空间曲面曲线方程

1、 第七节 空间曲面与曲线 本节内容提要一、空间曲面的概念 二、几种常见的二次曲面 三、空间曲线及其在坐标上的投影 本节重点： 二次曲面 柱面 旋转曲面 本节难点：旋转曲面教学方法：启发式、直观式教学手段：多媒体课件和面授讲解想结合教学课时：4学时（返回）一空间曲面的概念 在空间直角坐标系中，把曲面看成空间一动点M(x, y, z)的运动轨迹。根据运动规律可以得到一个含x, y, z的三元方程，如果方程F(x, y, z)=0与曲面有如下关系 （1） 曲面上的点的坐标满足方程 F(x, y, z)=0 （ 2） 不在曲面上的点的坐标不满足方程F(x, y, z)=0 则称方程F(x, y, z)

2、=0为曲面方程，而曲面称为方程F(x, y, z)=0的图形（或轨迹）如图 这样曲面与 三元方程就一 一对应起来.z0yxF(x,y,z)=0 例1） 求与点A(2, 1, 0)和点B(1, -3, 6)等距离的点的轨迹 解：设M(x, y, z)为轨迹上任一点，根据题意有 将其写为坐标形式有 两边平方并整理得 这就是所求轨迹方程，是关于X的一次方程，是一个一次曲面， 也就是平面12M MM M 222222(2)(1)(1)(3)(6)xyzxyz414602xyz 例2）求球心在 ，半径为R的球面方程解：如图所示 ，在球面上任取一点M(x, y, z) ，M到 的距离为R，所以 ， 即整理

3、得 这就是球心在 半径为R的球面方程，是一个二次曲面00,0,0( y z )Mx0M0M MR 222000()()()xxyyzzR2222000()()()xxyyzzR00,0,0( y z )Mx（返回）二几种常见的二次曲面 1. 柱面：动直线L沿给定曲线C平行移动形成的曲面叫做柱面（如图），动直线L叫做柱面的母线，定曲线C叫做柱面的准线。我们只讨论母线平行与坐标轴的柱面。设柱面的准线是xoy平面上的曲线CF(x , y )=0 Z=0 柱面的母线平行与Z轴，(如图)下面建立柱面方程xyzLC 在柱面上任取一点M(x, y, z) ，过M作直线平行与Z轴，该直线与曲线C交与 点。显然

4、，M与 有相同的横坐标和纵坐标。点 在曲线C上，所以点满足曲线C的方程, 即F(x, y )=0又因为F(x, y )=0与z无关，所以点M (x, y, z ) 的坐标也满足F(x, y)=0，而不在柱面上的点的垂足不在曲线C上，故其坐标不满足方程F(x, y )=0 因此，F(x , y )=0为母线平行与轴、准线为曲线C的柱面方程同理，F(y, z )=0为母线平行与X轴的柱面方程；F(x, z)=0为母线平行与Y轴的柱面方程。总之，在空间直角坐标系中，如果一个方程缺一个变量，那么该方程就是柱面方程。 1M1M1( , y, 0 )M x1( , y, 0)M x例3指出 在空间直角坐标

5、系下是什图形 ？ 解：因为 中不含变量Z， 所以 表示一个xoy面上的圆为准线，母线平行与Z轴的柱面，称这样的柱面为圆柱面（如图），类似地 称为椭圆柱面, 为抛物柱面222xya222xya222xya22221xyab22yxyzx02. 旋转曲面 一条平面曲线C绕一定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，曲线C叫旋转曲面的母线，定直线L叫做旋转曲面的轴（旋转轴），我们只讨论旋转轴为坐标轴的旋转曲面。 设旋转曲面的母线是yoz平面上的平面曲线c f (y ,z )=0 x=0旋转轴是Z轴, 求旋转曲面方程。（如图） 在旋转曲面上任取一点M(x, y, z)，点M是由母线上的一点 旋转得到

6、, 的坐标为 , 的坐标为 (0, 0 , z ) ， 而点 在母线C上，即 旋转曲面上的点都满足方程 ，而不在旋转曲面上的点都不满足此方程，此方程即为曲线C绕z轴旋转而成的旋转曲面。1M1Mo11(0, y , z ) 1o Mo M 2211 , z=zyxy 即 1M221 , 1()0 f(x , z)=0f yzy于是有22 f(x , z)=0y同理，曲线 C 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面方程为 类似地可以得到其他坐标面上的曲线绕坐标轴旋转而形成的曲面方程。22( , x)0f yz22( , )0f xyz22( , )0fxzy 例4 写出在xoy平面上的椭圆 分别绕 x 轴，

7、y 轴旋转一周形成的旋转曲面方程。解： 绕 x 轴旋转的曲面方程为： 绕 y 旋转的旋转曲面方程为： 称这样的曲面为旋转椭球面 22221xyab222221xyzab222221xzyab 例5求由yoz平面上的直线z=ky绕z轴旋转而成的旋转曲面方程解：在z=ky中，把 y 换成 得到所求方程为 此曲面为顶点在原点，对称轴为z轴的圆锥面.(如图) 22xy222222 z()zkxykxy 即 下面我们介绍几种常见的二次曲面方程，并用平面截痕法讨论他们的图形 1. 椭球面：方程 所表示的曲面称为椭球面，由方程知： 2222221 (a0, cxyzbabc 222222yz1 , 1 ,

8、1 , y, zcxxabcab即可见曲面包含在这六个平面所围成的长方体内，现在用平面截痕法来讨论这个曲面的形状用xoy平面z=0截曲面，结果一个椭圆：用平面 截曲面，结果也是一个椭圆该椭圆随着 越大而变的越小，直到时 该椭圆收缩成一个点22221xyab22222222x1a (1)(1)yhhbcczh ()zhhchhc 同理，用yoz平面及x=h平面分别截曲面，以及用zox平面和y=h平面分别截曲面得到一样的结果，根据上述结果，可以画出椭球面（如图）我们可以用上述平面截痕法画出单叶双曲面： 的图形（如图）双叶双曲面 的图形（如图）椭圆抛物面 的图形（如图）2222221 xyzabc2

9、222221 xyzabc2222 xyzab （返回）三、空间曲线及其在坐标上的投影 1. 空间曲线其方程： 任何一条空间曲线都可以 成是两个曲面的交线 。 设是两个曲面方程, 它们交线上的每一点的坐标都同时满足上述两个曲面方程；反过来，同时满足上述两个方程 的点都在这条交线上 因此 叫做空间曲线的一般方程。 12( , , )0 , F ( , , )0F x y zx y z12( , , )0( , , )0F x y zF x y z例6 下列方程表示什么曲线？ 1 2 . 解：1. 表示以原点为球心，半径为5 的球面 , Z=4 表示平形于XOY面的一个平面。将Z=4 代入 得 表

10、示此交线在XOY 平面上，以（0， 0 ，4 ）为圆心，以3 为半径的圆。222254xyzz00 xyxy22225xyz22225xyz229xy解：（2） X+Y=0, X-Y=0 是两个平面。解方程组 得 表示z轴。注：空间曲线方程 可以用与它等价的任何两个方程联立的方程组来代替，即空间曲线表示的方法不唯一。空间曲线还有参数方程的形式 （t 为参数)）00 xyxy00 xy12( , , )0( , , )0F x y zF x y z( )( )( )xx tyy tzz t 2 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线方程为 L 由方程组中消去z后得到方程 它表示母线平行于z 轴的柱

11、面。空间曲线L上的点一定在柱面上，（柱面包含曲线L）称柱面为曲线L关于XOY面的投影柱面投影柱面与XOY平面的交线叫做空间曲线L在XOY平面上的投影曲线（简称投影），记作 （注：空间曲线L在XOY，YOZ平面上的投影如何确定？） 12( , y, z)0( , y, z)0F xF x( , y)0 x( , y)00 xz例7 求曲线L 在XOY平面上的投影解：消去z ，得到投影柱面为于是L在XOY平面上的投影为 222112xyzz2234xy22340 xyz第七章小结 （习题课） 本章重点 : 1 向量的代数运算：加法、减法、数乘、数量积、向量积 2 向量的模、方向角、方向余弦的概念

12、3 在一定条件下，求平面或空间直线方程 4 研究平面与平面、直线与直线、平面与直线的相互关系 5 二次曲面的概念，柱面、旋转面等本章难点 :向量积 方向余弦 平面或空间直线方程 例1 已知两点 ， 试求向量 的模、方向角、方向余弦和的单位向量12(1,3,0) M (2,2, 2)M和12M M012M M1212012 1, 1,2 M2112cos , cos , cos =2222 , = , =334112cos ,cos,cos,222M MMM M 解：例2 求垂直与向量 的向量1, 3,12, 1,3ab和 1318, 1,5213a babijka b 解： 就是垂直与 和的向

13、量例3 指出下列平面位置的特点，并作出图形1） 3x-2y+z=0 解：由于方程中的常数项等于零，所以平面通过坐标原点。 2）x+y=4 解： 由于方程中不含z的项，因此平面平行于z 轴。 3）2x+y=0 解 ：由于方程中不含常数项，也不含z 的项，所以平面通过z 轴。 4）z=1 解： 由于方程中不含X和Y的项，所以平面垂直于z 轴。如图 1） 2） 3） 4） 例4 一平面过两点 ，且 垂直与平面X+Y+Z=0，求平面方程 解： ，设所求平面的法向量为 因 在所求平面上，故 ，又所求平面垂直于平面 X+Y+Z=0， 所以 所求平面方程为 12(1,1,1)(0,1, 1)MM和121,0

14、, 2M M n12M M12nM M 1,1,11,0, 21112,1,1102ijkn 2(1)(1)(1)0, 20 xyzxyz即 例5 分别求出满足下列各组条件的直线方程。 （1）经过点（2，-3，4）而与平面 3X-Y+2Z=4 垂直。 （2）经过点（0，2，4）而与两平面 X+2Z=1 和 Y-3Z=2 平行。解： （1）平面3X-Y+2Z=4的法向量为 ，所求直线垂直与已知平面 ，故所求直线方向向量所以所求直线方程为 3, 1,2n 3, 1,2s 234312xyz 解：（2）两平面的法向量分别为 所求直线与这两平面平行，则直线方向向量 所以所求直线方程为121,0,2 , 0,1, 3nn 121022,3,1013ijksnn 24231xyz 例6 指出下列平面与平面，平面与直线，直线与 直线的关系。1) 21 21112) 3210 32111213) 1123212xyzxyxyzxyzxyzxyz 与 与与解：1） 平面的法向量为 故两个平面互相垂直解：2） 平面法向量为 ，直线的方向向量为 ，故 ，故平面与直线互相垂直。解：（3） 直线的方向向量 所以两直线互相垂直。1212122,1, 1