(专升本概念)向量代数与空间解析几何（课堂PPT）

1、第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何主要内容主要内容（一）向量代数（一）向量代数（二）空间解析几何（二）空间解析几何向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念一、向量代数一、向量代数.3xyoz1.空空间间直直角角坐坐标标系系有一个原点有一个原点,三个坐标轴三个坐标轴,三个坐标面三个坐标面,八个卦限八个卦限.空间的点空间的点),(zyx有序数组有序数组两点间距离公式两点间距离公式: 21221221221zzyyxxMM .42 2、向量的概念、向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既

2、有大小又有方向的量称为向量.自由向量、自由向量、相等向量、相等向量、 负向量、负向量、向径向径.零向量、零向量、向量的模、向量的模、 单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、3 3、向量的线性运算、向量的线性运算(1) 加法：加法：cba (2) 减法：减法：dba abcba dba (3) 向量与数的乘法向量与数的乘法向向量量a与与数数 的的乘乘积积a ， |aa .5向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,轴轴上上的的投投影影分分别别为为向向量量在在其其中中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的坐标表示

3、式：向量的坐标表示式：4 4、向量的表示法、向量的表示法)(),(),()(zzyyxxbabababa222|zyxaaaa 向量的模：向量的模：向量的方向余弦：向量的方向余弦：,cosaax,cosaayaazcos)1coscoscos(222 .65 5、数量积、数量积 cos|baba (点积、内积点积、内积)zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ajbbPr| .Pr|bjaa 数量积满足交换律数量积满足交换律,分配律分配律,数乘的结合律数乘的结合律.

4、cbcaba.76 6、向量积、向量积 sin|bac c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系.(叉积、外积叉积、外积)向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac 向量积满足反交换律向量积满足反交换律,分配律分配律,数乘的结合律数乘的结合律. bacbca.8向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式ba kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa .9cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 7 7、混合积、混合积(2) cbacba )(的的

5、绝绝对对值值表表示示以以向向量量a、b、c为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积. . 0 cba(1) (1) 混合混合积具有轮换对称性积具有轮换对称性;两向量互换两向量互换,混合混合积变号积变号.直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系二、空间解析几何二、空间解析几何.111 1、平面、平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 z

6、zCyyBxxA2 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc.120:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA4 平面的夹角平面的夹角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 1 1n2 2n .132 2、空间直线、空间直线 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程xyzo1 2 L2 空间直线的对称式方程空间直

7、线的对称式方程xyzosL0M M pzznyymxx000 ),(0000zyxM,pnms .143 空间直线的参数方程空间直线的参数方程 ptzzntyymtxx0004 两直线的夹角两直线的夹角直线直线:1L111111pzznyymxx 直线直线:2L222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 0212121ssMMLL共面与.155 两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm pzznyymxxL000: 0: DCzByAx6 直线

8、与平面的夹角直线与平面的夹角222222|sinpnmCBACpBnAm )20( .167 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm0)( 8 22221111DzCyBxADzCyBxA平面束方程9 点到平面距离点到平面距离.|222000CBADCzByAxd.17曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：(1) 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；3 3、曲面、曲面(2) 不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；.1

9、80),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线设有平面曲线设有平面曲线1 旋转曲面旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面转一周所成的曲面.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.192 柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的这条定曲线叫柱面的准线准线

10、，动直线叫柱面的动直线叫柱面的母线母线.缺少某个变量的方程是柱面缺少某个变量的方程是柱面方程方程,柱面的柱面的准线准线位于出现的位于出现的变量的同名坐标面，变量的同名坐标面，母线母线平平行于不出现的变量的同名坐行于不出现的变量的同名坐标轴标轴.20柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面 椭圆柱面椭圆柱面 12222 byax.21（1）椭球面）椭球面1222222 czbyax3 二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（2）抛物面）抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面.22（3）双曲面）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax1222222 czbyax双叶双曲面双叶双曲面 xyo0)4(222222czbyax二次锥面oxzyzqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）.23空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影: 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 00),(zyxH曲线在曲线在 面上的投影曲线为面上的投影曲线为xoy 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲线面上的投影曲线yoz面上