2015人教A版本（文）（6.3等比数列及其前n项和）一轮复习题

1、§6.3等比数列及其前n项和1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母_q_表示.2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1·qn1.3.等比中项若G2a·b_(ab0)，那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam·qnm，(n，mN*).(2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN*)，则ak·alam·an.(3)若an，bn(项数相同)是

2、等比数列，则an(0)，a，an·bn，仍是等比数列.5.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6.等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_qn_.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.(×)(2)G为a，b的等比中项G2ab.(×)(3)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列.(×)(4)如果

3、数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.(×)(5)若an是等比数列，则S1·S2··Sk0(k2，kN)的充要条件是anan10.()(6)设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则Y(YX)X(ZX)恒成立.()2.(2013·江西)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于 ()A.24B.0C.12D.24答案A解析由x,3x3,6x6成等比数列得，(3x3)2x(6x6).解得x13或x21(不合题意，舍去).故数列的第四项为24.3.(2012·课标全国)已知an为等比数列，a4a

4、72，a5a68，则a1a10等于()A.7B.5C.5D.7答案D解析方法一由题意得或a1a10a1(1q9)7.方法二由解得或或a1a10a1(1q9)7.4.(2013·北京)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.答案22n12解析设等比数列的公比为q，由a2a420，a3a540.得20q40，且a1qa1q320，解之得q2，且a12.因此Sn2n12.5.(2012·辽宁)已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.答案2n解析先判断数列的项是正数，再求出公比和首项.aa10&

5、gt;0，根据已知条件得25，解得q2.所以aq8a1q9，所以a12，所以an2n.题型一等比数列的基本运算例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5等于()A.B.C.D.(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.思维启迪利用等比数列的通项公式与前n项和公式列方程(组)计算.答案(1)B(2)4或4解析(1)显然公比q1，由题意得，解得或(舍去)，S5.(2)设等比数列an的公比为q(q0)，则，两式相除，得，即2q25q20，解得q2或q.所以或.故a34或a34.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数

6、列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(1)在等比数列an中，a11，公比为q，且|q|1.若ama1a2a3a4a5，则m等于()A.9B.10C.11D.12(2)设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比q等于()A.3B.4C.5D.6(3)已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为 ()A.或5B.或5C.D.答案(1)C(2)B(3)C解析(1)a11，ama1a2a3a4a5q·q2·q3·q4q10，即ama1·q10，

7、m11.故选C.(2)因为得3a3a4a3，即4a3a4，则q4.(3)若q1，则由9S3S6得9×3a16a1，则a10，不满足题意，故q1.由9S3S6得9×，解得q2.故ana1qn12n1，()n1.所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列，其前5项和为S5.题型二等比数列的性质及应用例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_.(2)等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则公比q_.思维启迪利用等比数列的项的性质和前n项和的性质求解.答案(1)(2)解析(1)由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a

8、，得aa41.因为a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412×551.又an>0，所以a4a8.(2)由，a11知公比q1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，故q5，q.思维升华(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则am·anap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.(1)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910

9、，则a4a5a6等于()A.5B.7C.6D.4(2)记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，已知am1·am12am0，且T2m1128，则m的值为 ()A.4B.7C.10D.12(3)已知Sn为等比数列an的前n项和，且S38，S67，则a4a5a9_.答案(1)A(2)A(3)解析(1)把a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项.因为数列an的各项均为正数，所以a4a5a65.(2)因为an是等比数列，所以am1am1a，又由题中am1am12am0，可知am

10、2.由等比数列的性质可知前(2m1)项积为T2m1a，即22m1128，故m4.(3)根据等比数列的性质，知S3，S6S3，S9S6成等比数列，即8,78，S97成等比数列，所以(1)28(S97).解得S97.所以a4a5a9S9S378.题型三等比数列的判定例3已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式.思维启迪(1)由anSnn及an1Sn1n1转化成an与an1的递推关系，再构造数列an1.(2)由cn求an再求bn.(1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1an

11、an11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列.又a1a11，a1，首项c1a11，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，以为公比的等比数列.(2)解由(1)可知cn·n1n，ancn11n.当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.思维升华注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n1时是否符合n2时的通项公式，能合并的必须合并.设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明由a11及Sn14an2，有a1a2S

12、24a12. a25，b1a22a13.又，得an14an4an1，所以an12an2(an2an1).bnan12an，bn2bn1，故bn是首项b13，公比为2的等比数列.(2)解由(1)知bnan12an3·2n1，所以，故是首项为，公差为的等差数列.所以(n1)·，得an(3n1)·2n2.等比数列求和忽视公比q的范围致误典例：(5分)设等比数列an的公比为q，前n项和Sn>0(n1,2,3，).则q的取值范围为_.易错分析本题易忽视q的范围，由于等比数列求和公式中分两种情况q1和q1，而本题未说明q的范围，求解时应分类讨论，而不能直接利用公式Sn.

13、解析因为an为等比数列，Sn>0，可以得到a1S1>0，q0，当q1时，Snna1>0；当q1时，Sn>0，即>0(n1,2,3，)，上式等价于不等式组(n1,2,3，)，或(n1,2,3，).解式得q>1，解式，由于n可为奇数，可为偶数，得1<q<1.综上，q的取值范围是(1,0)(0，).答案(1,0)(0，)温馨提醒在应用公式Sn或Sn求和时，应注意公式的使用条件为q1，而当q1时，应按常数列求和，即Snna1.因此，对含有字母参数的等比数列求和时，应分q1和q1两种情况进行讨论，体现了分类讨论思想.方法与技巧1.已知等比数列an(1)数列

14、c·an(c0)，|an|，a，也是等比数列.(2)a1ana2an1amanm1.2.判断数列为等比数列的方法(1)定义法：q(q是不等于0的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用q(q是不等于0的常数，nN*，n2)数列an是等比数列.二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同.(2)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列.失误与防范1.特别注意q1时，Snna1这一特殊情况.2.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导

15、致解题失误.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.(2012·安徽)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10等于()A.4B.5C.6D.7答案B解析利用等比数列的性质和通项公式求解.a3·a1116，a16.又等比数列an的各项都是正数，a74.又a10a7q34×2325，log2a105.故选B.2.等比数列中，|a1|1，a58a2.a5a2，则an等于()A.(2)n1B.(2)n1C.(2)nD.(2)n答案A解析|a1|1，a11或a11.a58a2a2·q3，q38，q2.又a5a2，即a2q3a

16、2，a20.而a2a1qa1·(2)0，a11.故ana1·(2)n1(2)n1.3.(2013·课标全国)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1等于()A.B.C.D.答案C解析设等比数列an的公比为q，由S3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.4.一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是()A.13B.12C.11D.10答案B解析设该等比数列为an，其前n项积为Tn， 则由已知得a1·a2·a33，an2

17、3;an1·an9，(a1·an)33×933，a1·an3，又Tna1·a2··an1·an，Tnan·an1··a2·a1，T(a1·an)n，即72923n，n12.5.数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则aaaa等于()A.(3n1)2B.(9n1)C.9n1D.(3n1)答案B解析a1a2an3n1，nN*，n2时，a1a2an13n11，当n2时，an3n3n12·3n1，又n1时，a12适合上式，an2·3n1，

18、故数列a是首项为4，公比为9的等比数列.因此aaa(9n1).二、填空题6.等比数列an中，Sn表示前n项和，a32S21，a42S31，则公比q为_.答案3解析由a32S21，a42S31得a4a32(S3S2)2a3，a43a3，q3.7.(2012·江西)等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，则对任意的nN*，都有an2an12an0，则S5_.答案11解析利用“特殊值”法，确定公比.由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，则S511.8.设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差

19、数列，则q的值为_.答案2解析由已知条件得2SnSn1Sn2，即2Sn2Sn2an1an2，即2.三、解答题9.已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，则由已知得.a10，d2. ana1(n1)d2n2.(2)设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4，a46，q2或q3.等比数列bn的各项均为正数，q2.bn的前n项和Tn2n1.10.数列an的前n项和记为Sn，a1t，点(Sn，an1)在直线y3x1上，nN*.(1)当实数t为何值时，数列an是等比数

20、列；(2)在(1)的结论下，设bnlog4an1，cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，求Tn.解(1)点(Sn，an1)在直线y3x1上，an13Sn1，an3Sn11(n>1，且nN*)，an1an3(SnSn1)3an，an14an，n>1，a23S113a113t1，当t1时，a24a1，数列an是等比数列.(2)在(1)的结论下，an14an，an14n，bnlog4an1n，cnanbn4n1n，Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n).B组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知an是首项为1的等比数列，若Sn是an的前n项和，且

21、28S3S6，则数列的前4项和为 ()A.或4 B.或4 C. D.答案C解析设数列an的公比为q.当q1时，由a11，得28S328×384.而S66，两者不相等，因此不合题意.当q1时，由28S3S6及首项为1，得.解得q3.所以数列an的通项公式为an3n1.所以数列的前4项和为1.2.(2013·福建)已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1·am(n1)2··am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是 ()A.数列bn为等差数列，公差为qmB.数列bn为等比数列，公比为q2mC.数列cn为等比数列，公比为qm2D.数列cn为等比数列，公比为qmm答案C解析bnam(n1)(qq2qm)qm(常数).bn1bn不是常数.又cn(am(n1)mq12m(am(n1)q )m，()m(qm)mqm2(常数).cn1cn不是常数.选C.3.在数列an中，已知a11，an2