数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比. 2.通项公式与前项和公式通项公式：，为首项，为公比 .前项和公式：当时，当时，.3.等比中项如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等差中项，成等差数列.4.等比数列的判定方法定义法：（，是常数）是等比数列；中项法：()且是等比数列.5.等比数列的常用性质数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.若，则；若等比数列的前项和，则、是等比数列.二、典型例题例1:已;知为等比数列，则 解题思路:可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质解析:方法1：方法2：，方法3：为等比数

15、列 注意：给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.例2：已知为等比数列前项和，公比，则项数 .已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.解题思路：利用等比数列的通项公式及求出及，代入可求项数；利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.解析：由，公比，得.设前个数分别为，则第个数分别为，则，解得或；注意：平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益.例3：等比数列中从第5项到第10项的和.解题思路：可以先求出，再求出，利用求解；也可以先求出及，由成等比数列求解.

16、解析:由，得，例4：已知为等比数列前项和，求 解题思路：可以先求出，再根据的形式特点求解.解析：，即例5：已知为等比数列前项和，求. 解题思路：分析数列通项形式特点，结合等比数列前项和公式的推导，采用错位相减法求和.解析：，- -，得 注意：根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数列求和从“通项”入手.例6：已知数列和满足：，其中为实数，. 对任意实数，证明数列不是等比数列； 试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.解题思路：证明数列不是等比数列，只需举一个反例；证明数列是等比数列，常用：定义法；中项法.解析： 证明：假设存在一个实数，使

17、是等比数列，则有，即矛盾.所以不是等比数列. 解：因为 又，所以当，此时不是等比数列；当时，由上可知，此时是等比数列.注意：等比数列的判定方法：定义法：（，是常数）是等比数列；中项法：()且是等比数列.例7：已知为等比数列前项和，则 .解题思路：结合题意考虑利用等比数列前项和的性质求解.解析：是等比数列，为等比数列，.注意：给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.例8：设为数列的前项和，已知证明：当时，是等比数列；求的通项公式解题思路：由递推公式求数列的通项公式，主要利用：，同时注意分类讨论思想.解析：由题意知，且 ，两式相减，得，即 当时，由知 于是 又，所以是首项为，公比为

18、的等比数列。当时，由（）知，即 当时，由得 因此 得 注意：退一相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键.归纳小结：要求大家熟练理解和掌握1、已知等比数列的某些项，求某项；2 已知前项和及其某项，求项数；3、求等比数列前项和；4、证明数列是等比数列。等题型的解法，并能灵活运用。§7.4 数列的通项公式教学目的：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法，培养和提高转化、分析问题和解决问题的能力。教学重点：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法.教学难点：

19、由数列递推关系式的特点，选择合适的方法.教学过程：一、知识梳理 数列通项的常用方法： 利用观察法求数列的通项.利用公式法求数列的通项：；等差、等比数列公式. 应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：；构造等差、等比数列求通项： ；.二、典型例题例1：已知为数列的前项和，求下列数列的通项公式： ； .解析：当时，当时，.而时，.当时，当时，.而时，.注意：任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.例2：已知数列中，求数列的通项公式；已知为数列的前项和，求数列的通项公式.解析：（迭加法）， ，当时，.注意：迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于

20、求递推关系形如“；迭加法、迭乘法公式： .例3：已知数列中，求数列的通项公式.解析：，是以为公比的等比数列，其首项为注意：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法：令； 在中令，；由得，.例4：已知数列中，求数列的通项公式.解析：，令则 ， 注意：递推关系形如“”通过适当变形可转化为：“”或“求解.例5：已知数列中，求数列的通项公式.解析：令由或，数列是等比数列， .注意：递推关系形如“”，通过适当变形转化为可求和的数列.归纳小结：数列通项的常用方法：利用观察法求数列的通项；利用公式法求数列的通项；应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：；（4）构造等差、等比数列求通项：；.§7.

21、5 数列的求和教学目的：掌握由数列通项公式求数列的前项之和的方法，并灵活运用，培养和提高转化、分析问题和解决问题的能力。教学重点：掌握由数列通项公式求数列的前项之和的方法；教学难点：利用裂项相消法、错位相减法求数列的前项之和.教学过程：一、知识梳理 1.基本数列的前项和 等差数列的前项和： 等比数列的前项和：当时，；当时，； 基本数列的前项和：.2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.二、典型例题例1：等比数列中的第5项到第10项的和为： 等差数列的前项和为18，前项为和28，则前项和为 解题思路：可以先求出，再求出，利用求解；也可以先求出及，

22、由成等比数列求解；利用等差数列的性质求解.解析：利用等比数列前项和公式求解. 由，得，利用等差数列的性质求解.是等差数列，为等差数列，三点共线.注意：利用等差（等比）数列的有关性质解题，可以简化运算.例2：求数列的前项和.解题思路：根据通项公式，通过观察、分析、研究，可以分解通项公式中的对应项，达到求和的目的.解析： .注意：若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的.例3：求和：.解题思路：观察通项公式的特点，发现.解析：原式.注意：数列的常见拆项有：；.例4：若数列的通项，求此数列的前项和.解题思路：利用等比数列前项和公式的推导方法求和，一

23、般可解决形如一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题.解析：， -，得 .注意：若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法. 例5：设，求：；解题思路：观察及的特点，发现.解析：，. 原式.注意：通过分析对应的通项，可结合等差数列前项和的推导方法求解.归纳小结： 数列求和应该从通项入手； 数列求和的常用方法：公式法、性质法、拆项分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.§7.6 数列的应用教学目的：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用.培养和提高学生灵活与综合应用能力及分析与解决问题的能力。教学重点：掌握常

24、见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用.教学难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题.教学过程：一、知识梳理1.等差数列的补充性质 若有最大值，可由不等式组来确定； 若有最小值，可由不等式组来确定. 2.若干个数成等差、等比数列的设法 三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：.三个数成等比的设法：；四个数成等比的设法：.3.用函数的观点理解等差、等比数列等差数列中，当时，是递增数列，是的一次函数；当时，是常数列，是的常数函数；当时，是递减数列，是的一次函数.等比数列中，当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，是一个常数列；当时，是一个摆动数列.4

25、.解答数列综合问题的注意事项 认真审题、展开联想、沟通联系； 将实际应用问题转化为数学问题； 将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来.二、典型例题例1：已知等差数列与等比数列中，求的通项.解题思路:由等比数列知：成等比，从而找出的关系.解析:设等差数列的公差为，等比数列的公比为，是等比数列，成等比，则，解得 或.当时， ， ；当时， . 注意：综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键.例2：已知为数列的前项和，.设数列中，求证：是等比数列；设数列中，求证：是等差数列；求数列的通项公式及前项和.解题思路：由于和中的项与中的项有关，且，可利用、的关系作为切入点.解析：，两式相减，得， 又，由，得 ，是等比数列，.由知，且是等差数列，. ，且，当时，注意：等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；将“”化归为是解题的关键.例3:设函数的定义域为，当时，且对任意的实数，有求，判断并证明函数的单调性；数列满足,且 求通项公式；当时，不等式对不小于的正整数恒成立，求的取值范围. 解题思路:从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值.解析；，在上减函数（解法略） 由单调性，故等差数列 是递增数列当时， 即而，故的取值范围是注意：数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分