五年级奥数专题02：数的整除性

1、二 数的整除性（A） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_. 2. 在“2579这个数的内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_.6. 所有能被3整除的两位数的和是_.7. 已知一个五位数691能被55整除,所有符合题意的五位数是_. 8. 如果六位数1992能被105整除,那么它的最后两位数是_. 9. 4228是99的倍数,这个数除以99所得的商是_.10. 从左向右编号为1至1991号的199

2、1名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_号.二、解答题11. 173是个四位数字.数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是

3、可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.二 数的整除性(B) 年级 班 姓名 得分 一、填空题1. 一个六位数2356是88的倍数,这个数除以88所得的商是_或_.2. 123456789,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_.3. 下面一个1983位数中间漏写了一个数字(方框),已知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是1

4、1的倍数.这三个数是_.5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是_.6. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_.7. 任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_.8. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_.9. 从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中

5、最大的是_.10. 所有数字都是2且能被整除的最小自然数是_位数.二、解答题11. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3

6、整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.答 案1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上, 37719=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+9应等于12,内应填12-2-9=1. 3. 990 要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要

7、是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一: 能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除9990,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二: 或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367 先求出1100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和. (1+2+3+100)-（3+6+9+12+99） =(1+100)2100-(3+

8、99)233 =5050-1683 =3367 6. 1665 能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下: 12,15,18,21,，96，99 这一列数共30个数，其和为12+15+18+96+99 =(12+99)302 =1665 7. 96910或46915五位数能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时,能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=357,根据数的整除性质,可知这个六位

9、数能同时被3、5和7整除。根据能被5整除的数的特征，可知这个六位数的个位数只能是0或5两种，再根据能被3整除的数的特征，可知这个六位数有如下七个可能：199200，199230，199260，199290，199215，199245，199275.最后用7去试除知,199290能被7整除.所以,199290能被105整除,它的最后两位数是90.注此题也可以这样思考:先把后面两个方框中填上0后的199200除以105,根据余数的大小来决定最后两个方框内应填什么. 199200105=189715 105-15=90如果199200再加上90，199290便可被105整除，故最后两位数是90.9.

10、 4316因为99=911,所以4228既是9的倍数,又是11的倍数.根据是9的倍数的特点,这个数各位上数字的和是9的倍数.4228这个六位数中已知的四个数的和是4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是2或11.我们把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上已知两个数字的和是2+2=4，而偶位上已知两个数字的和是4+8=12，再根据是11的倍数的特点，奇位上数字的和与偶位上数的和之差是0或11的倍数，所以填入空格的两个数应该相差3或相差8.从以上分析可知填入的两个数字的和不可能是2,应该是11.显然它们的差不可能是8,应该是3,符合这两个条件的数字只有7和4.填入空格时要注意7填在偶位上,

11、4填在奇位上,即原六位数是42 7 28 4 ，又42728499=4316，所以所得的商是4316. 10. 1331第一次报数后留下的同学最初编号都是11倍数;第二次报数后留下的同学最初编号都是121 的倍数;第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数.所以最后留下的只有一位同学,他的最初编号是1331.11. 能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，1+7+3+=11+内只能填7.能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的差能被11整除. (7+)-(1+3)=3+ 能被11整除, 内只能填8.能被6整除的自然数是偶数,并且数字和能被3整除, 而1+7

12、+3+=11+, 内只能填4.所以,所填三个数字之和是7+8+4=19. 12. 设补上的三个数字组成三位数,由这个七位数能被2,5整除,说明c=0;由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除;由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;由所组成的七位数应该最小,因而取a+b=3,a-b=1,从而a=2,b=1.所以这个最小七位数是1992210.注小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能被2,3,5,11整除的条件,这个七位数必定是2,3,5,11的公倍数,而2,3,5,11的最小公倍

13、数是23511=330.这样,1992000330=6036120，因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数,即 1992000+(330-120)=1992210.13. 不可能.由于瓦夏原有100张票,最后还有100张票,所以他作了多少次“两换三”,那么也就作了多少次“三换两”,因此他一共出手了2k+3k=5k张票,而1991不是5的倍数.14. 显然,这样的自然数不可能为两位数,因为如果是两位数的话,则必然具有形式,但为偶数,与它的各位数字之和等于13矛盾.现设求之数为三位数.于是由题意,且由被11整除的判别法则知是11的倍数.又由于所求之数为最小,故有=11.两式相减得.于是12

14、,由于.当.所以,所求的最小自然数是319.答 案1. 2620或2711一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或23 8 56 8 又 23056088=2620 23856888=2711所以,本题的答案是2620或2711.2. 0因为36=94,所以这个十一位数既能被9整除,又能

15、被4整除.因为1+2+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知+之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知是00,04,，36，72，96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.3. 6333444 991个 991个=33310993+3410990+444 990个 990个 因为111111能被7整除，所以333和444都能被7整除,所以只要 990个 990个34能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.

16、4. 10,11,12或21,22,23或32,33,34.三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.注“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以，能被3整除.5. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其

17、和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118. 6 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且1515=225200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数1313=169不合要求,1315=195适合要求.所以,答案应是195.7. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=3849,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能

18、被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.8. 90+1+4+7+9=21能被3整除,从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497.所以第五个数的末位数字是9.9. 7410根据能被2、3、5、整除的数的特征，这个四位数的个位必须是0，而十位、百位、千位上数字的和是3的倍数。为了使这个四位数尽可能最大，千位上的数字应从所给的6个数字中挑选最大的一个.从7开始试验,7+4+1=12,其和是3的倍数,因此其中最大的数是7410.10. 300666=23111 100个 100个显然连续的2能被2整除,而要被3整除,2的个数必须是3的倍数,又要被111整除,2的个数必须是100的倍数,所以,最少要有300个连续的2方能满 100个足题中要求.答