角动量守恒及其应用

1、角动量守恒及其应用李泽林，过程装备与控制工程，10110902摘要：掌握角动量守恒定律，并通过习题深入分析其应用和注意 事项。关键词：刚体，角动量，转动惯量，惯性系。在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时， 常常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。但是如何正确应 用角动量定律解题尤为重要。本文通过对角动量守恒定律详细的 推导，加深对定律的理解，以及通过习题来深入分析角动量守恒 的正确应用。1.1质点对参考点的角动量守恒定律p1角动量守恒定律如图1所示，质点m的动量为P,相对于参考 点O的角动量为L,其值L r Psin ，其中a是质 点的动量与质点相对参考点 0的位置矢量r的夹

2、角。其角动量的变化量 L等于外力的冲量矩 M t（M为外力对参考点 O的力矩），即dL M ?dt。若m=0，得L=0，即质点对参考 点O的角动量守恒。1. 2质点系对参考点的角动量守恒定律由n个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即同样当Mi 0时（即质点系的和外力矩为零），质点系对该参考点的角动量守恒。1. 3角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为零，即 Mi 0时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。有四种情况可 判断角动量守恒：质点或质点系不受外力。所有外力通过参 考点。每个外力的力矩不为零，但外

3、力矩的矢量和为零。内 力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质 点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。2角动量守恒定律的应用2.1开普勒第二定律，即行星对太阳的矢径在相等的时间间隔小如图，设行星的质量为 m，它相对太阳的位矢为r，速度为v.走过的路程为s。行星受到太阳对它的万有引力，方向沿着它和太阳的连线，因此行星受到的外力矩为零， 它相对于太阳所在的点 0 角动量守恒L r mv恒矢量角动量的大小为行星的速率为v=ds/dt 。代入得L rmv sinL rm 竺 sindtr sin m dsdt中,rs|n ds为行星对太阳的矢径在dt时间内扫过的面积

4、 dA的两倍，rsin ds 2dA代入得2mdAdt由于角动量守恒，L是一个常量，所以dAdt常数即行星对太阳的矢径在相等得时间间隔内扫过的面积相等。2.2如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为21,两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑M的水平桌面上。桌面上另有一质 量为M的小球A，以一给定速度 v0沿垂直于杆 DB的方向与右端 小球B作弹性碰撞。求刚碰后小 球A、B、C、D的速度，并详细 讨论以后可能发生的运动情况。本题粗看是一类弹性碰撞类问题，利用动量守恒、能量守恒及 杆子牵连速度来求解。但本题涉及4个物体组成的质点系，未知量多，利用上述关系还不能求解。挖掘题

5、中的守恒规律成为本题 的难点，且守恒规律不易挖掘。解析 小球A、B碰撞瞬间，球 A挤压B，其作用力方向 垂直于杆，使球 B获得沿V。方向的速度Vb。从而在碰撞瞬间使小 球C、D的速度也沿V0方向。对质点组B、C、D与A组成的系统, 碰撞前后动量守恒。由于小球 C位于由B、C、D三球组成的质点 组的质心处，所以小球 C的速度也就是质点组的质心速度。可得：M v0 M vA 3mvC（） 质点组B、C、D与A是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能 相等。碰撞后 A、B、C、D的速度分别为va、vb、，得(2)(2) 对质点组B、C、D在碰撞瞬间，在B处受到A球的作用力,若取B （与B球重合的空间固定点）

6、为参考点，则质点组B、C、D在碰撞前后，外力矩等于零，所以质点组角动量守恒。可得(3) 由杆的刚性条件有:由（1）、（2）、（3）、VcVaVbVdVb Vc Vc Vd(4)式，可得4MVo5M 6m5M 6mVo5M 6m10MVo5M 6m2MVo5M 6m(4)(5)(6)(7)(8)0 mlvC 2mlvD 碰撞后各小球的运动碰撞后，质点组B、C、D不受外力作用，其质心作匀速运动，111114MI 2>2 I 2 I 2 I 2VV2MVo 2MVa+尹Vb 2mVC 2mVD 即 C 5M 6m°，碰撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速度转动，角速度的大小为Vb V

7、c6M Vol 5M 6m l。方向为逆时针方向。由（6）式可知，碰后小球 A的速度的大小和 方向与M、m的大小有关，由于 M、m取值不同而导致运动情形比较复杂，即可以使 Va=O ； Va<0 ； Va>0且Va Vc ； Va Vc情景 的出现，在此不作详细讨论。2.3 质量为速度为的子弹击中并嵌入一质量为m2 99mi、长度为L的棒的一端，速度与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上，子 弹击中棒后与棒共同运动。求棒和子弹绕垂直于平面的轴的角速 度的大小。由题可知，子弹和棒构成的系统在打击前后所收到的外力为 零，因此系统对任意一定轴的合力矩为零，系统角动量守恒。下 面对几种常见的

8、解法作出分析讨论。常见的错误解：取固定z轴（过A点），因子弹打击时间很短，棒在打击过程中位置可以看做不变。设打击后系统的角速度为，则根据角动量守恒定律得（我刚开始做的解法）gLv。 jA其中所以jA fmL2miL2gLv。3 m2L2 mi L2这种错误的解法究竟是错在哪里呢？这种解法忽视了角动量守恒定律的应用条件，角动量守恒定律适用于惯性参考系和质心 参考系。若把z轴作为杆过A点的定轴，此时 A点受到撞击后做 变速运动，无形之中所选的参考系为非惯性参考系，因而角动量 对z轴不守恒，此时在根据角动量守恒定律列出的式子自然是错 的。正确的解法为设系统的质心C与杆的中点0距离为d,以系统质心为z轴,此时系统对质心的合力矩为零，故对z轴角动量守恒，得式中m1Jcf d Vo Jcl2m2L2 m2d2 m1 (7 d)2mi(| d)v°吉 m2L2 m2d2 m1(| d)2m 1 2 , m 299 m 1 代入得m 1 m 21 2 . 2m 2dd )v。mi (牙 d )26 Vo103 L通过