圆锥曲线定点、定直线、定值问题

1、定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为1. （I）求椭圆C的标准方程；（n）若直线l:y=kx +m与椭圆C相交于A, B两点（A, B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.22【标准答案】（I）由题意设椭圆的标准方程为 T+-yr=i（a>b>0）a b222- x y ,a+c=3,ac=1, a=2,c=1,b =3,一 + =1.43y = kx m(II)设 A(x1,y) B(X2,y2),由 1 x2 y得(3+4k2)x2+8mkx +

2、 4(m2 3) = 0 , 二 143 =64m2k2 16(3 +4k2)(m2 -3)>0 , 3+4k2 -m2 >0 .丁以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0), kAD kBD = -1，,y y = -1 ,x1 - 2 x2 - 2(最好是用向量点乘来)y1y2 +x1x2 -2(X+x2) +4 = 0,+ 4 = 0,3(m2 -4k2) 4(m2 -3) . 16mk3 4k23 4k23 4k22 一 一 一 2 一2k _ 22 _7m + 16mk +4k =0 ,解得 m1 = -2k,m2 = 一一 ,且满足 3 +4k -m >0 .7当

3、m = 2k时，l : y =k（x-2）,直线过定点（2,0）,与已知矛盾;, 2k .22 一当m =3时，l : y =k（x 1）,直线过定点（7,0）.2综上可知，直线l过定点，定点坐标为（一,0）.732、已知椭圆C的离心率e=3，长轴的左右端点分别为 A"-2,0）, A2（2,0）o （I）求椭圆C的万程;m变化时，点S（n）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，直线AF与A2Q交于点S。试问：当是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。22解法一：(I)设椭圆C的方程为0+y一 =1(a Ab >0)。 1分a b

4、a =2 , e =- = ,c = 73 , b2 =a2 -c2 =1。 4 分a 22，椭圆C的方程为xr+y2 =1。 5分4(n)取 m =0,得 P；,93 1Q 'l,-:直线 AlP 的方程是 V =x+&，I 2 J I 2 J63直线A2Q的方程是y=3x73,交点为S(4,T3) 7分，若P心迫流,叵|,由对称性可知交点为 82(4,-73)I 2 J I 2 J1)若点S在同一条直线上，则直线只能为Rx=4。 8分x2)V2 =1以下证明对于任意的m,直线AiP与直线A2Q的交点S均在直线月:x = 4上。事实上，由 ,4¥ 得| x 二 my

5、 1(my +1)+4y2 =4,即(m2 +4 .2 +2my -3 =0 ,记 P(xi,yi )Q(x2,y2 ),则 yi +y2 =,yiy2 =m ，4 m y设AiP与上交于点So(4,yo),由工二,得yo =34 2 x1 2x1 ：10设A2Q与F交于点So", yo'),由42:六2,得y。'=六.-12m-12m=m +4 m +4 =0,12 分 x12 x2 -2y0 =y0'，即S。与& '重合，这说明，当 m变化时，点S恒在定直线£：x=4上。13分解法二：(n)取m =0,得P：,3i,Q：,立，直线

6、A1P的方程是y二近乂十，3,直线A2Q的方程是I2-2)，63.3- 、 ，、. 一y=-x g,父点为 S1(4,73) 7 分2取m=1,得P；8,3 1Q(0,1 ),直线A1P的方程是y =3x+1，直线A2Q的方程是y = 1x1,交点为S2(4,1 )5 5632若交点S在同一条直线上，则直线只能为£:x=4。 8分 2，. - y2 =1 _以下证明对于任意的m,直线AF与直线A2Q的交点S均在直线 上x = 4上。事实上，由* 4 y 得.2.2.my 1 -4y =4,x 二 my 1-2my1 y =L'yy即(m2+4卜2+2my3 =0, 记P(1x

7、)( ,)y2,狈Q x-3 =力。"2 9分m2 4A1P的方程是y ='(x+2 ) A2Q的方程是y="(x2)消去y,得(x+2 ) =(x 2 )x1 2x2 -2x1 2x2 -2以下用分析法证明x =4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明_6yL =_2y",即证xi 2 X2 -23y1(my2 -1)= Y2( myi 十 3 即证 2myiY2 =3(yi +Y2 )2my1y _3(y +y)=-6m-=6m-=20, .式恒成立。这说明，当m变化时1点S恒在定直线/；:x = 4上。 m 4 m 4' 2-y2 =12,2

8、2斛法二：(n)由 4 4得(my+1) +4y =4,即(m +4 )y +2my-3=0。x =my 1t己 P(x1，y1 )Q (x2,y2 ),贝U y1 +y2，yy2° 6 分m 4 m 4AF的方程是y ="(x+2 ) A2Q的方程是y=y(x2),7分x1 2x2 -2y =-y x 2 , x12y1y2由得一(x +2 = (x -2 9 分y ;上 x-2,x1 2X2-2x2 -2即 x = 21y2x12y1x2-2 二把2 my1 3y1my2 -1= 伫丫佻3y2 fy2 x1 2 -y1 x2 -2 y2 my1 3 -y my2 -13

9、y2 y12m|_- =2b17 c -2mL 3 mic-2m3 m-y1y1=4.12分这说明，当m变化时，点S恒在定直线f:x=4上。 13分 3、已知椭圆E的中心在原焦点在 x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值 为短-1 ,离心率为e .2(I )求椭圆E的方程；M , MP MQ为定值?(n )过点(1 , 0件直线f交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点 若存在，求出这个定点 M的坐标；若不存在，请说明理由.22 a _ c .2 -1解：(I)设椭圆E的方程为 与十冬=1，由已知得：2. 而。2分a b- =2a 2a = .222 2x22，b =a c =1二椭圆

10、E的万程为 一+y =1。3分c =12(n)法一：假设存在符合条件的点M(m,0),又设P(x1,y1),Q(x 2,y2),则：2=x1x2 m(x 1+x2)+m +y1y2。5 分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k(x -1),则2 =1得 x2 +2k2(x -1)2 2=0y =k(x -1)22k -2 7 公x2 =-FT 7 分2k 12(2k2 1)x2 -4k2x (2k2 -2) =0 Xi x2 =4k, Xi2k 1所以MP MQ二2k2 24k22- m 22k 1 2k 1k222k 1_222 一(2m -4m 1)k (m -2)22k 1对于任

11、意的k值，MP MQ为定值，所以2m24m+1 =2(m22),得m5 7所以 M(,0),MP MQ1611分当直线l的斜率不存在时，直线1l： x =1,x1 x2 =2,x 1x2 =1,丫1丫2 二-2由m =5得MPMQ二一二416综上述知，符合条件的点M存在，起坐标为(-,0) .413分法二：假设存在点 M(m,0)，又设 P(x1,y1),Q(x 2/2),则：MP =(x1 m,y1),MQ'=仅2一 m,y2)MP MQ =(x1 -m) (x2-m)+y1y2 = x1x2-m(x 1+x2)+m2+y1y2 .当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1

12、,2y2 =1,2-2t由 4 2得(t +2)y2 +2ty -1 =0y1 +y2 =-,y 1x = ty 1t 2-1y 2 =-2t 2K rT -2t2 2 4m 2,MP MQ =2 -六 mt 2 t 2(m - 2)t 2m -4m 1t2 2t2 2、一一一 设MP MQ =九则2_2_2(m -2)t 2m -4m 1t2 22_2_22_.(m 2)t 2m -4m 1 =Mt - 2).(m2 -2 - )t2 2m2 -4m 1 -2 = 02m2 -2 T,=022m -4m 1 -2 =05m 二一457 J.M(一,0)二74=、1611分2当直线l的斜率为0

13、时，直线l: y=0,由M(5,0)得：综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为(-5 0) 。 13分2e = T,-5过椭圆的右4，24、已知椭圆的焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x =4y的焦点，离心率焦点F作与坐标轴不垂直的直线 l ,交椭圆于 A、B两点。求椭圆的标准方程；:(n)设点M(m,0)是线段OF上的一个动点，且(MA+MB)_L AB ,求m的取值范围；(出)设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点 N,使得C、B、N 三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。22解法一：(I)设椭圆方程为-x2+-y2-=1(a>b>0

14、),由题意知b = 1a b2 2a -b2a(n)由22 ox2o7= a =5故椭圆方程为W" + y =1 (I)得 F(2,0),所以 0Em W2,设 l 的方程为 y =k(x 2) ( k=0)x 22222代入一+ y =1,得(5k +1)x 20kx+20k 5 = 0 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 5则 x1 , x2 =20k220k2 -52, x1x2 =2,5k2 15k2 1y1y2 =k(X1 X2 -4), y1 - y2 二k(x1 一x?)20k24k22- 2m -25k2 1 5k2 1=0,二(85m)k2 m = 0

15、由 k28>0, 0 < m <一 ，5，八 8 ,，K不、K八，当 0<m< 时，有（MA + MB） _L AB 成立。55BC的方（出）在x轴上存在定点 N（,0）,使得C、B、N三点共线。依题意知 C（xi,-y） 直线程为 y + y1 = -y2y1 (x - x1),x2 - x1l 的方程为 y =k(x2), A、2220k2 -520k22k2- -2k _5k 1 5k1一l 20k2人k z4k5k2 1令 y=0,则 x=y1(x2-X)+x1 y2y1B在直线l上,5 5一 J.在X轴上存在7E点 N (- ,0),22解法二：（n）由

16、（I）得F（2,0）,所以0EmE2。设l的方程为2ye丫2”y2y1使得C B N三点共线。y =k(x-2) (k = 0),代入+ y2 =1,得(5k2 +1)x2 -20k2 +20k25=0设 A(x1，y。B(x2, y2),则520k220k2 -54kXix2= - 2XiX2= - 2 ,y1y2 = k(x1x2-4) = -7r,y- y2= k(x15k 1 5k 15k 1c 8 -i二当 0<m<-时，有(MA + MB) _L AB 成立。5-x2)一 -5(出)在x轴上存在定点N(-,0)，使得C、B、N二点共线。 2 设” N(t,0),使得C、

17、乙 N三点共线，则CB/CN ,'：CB = ( x- x, y+ y, CN ( -t 1 x,1(x2为)，一(t x)(y1 + y2) = 0即(x2 -x1)k(x1 -2) -(t -x1)k(x1 x2 -4) = 0 . 2x1x2 一(t 2)(x1 x2) 4t = 0 _ 2_ 220k2 -520k255二 2 20k5-(t +2)学=+4t =0 ,二 t =5 二存在 N(5,0)，使得 C B N 三点共线。5k2 15k2 1226、（福建卷）2已知椭圆x-十y2 =1的左焦点为F , O为坐标原点。2（I）求过点（n）设过点O、F,并且与椭圆的左准线 l相切的圆的方程；F且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综 合解题能力。解：(I) ：a2 =2,b2 =1, c = 1,F(1,0),l : x= -2；圆过点 O、设M (-1，1、 ，-3一,t）,则圆半径 r = （一）（2）=一.222由 OM| =r，得(1)2 +t2 =3,解得 t =