异面直线所成角的几种求法

1、异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。一、向量法求异面直线所成的角例 1：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E、F 分别是相邻两侧面 BCC1B1及 CDD1C1 的中心。求 A1E 和 B1F 所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线1 到某个

2、点上。 作法：连结 B1E，取 B1E 中点 G 及 A1B1 中点 H，连结 GH，有 GH/A1E 。过 F 作 CD 的平行线 RS， B1 S 分别交 CC1、DD1 于点R、S，连结 SH，连结 GS。Q 由 B1H/C1D1/FS，B1H=FS，可得 B1F/SH。 E 在GHS 中，设正方体边长为 a。 GH=6a（作直线 GQ/BC 交 BB1 于点 Q， 4B P连 QH，可知 GQH 为直角三角形）， HS=6a（连 A1S，可知 HA1S 为直角三角形）， 226a（作直线 GP 交 BC 于点 P，连 PD，可知四边形 GPDS 为直角梯形）。 4 1GS=CosGHS

3、=1。 61。 6 所以直线 A1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。点的坐标表示出空间中每一个向以 B 为原点， BC 为 x 轴， BA 为 y 轴， BB1 为 z 轴，设 BC 长度为 2。第1页共4页则点 A1 的坐标为（ 0，2，2），点 E 的坐标为（ 1，0，1），点 B1 的坐标为（ 0， 0， 2），点 F 的坐标为（ 2，1，1）； 所以向量 EA ，向量 B1 的坐标为（ 2，1，-1）， 1 的坐标为（ -1，2，1）所以

4、这两个向量的夹角 满足cos 11=(-1)? 2+2? 1+1? (-1)(-1)2+(2)2+(1)2? (2)2+(1)2+(-1)21 6=-1。 6 所以直线 A1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体，或者说是长方体

5、，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐标系，从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。如果没有这样的性质，我们也可以利用空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。例 2：已知空间四边形 ABCD 中， AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ， M 、N 分别为BC 和AD 的中点，设 AM 和 CN 所成的角为 ，求 cos 的值。 解：由已知得，空间向量 AB，AC，AD 不共面，且两两之间的

6、夹角均为 60°。由向量的加法可以得到 ，其中 11， =-+ =（+）22 所以向量 AM 与向量 NC 的夹角 （即角 或者 的补角） 满足 cos11AM·= （AB+ ）·（ -AD+ ） 22111=（ -AB·AD+AB· AC+ （-AD ） ·AC+AC· AC ） 222 11111=a2（-+-+1） =a2； 22424第2页共4页1113（ +） ·（+）=（ 1+1+1）a2= a2； 224411113|2=（-AD+ ） ·（-AD+ ） =+1- a2= a2。 44222

7、2 所以 cos =| cos 。3|2=|=例 3：已知空间四边形 ABCD 中， AB=CD=3 ，E、 F 分别是 BC、AD 上的点， 且BE： EC=AF：FD=1：2，EF=，求 AB 和 CD 所成的角的大小。解：取 AC 上点 G，使 AG ：GC=1： 2。连结 EG、 FG，可知 EG/AB ，FG/CD ，3EG=2AB， 3FG=CD。由向量的知识可知 =+=F E 21+， 33 设向量 BA 和 CD 的夹角为 。则由 |EF|2=（得 cos=2121BA+CD） ·（ BA+CD ）=4+1+4cos=7， 33331，所以 AB 和 CD 所成的角为

8、 60°。 2二、利用模型求异面直线所成的角引理：已知平面的一条斜线 a 与平面 所成的角为 1，平面 内的一条直线b与斜线 a 所成的角为 ，与它的射影 a所成的角为 2。求证： cos= cos 1·cos。2 P 证明：设 PA 是 的斜线， OA 是 PA 在 上的射影，OB/b，如图所示。则 PAO=1， PAB=， OAB=2，过点 O 在平面 内作 OBAB ，垂足为 B，连结 PB。可知 PB AB。 所以 cos1=所以 cos= cos 1·cos。2这一问题中，直线 a和 b 可以是相交直线，也可以是异面直线。我们不妨把 1叫做线面角， 叫做

9、线线角， 2叫做线影角。很明显，线线角是这三个角中最大的一个角。我们可以利用这个模型来求两条异面直线 a 和 b 所成的角，即引理中的角 。从引理中可以看出，我们需要过 a 的一个平面 ，以及该平面的一条斜线 b 以及 b 在 内的射影。 例 4：如图， MA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是正方形，且 MA=AB=a ，试求异面直线 MB 与 AC 所成的角。 M第 3 页 共 4 页 OAABAB ， cos=，cos2=。 PAOAPA解：由图可知，直线 MB 在平面 ABCD 内的射影为 AB ，直线 MB 与平面 ABCD 所成的角为 45°，直线 AC 与直线 MB

10、 的射影 AB 所成的角为 45°，所以直线 AC 与直 MB 所成的角为 ，满足cos =cos45 °· cos45， 2° =1所以直线 AC 与 MB 所成的角为 60°。例 5：如图，在立体图形P-ABCD 中，底面 ABCD 是一个直角梯形，BAD=90° ， AD/BC ，AB=BC=a ，AD=2a，且 PA底面 ABCD ，PD 与底面成30°角， AE PD 于 D。求异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小。解：过 E 作的平行线 EF 交 AD 于 F，由 PA底面 ABCD 可知，直线 AE 在平面ABCD 内的射影为 AD ， 直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为 DAE ，其大小为60°，射影 AD 与直线 CD 所成的角为 CDA ，其大小为 45°， B 所以直线与直线所成的角 满足c