熟练运用旋转解决平面几何中的问题

1、熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样. 利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果.例 图1中以 ABC的边AB AC为一边向外作正方形 ABDE及正方形ACFG连结BG CE求证：(1)BG=CE; (2)BG 丄 CE分析：一般的证法是证明 ABGWA AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，那么可以如下证明：由可 知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B,点C绕点A逆时针旋转90°为点G从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG故有BG=CE BGL CE.本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用

2、。一、按旋转的角度进展区分图21、90°角旋转例1 如图2, E、F分别是边长为1的正方形 ABCD的BG CD-上的点，且 CEF的周长是2.求/ EAF的大小。解：将 ABE绕点A作逆时针旋转90°,那么AB边与AD边重合，设旋转后 E',由条件 CEF的周长为2,即CE+EF+CF=2又 BE+CE+CFDF=2,且显然有 BE=DE,故 CE+CF+FE =2.从而必有 EF=FE ,又 AE=AE',AF=AF,故厶 AEFA AE'F,：/ EAF=E'AF 又从作图知/ EAE =90。，故/ EAF=45。例2北京东城2021

3、年上学期期末如图， P为正方形ABCD内一点，假 设 PA=a, PB=2a, PC=3a(a>0)，求:(1) / APB的度数;(2)正方形 ABCD勺面 积.分析：三条的线段PA PB PC具有一个共公顶点， 且它们不能构成三角 形但是当把 ABP按顺时针方向旋转 90°后，即会出现等腰直角三角形， 于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形.解: 将厶ABP绕点B顺时针方向旋转 90°得厶CBQ那么 ABP 也 CBQM PBL QB于是 PB=QB=2a, PQ= . PB2 QB2 =2 2 a.在厶 PQC中, v pC=9a2, PQ+ QC=9a

4、2.2 2 2 PC=PQ+ QC./ PQC90° PBC是等腰直角三角形，/ BPQ/ BQP45°故/ APB：/ CQB90°+ 45° =135°.(2) / APQ/ APBbZ BPQ135+ 45° =180°,三点A、P、Q在同一直线上.在 RtA AQC中, aC=aQ+ QC=(a+ 2 . 2 a)2 + a2=(10 + .2) a2.故 S 正方形 abcd=丄 AC=(5 + 2 i 2 ) a2.2思考 例2中，如果把厶CBP绕点B逆时针方向旋转90°得厶ABM怎样解以上问题?(答:

5、(1) PBM是等腰直角三角形，且由勾股定理的逆定理得/APM90。;(2)过点 B作BNL AP,垂足为N.那么PN=BN=j2a，于是在厶ABN中可求出边长 AB的平方，即得正方形的面积.)2、60°角旋转.£>BC例1如图3，分别以厶ABC的边AB AC为一边向外作等边三 角形ABD及等边三角形 ACE连结BE、CD设M N分别是BE CD的中点。求证： AMN是等边三角形。证明：由条件可知， ADC绕点A逆时针旋转60° ABE即线段CD绕点A逆时针旋转60°得BE中点故AN=AM/ NAM二 60 °，即 AMN是等边三角形。例

6、2 如图4, P是等边三角形 ABC内一点，且 PA=3, PB=4, PC=5.求/ APB的大小。解：将厶APC绕点A顺时针旋转60 ° ,由ABC为等边三角形知， 此时所得新三角形一边与 AB重合。设P旋转后为P,那么 APP 的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5,又PB=4,故pp'2+PB=P' B2.从 而厶P'PB是以/ P' PB为直角的直角三角形，从而/ APB=Z APP +/ P'PB=60° +90° =150°。例3 如图，在凸四边形 ABCDh / ABC30。，/ ADC6

7、0。，AODC证 明:bD=aB+ bC.分析:所证结论即是三条线段 BD AB BC能构成一个直角三角形. 因此 需利用图形变换把它们集中到一个三角形中.证:连接AC/ AD=DC / ADC60。， ADC是等边三角形.故将 DCB绕点C顺时针方向旋转 60°时可得 ACE连接BE于是 DCBA ACE且 CBCE / BCE60°. BCE是等边三角形， BC=BE / CB匡60°/ ABC30。，:丄 ABE90。.故 aB+ bC=aB+ bE=aE=bD.练习.：如图，M是等边 ABC内的一个点，且MA=2cmMB=2 3 cmMC=4cm求： AB

8、C的边AB的长度。3、旋转到特殊位置例1如图，在 ABC中，/ ACB90°,/ A=25°，以点C为旋转中心 将厶ABC旋转a角到 AiBiC的位置，使B点恰好落在 AB上求旋转角a 的度数.分析:将 ABC旋转到点B落在AB上的特殊位置时，即确定了旋转角 a的大小于是/ AiBB是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求出角a .解： ABZA ABiq旋转前后的图形全等）./ A=Z Ai 且 CB=CB./ ADC/ ADB / AB=a .在厶 ABC中,/ AB(=90°- 25° =65°./ BCE= a (对应点与旋转中心所

9、连线段的夹角等于旋转角).1/ CBB=(180 ° - a )2点A、B、Bi在同一直线上，1-a + 65+(180 a )=180 .2解之得a =50°.思考 例1中，假设/ A=0，那么a与B有何数量关系?(答：a =2 0 )、按计算要求进展区分1、求角度PA=6 PB=8, PC=1Q 求/ APB例1青岛、如图1, P是正三角形 ABC内的一点，且C的度数。分析：由题中条件中的6、8、10这组勾股数联想到直角三角形，于是设法将 PA PB PC集中到一个三角形中，可以将厶 APC绕着A点逆时针旋转60°得到 AFB图1 从而可得/ APB=/ AP

10、F+/ BPF,然后设法求出/ APF、/ BPF的度数即可。解：将 APC绕点A逆时针旋转60°后，得厶AFB,连接FP如图2，那么FB=PC=1QFA=PA=6 / FAP=60°O FAP是正三角形，FP=PA=6在厶 PBF中，PB+P尸=82+62=1(f=BF，/ BPF=90 , / APB=/ APF+/ FPB=60° +90° =150°。图3例2、如下图， ABC中，/ ACB=120，将该图形绕点 C按顺时针旋转30 °后，得到 A' B' C,那么/ AB' C的度数分析：根据旋转的性

11、质可以知道/BCB是旋转角，它的度数应该是30°,/ AB' C可以看成是/ ACB和/ BCB的和，所以/AB C=120° + 30° =150°o答：/ AB' C的度数是1502、求线段间的关系或长度例1旅顺操作：如图3, ABC是正三角形， BDC是顶角/BDC=120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60°角，角的两边分别交 AB AC边于M N两点，连 MN探究：线段 BM MN NC之间的关系， 并加以证明。分析：此题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知/DBA=Z DCA=

12、90 , BD=CD于是将 DB嗽 D点顺时针旋转 120°到厶DCP勺位置，那么BM=CP DM=DP再证MN=NC+CW可得证。解： ABC为正三角形，/ ABC=/ACB=6C° ,又/ BDC=120 , DB=DC./ DBC2 DCB=30。/ DBMM DCN=90。于是将厶 DBM绕D点顺时针旋转 120° 到厶 DCP位置，那么 BM=CPDM=DP / MDP=120 , 又/ MDN=60，/ PDN=60，/ PDNM MDN ： DN=DN MDtN PDN - MN=NP=NC+,CP. BM+NC=MN答：丫 AB' C的度数

13、是150°。例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转 30°后得到正方形EFGH EF交AD于点H,那么DH的长是。G图5G分析：由旋转的性质可以知道/BFC=Z DCG=30，所以/ FCD=60，可以连结线段 HC如图4所示，由可知/ F=Z D=90°, FC=DC HC是Rt FHC和 Rt DHC公共的斜边，根据HL公理可以判断 Rt FHC Rt DHC所以/ FHC=/ DHC=30 ,所以HC=2DH根据勾股定理可得 DH 2 DC2 HC2，即 DH 2 DC2DC 2，因为 DC=3 所以 DH=/3。答：DH的长是 3

14、。3、求面积例1、如图4, ABC是等腰直角三角形，1以AD BD为半径的圆的 丄，求阴影局部面积。4D为AB的中点，AB=2扇形CBDHADG和BDH分另【J是分析：从外表上看图形异常繁杂，假设想 直接求阴影局部面积那么不可能，假设将扇形 和厶BDC绕D点顺时针旋转180°,问题就迎刃而解了。解：将扇形BDHA BDC绕D点顺时针旋转180 °变成图5。1 2 1 2 1-S K=S 半圆一ae= nX 1 X 1 = n 1。2 2 2A例2、如下图， AOB中，0A=3cm OB=1cm将厶AOB绕点O按逆时针方向旋转 90°到 A' OB，那么AB

15、扫过的区域的面积是 。分析：AB扫过的区域是一个不规那么的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为和两局部如图 2所示，根据旋转可以知道区域和区域的面积是相等的，所以可以将+转化为+， 而区域+的面积=扇形OAA的面积一扇形 ODD的面积，又因AA为OD=OD=I OA=3所以区域+的面积 =-OA2- -OD2=2 cm2。44答：AB扫过的区域的面积是 2 cm2。4、进展图形分割例4厦门如图6，在四边形ABCD中/ A=90°,Z ABC与/ ADC互补。1求/ C的度数；2假设BC> CD且AB=AD请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两局部，使得这两局部能够重新拼成一

16、个正方形，并说明理由。析解：此题设计新颖，巧妙把直观感知、操作确认和逻辑推理结合起来，第1问可根据四边形内角和直接求解；第2问那么/ ABC+Z ADC=180，以及要把四边形分成两局部，使得这两局部能够拼成一个正方形，那么新图必须有四个直角，图6图7由/ C=90°,又AB=AD因此猜测过点 A作AE丄BC于E,又得一个直角。把 ABE绕点A逆时针旋转90°,这时AB与AD重合，那么被分 成两局部拼成一个正方形。5、构造平行四边形例5天津如图8,四边形纸片ABCD现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到:用“能'或“不

17、能"填空分析：此题旨在通过操作与几何说并说明拼接方法；假设填“不能，请简要说明理由。假设填“能: 请确定裁剪线的位置,理，拓展学生思考与探索空间，主要考 四边形的分割和平行四边形的判定知 识，其中包含着深刻的图形变换思想， 需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问8图9图10题能力。此题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360 °，借助旋转、平移变换，可到达剪拼的目的。解：能。如图9、图10,取四边形 ABCD各边的中点E、GF、H,连接EF、GH那么EF、GH为裁剪线，EF、GH各四边形分成1、2、3、4四个局部，拼接时，图中的1不动

18、，将2、 4分别绕点H、F各旋转180 ° , 3平移，拼成的四边形满足条件。三、按旋转类型进展区分1、正三角形类型在正 ABC中, P为厶ABC内一点，将 ABP绕A点按逆时针方向旋转 60°,使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图1-1-a中的PA PB PC三条线段集中于图1-1-b中的一个厶 P CP中，此时 P AP也为正三角形。AC例1.如图:PA=3, PB=4，1-1：设P是等边 ABC内的一点,PC=5那么 APB的度数是P简解：在厶ABC的外侧，作BAP = CAP 且 AP =AP=3,连结 P Bo易证 APP为正三角形， PBP为Rt APB=

19、 APP +P PB=60 +90 =150°2、正方形类型在正方形ABCD中, P为正方形 ABC内一点，将A ABP绕B点按顺时针方向旋转 90°,使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图2-1-a丨中的PA PB PC三条线段集中于图2-1-b丨中的A CPP中，此时A BPP为等腰直角三角形。例2 .如图2-1： P是正方形 ABCD内一点，点 P到正方形的三个顶点A B、C的距离分别为PA=1, PB=2, PC=3求此正方形 ABCD面积。简解：作 A AED使 DAE= BAP, AE=AF连结 EP,那么 A ADEA ABP SAS冋样方法，作A DFC且有

20、A DFCA BPC易证A EAP为等腰直角三角形，又T AP=1图2-1 PE-, 2 同理，PF=3.2FCBEDA= PBA FDC= PBC又 PBA+ PBC=90EDF= EDA+ FDC+ ADC= 90°+90°=180°点E、D F在一条直线上。 EF=ED+DF=2+2=4在 A EPF 中，EF=4, EP= 2 , FP=3、2由勾股定理的逆定理，可知EPF为Rt A S 正方形 ABCD=S RtA EPF+SRt A EPA+St APFC=3+ + 9 =82 2例3 .如图3-1正方形ABCD中 ,边长AB=、3，点E、F分别在BC

21、 CD上,且 BAE=3（°,DAF=l5。求A AEF的面积。（第十一届希望杯邀请赛试题 ）简解： 延长CB至 F使得BF =DF,连结AF，那么Rt A ABF也Rt A ADF SAS。F AE =300 +15 °=45°,FAE=90 -30 0 -15 °=45°易证 F AEA FAE(SAS)F EA =FEA=6(°,.FEC=6°, ：在 Rt A ABE中，AB=、3 , BAE=3° BE=1, CE= .3-1, FE=2CE=2( .3-1),/ E F =EF=2( .3-1)/J1l

22、厂所以,S a AEf= S af'E= AB EF= ：/32( .3-1)=3-、. / 3223、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形A ABC中， C=Rt , P为A ABC内一点，将A APC绕C点按逆时针 方向旋转90°，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图 3-1-b丨中的一个A P CP为 等腰直角三角形。图3-1-a例 4.如图4-1，在A ABC中,PC=2求 BPC的度数。ACB =90°, BC=AC P 为 A ABC内一点，且 PA=3, PB=1,图4-1B简解：在Rt A ABC的外侧，作BCP = ACP且CP =CP=2连结

23、P P。在A PBP 中，BP =3, BP=1,那么A BCP BA ACR易证Rt A CPP为等腰直角三角形,PP=2；2，由勾股定理的逆定理可知，a P PB为Rt 为Rt A, P PB=9d0 0BPC= CPP + P PB=45+90 =135例 5.如图5-1，在 A ABC中，BAC=900, AB=AC A ABC内一点 O, AO=2cm如果把 A ABO绕A点按逆时针方向转动 900,使AB与AC重合，那么O点经过的路径长为 。图5-1 例 6.女口图6-1，五边形 ABCDE中,ABC= AED=90, AB=CD=AE=BC+DE，1那么这个五边形ABCDE勺面积

24、等于6-1。2003年宁波市至诚杯竞赛题简解：延长DE至 C 使得 EC =BC 连结 AC，那么 AECABC SAS/ AB=CD=AE=BC+DE=1- CD =C DA CADA C AD SSS- Sbcd=2 S c' da=2丄21 1=14、三角形与圆混合类型将A CAD绕A点按顺时针方向旋转 600到ABAD经过旋转变化，将图3-1-a中的DC与 BD组合在一条直线上，见图3-1-b此时D BD是个平角，A ADD为正三角形。例7.如图7-1，正三角形 ABC内接于O 0, P是劣弧BC上任意一点，PA=2那么四边形ABPC的面积为 。简解：延长PB至P使得P B=P

25、C连结AP，那么 AP BA APC SAS AP =AP,P AB= PAC 又 T BAC=60A P AP为正三角形图7-1 图7-2 四边形ABPCS AP p =3A S四、与旋转有关的探索型题目1、条件探索型.解题时，一般条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件 需要从结论出发，逆向思维解（即执果索因）.例1:遂宁如图1,把正方形ACFG与Rt ACB按如图（甲）所示重叠在一起，其中AC=2, / BAC=60，假设把Rt ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转，使斜边AB恰好经过正方形 ACFG勺顶点F,得厶A' B' C', A B分别

26、与A' C,A' B'相交于D、E,如图（乙）所示. ACB至少旋转多少度才能得到厶 A' B' C' ?说明理由.求厶ACB与 A' B' C'的重叠局部（即四边形CDEF）的面积（假设取近似值，那么准确AG到 0.1）解： T ACGF是正方形，A' B'经过点F,. A ' C=CF / ACA =90° 60° =30° , ABC至少旋转 30° 才能得到厶 A CB' （2） / / ACA =30° , / BAC=60 , /

27、 A DE=9C° .又 AC=2，可求得 CD= , 3. A D=2一. 3.在 Rt A DE中,DE=A ' Dtan60 ° =（2 一_疵） 73=23一 3. A DE的面积为： A' D- DEd（2 一. 3） （2、3 3）= 一 方 6.2 2 2又 A'B ' =4, A ' F= 2, F 是 A' B'的中点. A' CF的面积=1 _ ABC 的面积, 而 B' C=A C- tan 60 ° =2、3 , 21-S abcFX 2 X 22、3 =2、3， S

28、a cf = 73 四边形 DCFE的面积为：3 一 ( 1 x 3 6)=、3 7、, 3+6=6 5 32 2 2(假设取近似值，那么结果应约为1 . 7.) 2、探索结论型结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题 目；解结论探索型题的方法是由因导果例2:衡阳市，如图2,平行四边形 ABCD中, AB/ CD AB=1, BC=J5，对角线AC BD交 于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交 BC AD于点E、F.证明：当旋转角为 900时，四边形是平行四边形；试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；在旋转过程中，四边形 BEDF可能是菱形吗

29、？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.解：证明：当/ AOF=900 时,AB / EF,又t AF / BE,D四边形ABEF为平行四边形. AO=CO, / FAO=z ECO, / AOF玄 COE.AOF COE. AF=EC.四边形BEDF可是是菱形.理由：如图2,连接BF、DE.由(2)知厶AOFA COE得OE=OFEF与BD互相平分.当EF± BD时，四边形BEDF为菱形.在 Rt ABC 中,AC= J5 1 2,. 0A=1=AB .又 AB丄 AC/AOB=45° ,二/ AOF=45°. AC绕点O顺

30、时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形.3、存在性探索型存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目解存在性探索题先假设要探索的问题存在， 继而进展推导与计算， 假设得出矛盾或错误的结论， 那么不 存在，反之即为所求的结论例1.河北如图1 - 1, 一等腰直角三角尺 GEF勺两条直角边与正方形 ABCD勺两条边 分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点0点0也是BD 中点按顺时针方向旋转.1如图1 2,当EF与AB相交于点 M GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM FN的长度，猜测BM FN满足的数量关系，并证明你的猜测;

31、2假设三角尺 GEF旋转到如图1 3所示的位置时，线段 FE的延长线与 AB的延N,此时，1中的猜测还长线相交于点 M线段BD的延长线与GF的延长线相交于点G图1 3分析：此题主要考察旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于1问，经测量后可知 BMFN.然后利用三角形全等证明即可；对于2问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然OBMA OFN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变故结论成立解：1BM=FN / ABD=/ F =45° OB= OF.又/ BOIMZ FON- OBIW OFN. BMFN2BM=FN仍然成立.证明： GEF是等腰直角三

32、角形，四边形 ABCDI正方形， Z DBAZ GFE=45°, O母OF Z MBOZ NFO135.又/ MOB/ NOF OBIWA OFN. BM=FN评注：此题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考察了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、 解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目例2.黑龙江鸡西Z AOB=900，在Z AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直 角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA OB或它们的反向延长线）相交于点D E当三角板绕点 C旋转到CD与 OA垂直时（如图1），易证：OD

33、+OE=2OC当三角板绕点C旋转到CD与 OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论 是否还成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段 OD OE OC之间又有怎样的数量关 系?请写出你的猜测，不需证明.图2-1图2-2图2-3分析：由于在旋转的过程中，虽然点 O的位置发生了变化，但Z AOC和Z COE的大小不 变，都是45。，因此可过 C分别作OA OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形图 1来 处理.对于图3可仿图2处理.解：图 2 结论：OD+OE=2OC.证明：过C分别作OA OB的垂线，垂足分别为 P、Q. CPWA CQE DP=EQ.OP=OD+DP , DQ=OE-EQ

34、.又 OP+0Q=：20C,艮卩 OD+DP+OE-EQ.=20C. OD+OE=；2OC.图 3 结论：OE-OD='2OC.评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点:1. 在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；根据旋转变换的特征，找到对2. 再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解,应的全等形，通过线段、角的转换到达求解的目的练习局部、选择题1、 2021年泸州如图1，P是正 ABC内的一点，假设将厶PBC绕点B旋转到 P' BA,那么/ PBP的度数是 A .4

35、5°B . 60°2、（2021年陕西省）如图，/ AOB= 90。，/ B= 30°,A A' OB可以看作是由 AOB绕点O顺时针旋转a角度得到的，假设点 A'在AB上，那么旋转角a的大小可以是A. 30°B. 45°C. 60 °D. 90°3、 2021年桂林市、百色市如下图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将ABC绕点O按顺时针方向旋转 90°，得 ABO，那么点A的坐标为.A. 3, 1 B .3, 2 C . 2, 3D . 1, 3 4、2021年甘肃白银以下图形中，既是轴对称图形

36、，又是中心对称图形的是A.等腰梯形B.平行四边形C.正三角形D.矩形5、 2021年台州市单词 NAM啲四个字母中，是中心对称图形的是B. AC. M D . E6、 2021年广西钦州某校方案修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是A.等腰三角形B.正三角形C.等腰梯形D.菱形FB7、如图，在Rt ABC中，AB AC ,DE是斜边BC上两点,/ DA匡45°,将厶ADC绕点A顺时针旋转90后，得到 AFB，连接EF ,以下结论:厶 AED AEF :厶 ABE ACD 二 BE DC

37、 DE 二 BE2 DC2 DE 2其中正确的选项是D.A.;B .;C .;8、(2021年四川省内江市)如图所示的四张牌,假设将其中一张牌旋转180°后得到图2,图1IV 1*4專*图25* *t*V*那么旋转的牌是(2021成都)在平面直角坐标系9、A.B.C.D.xOy中，点A(2 , 3)，假设将OA绕原点O逆时针旋转180 °得到0A',那么点 A'在平面直角坐标系中的位置是在(A)第一象限(B)第二象限(c) 第三象限 (D)第四象限10、 2021年崇左点A的坐标为(a, b) , O为坐标原点，连结 OA，将线段OA绕点O按 逆时针方向旋转

38、90°得OA,，那么点A的坐标为.A. ( a, b) B . (a, b) C . ( b, a) D . (b, a)二、填空题1、 2021肇庆在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点对称点 P的坐标是.2、 2021年衡阳市点分别交于 AO B，那么点B的坐标是A的坐标为J2 , 0，把点A绕着坐标原点顺时针旋转1350到点A、B两点，把3、 2021年枣庄市4、（2021年抚顺市）如下图，在平面直角坐标系中， OAB三个顶点 的坐标是0（0,0） A 3,4）、（5,2） 将 OAB绕原点O按逆时针方向旋转90 °后得到 OAB，那么点A的坐标是.三、解答题1

39、.如图，P是正方形内一点，将 ABP绕点B顺时针方向旋转能与重合，假设 BP=3,求PP'.2.正方形ABCD内一点 P,使得 PA PB: PC=1: 2:3、如图P是等边 ABC内一点，PA=3 PB=4 PC=5那么/ APB=4、 2021 年河南如图，在 Rt ABC中，/ ACB90 ° , / B =60 °,诲用BO2 点0是AC的中点，过点0的直线I从与AC重合的位置开场， 绕点0作逆时针旋转，交 AB边于点D.过点C作CE/ AB交直线I于点E,设直线l的旋转角为a(1)当a =度时，四边形 EDB(是等腰梯形，此时 AD的长为当a =度时，四边

40、形 EDB(是直角梯形，此时 AD的长为当a =90°时，判断四边形EDB(是否为菱形，并说明理由.5、如图， ABC中，/ ACB= 90o, AC= BC= 1，将 ABC绕点 C逆时 针旋转角a。(0 0VaV 90o)得到 AiBiCi，连结 BB.设 CB 交 AB于 D, ABi分别 交 AB AC于 E、F.(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明( ABC与 AiBiCi全等除外);(2)当厶BBD是等腰三角形时，求a； 当= 60o时，求 BD的长.6、 i3 分 Rt ABC 中，AC BC,Z C 90 , D 为 AB 边

41、的中点，EDF 90°,EDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB或它们的延长线于 E、F.1当 EDF绕D点旋转到DE AC于E时如图1，易证Sadef Sacef丄Sa abc.2当 EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，Sa def、Sacef、Sa abc又有怎样的数量关系?请写出你的猜测，不需证明.FA7 .正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点 A,点G E分别在线段AD AB上.(1) 如图1,连接DF BF,假设将正方形 AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题：“在旋转的过程中线段D

42、F与 BF的长始终相等."是否正确，假设正确请说明理由，假设不正确请举反例说明；假设将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一 条线段的长与线段 DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.8、将两块含30°角且大小一样的直角三角板如图1摆放1将图1中厶DEC绕点C顺时针旋转任意角度，那么 / ACB+/ BCA=2、将图1中厶A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点R是AQ与AB的交点。求出图中 ACP的各个内角的度数；求证：CP尸迈AP1 ;23、将图2 + A1B1C绕点C顺时针旋转30°到厶A2B2C如图3，点P

43、2是A?C与AB的交点 求出图中 CP P2的各个内角的度数; 线段CR与RP2之间存在一个确定 的等量关系，请你写出这个关系式并说明 理由；4、将图3中线段CR绕点C顺时针 旋转60°到CP3如图4，连结P3P2，求证：RF2 丄 AB.9、把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG勺 直角顶点G与三角板ABC的斜边中点0重合，其中/ B=Z F= 30°,斜边 AB和EF长均为4.(1) 当EG丄AC于点K，GFL BC于点H时如图，求GH GK的值(2) 现将三角板EFG由图所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋 转角a满足条件：0°Va <30° 如图，EG交AC于点K，GF交BC 于点H, GH GK的值是否改变？证明你发现的结论；(3) 在下，连接HK在上述旋转过程中，设 GH=x， GKH的面积为yB2、当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,BM图3B10、海口实验区在厶ABC中，/ ACE=90°,AC=BC 直线 MN经过点 C,且 ADI MN于 D, BEL MN于 E.1、当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：厶 ADCACEB DE二AD BE求证：DE=AD-BE3、当直线MN绕点C旋转到图3的位置时, 试问DE AD BE具有怎样的等量关系？请写出