全国高考数学复习微专题：含参数函数的单调区间

1、含参数函数的单调区间在高考导数的综合题中， 所给函数往往是一个含参数的函数， 且导函数含有参数， 在分析函数单调性时面临的分类讨论。 本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧， 便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。一、基础知识：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单倜区间。即确定定乂域求出导函数令f x 0解不等式f得到递增区间后取定义域的补集（减区间）-单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨

2、论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定（ 1 ）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式： x a 0 ，其解集为 a, ，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数a 为何值，均是将a移到不等号右侧出结果。 所以不需要分类讨论， 再例如解不等式x2 a 0 ， 第一步移项得：x2 a （同样无论a 为何值，均是这样变形） ，但是第二步不等式两边开方时发现a 的不同取值会导致不同结果，显然a 是负数时，不等式恒成立，而a 是正数时，需要开方进一步求解集， 分类讨论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之， 当参数的不同取值对下一步的影响不相同时， 就是分类

3、讨论开始的时机。 所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。（ 2 ）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，首先 要明确参数在问题中所扮演的角色 。例如上面的不等式x2 a ， a 所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a 的符号进行分类讨论。（ 3 ）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解（ 4 ）当参数 a 扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。1 一 例如：斛不等式： ax 1 x

4、 10,可得：x1 a 0 ,x2 1此时a扮演两个a角色，一个是x的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定 x1的大小，进而要和 x2来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以x系数的正负，进行分类。当a 0时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于a 0,以此为前提x1 0 1 x2,1故小大根不存在问题，解集为一,1a当a 0时，不等式变为x 1 0 x ,1当a 0时，不等式解集为小大根之外，而x1 1 0,x2 1, %,*2的大小由a的取值a决定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。（重视的对比）八，一，1X x20 a 1时，不等式解集为

5、，1 U ,a2x1 x2a 1时，不等式化为 x 10 x 1， 一，1 .x x2a 1时，不等式解集为 ，一 U 1,a希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界,若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而是有线索可循了。、典型例题:1 x例1：已知函数f x lnx,求f x的单调区间ax解：定义域x 0,In xj11 ax 1f x2 -2-ax x ax.，ax 1令f x 0,所解不等式为0a,_ , 一一-1当a 0时，即解不等式ax 1 0 x -f x的单调区间为:x0,1 a1, a, f x+f xZ当 a 0时，ax 1 0, a 0'f x 0恒成立f x为增函

6、数：3例2：已知函数f xax3 3x2 1 1，一，-x 1垂直，求实数a的值3a(1)若f x的图像在x 1处的切线与直线 y(2)求函数f x的单调区间解：(1)由切线与y'2f x 3ax 6x1-.八-x 1垂直可得：f 133f 1 3a 6 3 a 1(2)思路：导函数f' x23ax 6x ,令 f x0解单调增区间，得到含参不等式。分类讨论时注意a扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根解：f' x3ax2 6x 令 f' x 0 即 3ax2 6x 03x ax 20G八2 a 0 x1 0,x2 x2 x1 (将a的范围分

7、类后，要善于把每一类的范围作为已知条a使用件，在本题中使用 a 0的条件使得x1，x2大小能够确定下来，避免了进一步的分类)f x的单调区间为:x,00? a2, af x+f xZZD a 0x2 xf x的单调区间为:x2, a±0 a0, f x+f xZZ2例3：已知函数f x 2ln x ax ,求f x的单倜区间解：定义域：x 0,2 c 2 2ax 八一 八一2- 2ax ,令 f x 0,可得：2 2ax 0xx即 ax21当 a 0时，x2 - x 0, aaf x的单调区间为:x。百, a, f xf xZ当a 0时，f x21nx为增函数22 2axr当a 0时

8、，f x 2ax 0恒成立 f x为增函数xx例4：讨论函数f x a 1 In x ax2 1的单调区间/c 2/a 1 小 2axa 1'解：f x 2ax 令 f x 0xx22即2ax a 1 0 2ax a 1（注意定义域为 0,+,所以导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式）2 a 12a a 0时 x （求解x需要除以2a后开方，进而两个地方均需要分类讨论， 先从2a的符号入手）Qa 0a1 0 f' x 0恒成立，f x在0, 单调递增2aa 0函数f xIn x 1为增函数2 a 1a 1a 0时x2（下一步为开方出解集，按 的符号进行再分类）2a2aa 1当

9、0即a 1时，f x 0恒成立，f x在0,单调递减2a当0_J2aa 0时，解得：0 xa 12af x的单调区间为:x0,J展V 2a, f x+f xZ小炼有话说：本题定义域为0,故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一边解不等式。制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集，所以在 1 a 0时，表格中自变量的区间是从 x 0处开始分析的2一 例5：已知函数fx x a 2 ln x ,讨论f x的单倜性 x解：定义域为 0,2j / 2ax ax 2'2八八f x 1 2令 fx 0即 x a

10、x 2 0x x x考虑 a2 8 （左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与x轴有交点） 02近a 2我时x2 ax 2 0恒成立，故f x在0,单调递增 a272"时x2ax 20 的解 x1 a8 ,x2 a8x1,x20222aa28a. a2 8x2 ax 2 0 的解集为 0, U 22f x的单调区间为:x0 a _'a2 8a Ja2 8 a Ja2 8a 4 a之 82,22, f x+f xZZ a 2、”4x1,x20 x 0, f x 0f x在0,单调递增小炼有话说：本题亮点在于的讨论， 判断极值点是否在定义域中。 进而确定单调性。除 了解出根来判断

11、符号之外， 本题还可以利用韦达定理进行判断。 x1 x2 2,说明两根同号, 而xi x2 a,说明a的符号决定xi,x2的正负，从而在0的情况下进行再次分类讨论例6：已知函数f x eax a a 1 ,其中a 1.x(1)当a 1时，求曲线y f x在点1,f 1处的切线方程;(2)求f x的单调区间.v 1解：（1） f xex - 2x3e, f 12e切线方程为:y 3e 2e x 1 ,即 y 2ex eax x 1 a 1 x 10,axae 2, xx令f' x 0,即解不等式： a x 1 a 1 x 10x,11,00,f x+当a 1时，解得：x1,故f x的单调

12、区间为:f xZZ11当1 a 0时x11,x2 0,所以解得： 1 x a 1a 1故f x的单调区间为:x,11,00, a 11a 1，, f x+f xZZa 0,则f x 1,常值函数不具备单调性a 0时，解得：x 1或x 故f x的单调区间为: a 1x,11,00a1a 1，, f x+f xZZj 一 乙一一、r,， _1 2.例7：已知函数fx - x ax a ln x 1 a R .求函数f x的单倜区间.2后刀jax2a 1 x x x a 1解：f x x a x 1x 1x 1令 f' x 0,即 xx a 10,xi0,x2a 1 （参数a角色： 刈，沟的

13、大小， x2是否在定义域内，以为目标分类）x2 x1a 10即a1 （此时不等式的解集为 1 x 0或xa 1a 1 一定在定义域中，故不再分类）f x的单调区间为：x1,00, a 1a 1 , f xf xx2x1a 1 f xx20 fx在 1,单调递增X2 xi 0 a 1 ,要根据X2是否在1,0进行进一步分类当1 a 0时，x20,1不等式的解集为x 0或1 x a 1x1, a 1a 1 ,00, f xf xf x的单调区间为：当a 0时，则x a 1 0,不等式的解集为 x 0 , f x的单调区间为:x1,00,+, f xf x小炼有话说：(1)在求单调区间时面临一个 f

14、' x 0的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简，另一方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。(2)体会参数起到多重作用时，是如何进行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也可进行些简化。例8：已知函数f xln x ax2 a 2 x ,求f x的单调区间解：定义域 x | x1f x 一 2axx22ax2x 1 ax 1令f x 0,即解不等式2x 1 ax 10a 0时，x11一, x22a。或0x2时，即11八.一 a 2 ,解得x2a2xD x1f x的单调区间为:x0,- a1 1a，212

15、，f xf xZZf x为增函数D x1 x2a 2 ,代入到 f x x x22 a 0,解得：x22x 1x0恒成立1 -1一或0 xa2，一i j，1(1)当a 0时，可得ax 1 0,则不等式的解为 x 2x0,212，f x+f xZf x的单调区间为:当f x的单调区间为：x0,21 12, a1, af xf xZZ132例9：设函数f x -ax 2ax 1 2a x,a 0,求f x的单倜区间; 3解：f x ax2 4ax 1 2a,令 f x 0 即 ax2 4ax 1 2a 02216a2 4a 1 2a 24a2 4a 4a 6a 1则f x 0恒成立 f x在R上单调递增(2)14a . 24a2 4a- x 62a6a2 a1(1)00a-66a2 a - 6a2 a0时，解得 2 x 2 aa1. 6a a当a 一时，解得： x 2 或x6a26a2 a2 V6a2 a ? J 6a2 a6a2 a2 例10：已知函数f x nx xn,xR,其中n N ,n 2 ,试讨论f x的单调性思路：f' x n nxn 1 n 1 xn 1可令f' x 0 ,则需解不等式xn