函数的微分及其应用（课堂PPT）

1、.15 5 函数的微分及其应用函数的微分及其应用v微分定义微分定义v微分与导数微分与导数v微分的几何意义微分的几何意义v微分公式与运算法则微分公式与运算法则v微分的简单应用微分的简单应用.2一一. . 微分的概念微分的概念实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 变变到到设设边边长长由由,20 xA 正正方方形形面面积积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x

2、x xx 0 xx 02)( x 既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值.3问题问题: :这个线性函数这个线性函数( (改变量的主要部分改变量的主要部分) )是否所有函数是否所有函数的改变量都有的改变量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间

3、内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数定义定义: :.4.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy ( (微分的实质微分的实质) )由定义知由定义知: :;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA ).(,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx .5二二. . 微分与导数微分与导数( ( differ

4、ential & derivative ) )定理：定理：00( )( )yf xxf xx 函函数数在在可可微微在在可可导导。.可微可微可导可导 证证: “必要性必要性” 已知已知)(xfy 在点在点 可微可微 ,0 x则则)()(00 xfxxfy )(limlimxxoAxyxx 00A 故故Axf )(0)( xoxA )(xfy 在点在点 的可导的可导,0 x且且.6.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记记作作微微分分称称为为函函数数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数“充分性充分性”已知已知)(lim00 xfxyx )(xfy )(0 xfxy)l

5、im(00 xxxxfy )(0故故)()(xoxxf 0 线性主部线性主部 即即xxfy )(d0在点在点 的可导的可导,0 x)(时时00 xf则则.7,.xxdxdxx 通通常常把把自自变变量量的的增增量量称称为为自自变变量量的的微微分分记记作作即即.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy.8微分与导数的本质区别：微分与导数的本质区别：3.3.导数多用于理论研究，微分多用于近似计算。导数多用于理论研究，微分多用于近似计算。的的增增量量；是是切切线线对对导导数数是是

6、切切线线斜斜率率，微微分分x. 1有关；有关；也与也与有关，有关，切切有关，而微分不仅与是有关，而微分不仅与是导数只与导数只与xxx . 2.9数数的的微微分分：很很容容易易求求出出基基本本初初等等函函利利用用dxxfdy)( ;cos)(sinxdxxd ;1|lndxxxd ;0)( Cd;sec)(tan2xdxxd .11)(arcsin2dxxxd ;)(1dxxxd .10三三. . 微分的几何意义微分的几何意义几何意义几何意义: :( (如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy )(xfy 0 xMNTd

7、yy)( xo ）xyo x xx0 P ,.xMMPMN 当当很很小小时时 在在点点的的附附近近切切线线段段可可近近似似代代替替曲曲线线段段.11四四. . 微分公式与运算法则微分公式与运算法则 1. 1. 公式：公式：dxxfdy)( xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 .12dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(

8、arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( .132. 2. 法则：法则：2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 1). 1). 四则运算法则四则运算法则.14;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则函函数数的的可可微微即即另另一一变变量量是是中中间间变变量量时时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论：结论：,( )xyf x 无无论论是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量 函函数数的的微微分分形形式式

9、总总是是微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 2). 2). 复合运算法则复合运算法则.15Nove. 9 Mon. Nove. 9 Mon. ReviewReview1.1.微分概念：微分概念：.)()(称为微分称为微分可微，可微，则称，则称若函数增量若函数增量xAdyxfyxoxAy 2.2.微分的几何意义：微分的几何意义：.)(的增量的增量的切线对的切线对 xxfy 3.3.可微与可导的关系：可微与可导的关系：可可导导。在在可可微微在在函函数数00)()(xxfxxfy 4.4.微分公式与运算法则：微分公式与运算法则： 四则运算法则与复合运算法则（微分形式不变性）。四则运算法

10、则与复合运算法则（微分形式不变性）。.16;)1ln(. 12dyxxy，求求例例 解解: :22111xxxxy ,112x .112dxx dxydy .17例例2. 已知已知, )sinarcsin(xy12 求求.d y解：因为解：因为 y所以所以 yd22111)(sinx x12sin x1cos )(21x xy d xxxxdsin)(sin2111222 .18；求求例例dybxeyax,cos3. 解解: :)cos(bxeddyax )(cos)(cosbxdedebxaxax )()sin()(cosbxdbxeaxdebxaxax bxdxbebxdxaeaxaxsi

11、ncos dxbxbbxaeax)sincos( .19;arctan)(),(4.的微分的微分处可微，求处可微，求在在设设例例vuyxxvxu 解解: :)(arctanvuddy )()(arctanvudvu dxvuvu 2211dxvvuvuvuv2222 dxvuvuvu22 22vudxvudxuv 22vuudvvdu .20;15.22dyxyyx，求求设设例例 解解: :0)(22 xyyxd对等式两边求微分，有对等式两边求微分，有)(22xyyxd dyxyxdxxyy)()(2222 0 dxxyxxyydy2222 )()(xydydxyxydxdyx2222 .21

12、的的微微分分；求求例例11. 622 xxy解解: :dxxxdy 1122,1122 xxu令令 112122xxdudxxxxxxu22221121221)()()( dxxxxx22221211)( duudy)( dxxxx1)1(22232 .22的的微微分分。函函数数所所确确定定的的求求由由方方程程例例)()ln()(2. 7xyyyxyxxy 解解: :yxdydxyxyxdydxdxdy )()ln()(2)ln()(yxdydxdxdy 23.)ln()ln(dxyxyxdy 32dxyxyxdy)ln()ln( 23.23五五. . 微分的简单应用微分的简单应用1. 1.

13、近似计算近似计算;)().10附附近近的的近近似似值值在在点点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x .)0()0()(xffxf ., 00 xxx 令令;0)().2附近的近似值附近的近似值在点在点求求 xxf.24的近似值；的近似值；计算计算例例2160 ocos1.解解: :)cos(cos1806012321600 )cos(10800123 ,3sin)(,3cos)(00 xfxf，则则令令108001230 xxxxf,cos)(10800123321600 sincoscos10800122321

14、 4970. .25nxxxxxexnx 1111，几个近似公式：几个近似公式：例例sin|2.5250计计算算解解: :xeeex00 x 1xxnxxxnxnn0110111111 )()()(xxxxxx00 |cos|sinsinnx 1xxxxxx001111 | )ln()ln(x 5553713250 )(5375113 .262. 2. 误差计算方面的应用误差计算方面的应用由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有

15、误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差. .定义：定义：.,的的绝绝对对误误差差叫叫做做那那末末为为它它的的近近似似值值如如果果某某个个量量的的精精度度值值为为aaAaA .的相对误差的相对误差叫做叫做的比值的比值而绝对误差与而绝对误差与aaaAa .27绝绝对对误误差差| )(|)(xxfyxxfdyy Absolute errorRelative error相对误差相对误差|)()(xxfxfydyyy .28，则，则即即，若已知量测最大误差为若已知量测最大误差为 |.x1 )()(|)()(| )(| )(|xfxfxxfxf

16、yyxfxxfy，即，即的最大绝对误差为的最大绝对误差为若已知若已知 y. 2 | )(|xxfy| )(|xfx 的的限限度度为为则则| x | )(|xf .29 yy的相对误差为的相对误差为则则 x )()(|1xfxfxxx，即即的的最最大大相相对对误误差差为为若若已已知知 yydyyy |)()(xxfxf )()(|xfxfx .3021.0.121.5cmrcmAr 例例设设测测量量圆圆的的半半径径时时，最最大大绝绝对对误误差差为为，测测得得的的值值为为，问问：用用公公式式计计算算圆圆的的面面积积时时，它它的的最最大大绝绝对对误误差差和和最最大大相相对对误误差差各各是是多多少少？解解: :0.1cm|r| | )(|rrAA 2cm. 34105212 |.rrr 5212 |.rrrAAr 52122 10521432.).( %.930 .312.1%例例测测量量一一正正方方体体的的边边长长，其其准准确确程程度度应应如如何何，方方能能使使计计算算的的体体积积之之相相对对误误差差不不超超过过？解解: :%,1 VdVVVdxxdVxV233 ,%1 |xxxVdV 323%|13 xx%|113 xxxx最最大大相相对对误误差差为为%.30 .1%.误误差差不不超超过过，方方能能使使体体