利用导数判断函数的单调性(理)

1、3.2利用导数判断函数的单调性知识要点梳理1 .函数的导数与函数的单调性的关系：(1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间 内y/>0,那么函数y=f(x)在这个区间内为增函数；如果在这个区间内 y/<0,那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。(2)(函数单调性的必要条件)设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果函数y=f(x)在 这个区间内为增函数，那么在这个区间内 y/_Q；如果函数y=f(x)在这个区间内为减函数。 那么在这个区间内y/_0o2 .求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：确定函数f (x)的定义域；计算导数f &

2、#39;(x) 上 f '(x) 0 ,解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根；把函数f (x)的间断点(即f(x)的无定义的点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把f (x)的定义域分成若干个小区间；确定f '(x)在各个开区间内的符号，根据f '(x)的符号判定函数 f (x)在每个相应小区间的增减性(若f '(x) >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若 f '(x)<0,则f(x)在相应区间内为减函数。)疑难点、易错点剖析：1 .利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f'(

3、x)>0 (或f'(x)<0)仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件。在区间(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b) 上递增(或递减)的充要条件应是f '(x) 0(或f'(x) 0) ,x (a,b)恒成立，且f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于 0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内 个别点x0处有f'(x0)=0，甚至可以在无穷多个点处 f'(x0)=0，只要这样的点不能充满所给区间 的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f '(x)

4、0(或f '(x) 0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0 ,若能恒等于0 ,则参数的这个值应舍去，若f'(x)不恒为0 ,则由f '(x)0(或f'(x) 0) , x (a,b)恒成立解出的参数的取值范围确定。2 .用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：求函数f(x)的导数f' (x).令f' (x)>0,解不等式得x的范围就是递增区间；令 f (x)<0,解不等式得x的范围，就是递减区 间。3 .讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。直击考点考点一 求不含参数的函数的单调区间

5、考例1.求函数y=x2(1 x)3的单调区间.思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。解：v' =x2(ix)3 ' =2x(1x)3+x2 3(1x)2 ( 1)=x(1 x)2 2(1 x) 3x =x(1-x)2- (2-5x)令 x(1 x)2(2 5x)>0,解得 0vxv2.5y=x2(1 x)3的单调增区间是(0,-)5令 x(1 -x)2(2-5x)<0,解得 x<0 或 x> 2 且 xw 1.5x 1为拐点,y=x2(1 x)3 的单调减区间是(一000), ( , +°0)5其函

6、数的大致图像如下图:yjf x = x2 1-x 3O21、x5锦囊妙计：本题中，有一个特殊之处，当 x=1时,f'(1)=0，但在x=1邻近的左右两侧的导数值同号(均为负)，因此该函数的一个单调递减区间是-, ，而1-,。55举一反三：1 .函数y xln x的单调递减区间是(),111、A. (e ,) B. ( ,e )C. (0,e )D. (e,)答案：C 322 .(05年广东局考题)函数f(x) x 3x1是减函数的区间为()(A) (2,)(B)(,2) (C) (,0) (D) (0,2)答案：D22解析：y' 3x 6x,令3x 6x 0,解得 0 x 2.

7、考点二 求含参数的函数的单调区间考例2 . (06山东卷)设函数f(x)=ax(a+1)ln( x+1),其中a -1 ,求f(x)的单调区间。. . 、 ax 1解：由已知得函数f(x)的定义域为(1,)，且f (x)-(a1),x 1当1 a 0时，f (x) 0,函数f(x)在(1,)上单调递减，当a 0时，由f'(x) 0,解得x -.a_'. -一 . . .f (x)、f (x)随x的变化情况如下表x(1,-) a1 aJ, a)_ ，f (x)一0+f(x)极小值Z从上表可知.1，1 当x ( 1,)时，f (x) 0,函数f(x)在(1,一 )上单调递减 aa.

8、1，1当x (-,)时，f (x) 0,函数f(x)在(-,)上单调递增. aa综上所述：当1 a 0时，函数f (x)在(1,)上单调递减.11当a 0时，函数f(x)在(1,)上单调递减，函数 f(x)在(-,)上单调递增 aa锦囊妙计：求含字母参数的函数的单调区间时要注意对字母参数进行分类讨论.举一反三：(06山东卷)设函数f(x)= 2x3 3(a 1)x2 1,其中a 1.(I )求f(x)的单调区间；(n )讨论f(x)的极值.'解：由已知得f (x) 6x x (a 1),令 f'(x) 0,解得x 0 a 1.(i)当a 1时，f'(x) 6x2, f(

9、x)在(，)上单调递增当a 1时，f (x) 6x x a 1 , f (x), f (x)随x的变化情况如下表：x(,0)0(0,a 1)a 1(a 1,)_ ，f (x)+00f(x)Z极大值极小值Z从上表可知，函数 f(x)在(，0)上单调递增；在(0, a 1)上单调递减；在(a 1,)上单调递增.(n)由(I)知，当a 1时，函数f (x)没有极值.当a 1时，函数f(x)在x 0处取得极大值，在 x a 1处取得极小值1 (a 1)3.考点三利用导数证明不等式考例3.当x>0时，证明不等式：1+2xve2x.思路分析：假设构造函数f(x)=e2x1 2x. f(0)=e01

10、0=0，如果能够证明f(x)在(0 , +8)上是增函数，那么f(x)>0,则不等式就可以得到证明.证明：令 f(x)=e2x-1-2x.(x)=2e2x2=2(e2x1)x>0, .e2x>e0=1, . 2(e2x1) >0,即 f' (x)>0f(x)=e2x 1 2x 在(0 , +°°)上是增函数.,.f(0)=e0-1-0=0.当 x>0 时，f(x)>f(0)=0,即 e2x- 1 -2x>0.1+2x<e2x锦囊妙计：通过构造函数，利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将 x赋值，利用单调 性证明

11、一个不等式。这也是证明不等式的一个种方法举一反三：1.已知x>1 ,证明不等式 x>1n(1+x)思路分析：构造函数f (x) x ln(1 x),利用导数知识讨论f (x)的单调性，从而证得.f(x) f(0)1 x解：令 f(x) x ln(1 x),则 f(x) 1, Qx 1, f (x) 0, f (x)在1 x 1 x11 ,)上为增函数 ，当 x>1 时,f(x)>f(1),即 x-1n(1+x) >1-1n2>0,. . x>1n(1+x).x2.证明不等式e 1 x (x 0)提示：构造函数f(x)= ex1x,利用导数证明函数 f(

12、x)= ex1 x是增函数。考点四利用导数讨论(求)函数中的参数的取值范围考例4. (06全国II)设函数f(x) = (x+ 1)ln( x+ 1),若对所有的x>0,都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围.解法一:令 g(x)= (x+1)ln( x+1) ax,对函数 g(x)求导数:g'x) = ln(x+1) + 1 a令 g'x) = 0,解得 x = eaT 1,当awl时，对所有x>0, g'x)>0,所以g(x)在0 , + 8比是增函数，又 g(0)=0,所以对 x>0,都有 g(x) >g(0),即当a<

13、; 1时，对于所有x>0,都有 f(x) >ax.(ii)当 a>1 时，对于 Ovxvea-1 1, g'x)v0,所以 g(x)在(0, ea-11)是减函数，又 g(0)=0,所以对 Ovxvea 1 1,都有 g(x)vg(0),即当a> 1时，不是对所有的 x>0,都有f(x)>ax成立.综上，a的取值范围是(一差1.解法二：令 g(x)= (x+ 1)ln( x+ 1) - ax,于是不等式f(x)>ax成立即为g(x)>g(0)成立.对函数 g(x)求导数:g'x) = ln(x+1) + 1 a令 g'x)

14、 = 0,解得 x = eaT 1,当 x> eaT1 时，g'x)>0, g(x)为增函数，当一1vxvea 11, g'x)v0, g(x)为减函数，所以要对所有x>0都有g(x) >g(0)充要条件为ea 1- K 0.由此得aw 1,即a的取值范围是(oo 1.举一反三：(06湖南卷)已知函数 f(x) ax3 3x2 13.a(I )讨论函数f (x)的单调性；(n)若曲线y f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段 AB与x轴有公共 点，求实数a的取值范围.解 (I)由题设知 a 0, f (x) 3ax2 6x 3ax(x ). a

15、2V f (x) 0得xi 0, x2 一. a当(i) a>0 时，2若x ( ,0),则f(x) 0,所以f(x)在区间(，2)上是增函数；a若x (0,2),则f (x) 0 ,所以f (x)在区间(0,3上是减函数； aa22右x (2,)，则f (x) 0,所以f(x)在区间(f,)上是增函数； aa(i i)当 a<0 时，22若x ( ,£),则f (x) 0,所以f(x)在区间(，上)上是减函数； aa422若x (Q_),则f (x) 0,所以f (x)在区间(0,_)上是减函数； aa若x (2,0),则f (x) 0,所以f(x)在区间(2,0)上是

16、增函数； aa若x (0,)，则f (x) 0,所以f(x)在区间(0,)上是减函数.(n)由(I)的讨论及题设知，曲线 y f(x)上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数y f(x)在x 0,x -处分别是取得极值f(0) 1 - , f(2)-4-1.aa a a a因为线段AB与x轴有公共点，所以f (0) f (-2) 0 . a即(3 i)(i 3) °.所以(a 始(a 4) 0.a2 a aa2故(a 1)(a 3)(a 4) 0,且a 0.解得 一1 wav 0或3W aw 4.即所求实数a的取值范围是-1, 0) U 3 , 4. 误区警示：例.已知函数f(x)

17、=x 3+bx2+cx+d满足以下3个条件：在(，0上为增函数 在0, 2上为减函数f(2)=01)求c的值；2)求f(1)的范围。常见错误：由f(x)在0, 2上为减函数，f(2)=0，得f '(2) 0,导致b的范围缩小，进 而导致求f(1)的范围出错。正解：由条件知，x=0为y=f(x)的极值点又 f (x) 3x2 2bx c f (0) c 0由于 c=0 则 f(x)=x 3+bx2+d从而 f(1)=1+b+d又知：f(2)=8+4b+d=0d=-8-4b则 f(1)=-3b-7由知，f (2) 012 4b 0 b 3.f(1) >(-3) X(-3)-7=2 故

18、 f(1) >2o紧扣考纲大演练一.单项选择题1 .(原创题)函数y x xlnx的单调递减区间是,2、，_2、_,2、， 2、A. ( ,e )B. (0,e )C. (e ,)D. (e ,)答案：B2 .下狗语数中，在上申售递增的TT < ，个 一皿)力工'-5,*6 r 4-2 "t "y = x«尸工1"H2*>匚工-工”： XA. 2& 3C. 4答案:B3 .已知函数f x ,( x R)上上-点(x0 , f x0 )处的切线斜率为 k= x( 该函数的单调递减区间为()A 1B 2 C1 和(1 2)

19、D答案：B4 .设函数f(x)在定义域内可导，y f(x)的图像如图， 则导函数f'(x)的图像可能是( C )V俨什-JnL J 1Az 上 4A -5 .已知函数y xf (x)的图象如右图所示(其中f (x)yD. 5- 2 一)2 x。1 ,则24V ,"X是函数f(x)的导函数)，卜面y f(x)的图象大致是(C |f一 STS 巧，“;A6.已知函数y f (x),其导函数A.在(-,0)上为减函数B.在x=0处取得最大值.四个图象中)-3-1 Pf i XHfJFw MlBCDy f (x)的图象如右图，则y f (x)：C.在(4, + )上为减函数D.在x=

20、2处取得最小值6. C 思路分析:由导函数的性质知，f (x) 0, f(x)递增，f (x) 0, f(x)递减。从图像上知，当x>4时，f (x) 0, f (x)在(4, + )上递减。二.填空题27.(改编题)函数 f (x) x21nx的单调减区间是答案：(0,1解析：首先考虑定义域(0,),由f2(x) 2x 一 x_22(x2 1)x8 .(原创题)函数fxkx3R内是减函数，则的取值范围是答案：k<09 .如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是y x 8,则f(5) f (5)=10 .(改编题)设f (x),g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函1、 一

21、数，当 x 0 时，f (x)g(x) f (x)g (x) 0,且g( -) 0 则不等式 f(x)g(x) 0 的 2解集是 答案：(，1) (0,1)22三.解答题 3211. (06安徽卷)设函数f x x bx cx(x R),已知g(x) f (x) f(x)是奇函数。(i)求b、c的值。(n)求g(x)的单调区间与极值。解析：(i) ; f x x3bx2cx, fx 3x22bxc。从而32232g(x) f (x) f (x) x bx cx (3x 2bx c) = x (b 3)x (c 2b)x c是一个奇函数，所以g(0) 0得c 0,由奇函数定义得b 3；(n)由(I)知 g(x) x3 6x ,从而 g (x) 3x2 6 ,由此可知，(，历和(J2,)是函数g(x)是单调递增区间；(五,J2)是函数g (x)是单调递减区间；g(x)在xJ2时，取得极大值，极大值为