最全教师版整理全面高中数学知识点归纳总结

1、教师版2015高中数学必修+选修知识点归纳-0 - / 37引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1 :集合、函数概念与基本初等函数(指、对、哥 函数)必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角 恒等变换。必修5:解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、 不 等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时， 进一步强调了这些知 识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上

2、 做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、 算法、概率、统计 等内容。选修课程有4个系列：系列1:由2个模块组成。选彳1 1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及 其应用。选彳1 2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复 数、框图系列2:由3个模块组成。选彳21:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。选彳2 2:导数及其应用，推理与证明、数系的扩充 与复数选彳2 3:计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3:由6个专题组成。选彳31:数学史选讲。选彳3 2:信息安全与密码。选彳33:球面上的几何。选彳34:对称与群。选彳35:欧拉公式与闭曲面分类。选彳36:三等分角与数域

3、扩充。系列4:由10个专题组成。选彳41:几何证明选讲。选彳4-2:矩阵与变换。选彳43:数列与差分。选彳4-4:坐标系与参数方程。选彳45:不等式选讲。选彳46:初等数论初步。选彳47:优选法与试验设计初步。选彳48:统筹法与图论初步。选彳49:风险与决策。选彳410:开关电路与布尔代数。2.重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数,平面向量，圆锥曲线, 立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线局考相关考点：集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充 要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最 值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指 数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有

4、关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、 倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积 及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、 不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、 平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量(10)排列、组合和概率： 排列、组合应

5、用题、 二项式定理 及其应用(11)概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正 态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算必彳1数学知识点第一章：集合与函数概念§ 1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体 叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个里_合相等。、一 八*. A*3、常见集合：正整数集合:N 或N ,整数集合:Z,有理数集合:Q ,实数集合: R.4、集合的表示方法：列举法、描述法.§ 1.1.2 集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合 A、B,如果集合 A中任

6、意 一个元素都是集合 B中的元素，则称集合A是集合 B的主会记作A B.2、如果集合A B，但存在元素x B ,且x A , 则称集合A是集合B的真子集.记作:AB.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n个元素，则集合 A有2n个子集，2n 1个真子集.§ 1.1.3 合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的 集合，称为集合 A与B的并集.记作:A B.2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组 成的集合，称为A与B的空装.记作：A B.3、全集、补集？ CuA x|x U,且x U§ 1

7、.2.1 函数的概念1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合 A中的任意一个数X,在集 合B中都有惟一确定的数 f X和它对应，那么就 称f : A B为集合A到集合B的一个理丝记 作：y f x , x A.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一 致，则称这两个函数相等 .§ 1.2.2 函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法 . § 1.3.1、单调性与最大(小)值1、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设 x1、x2 a, b, x1 x2那么 f(x1) f

8、(x2) 0f(x)在a,b上是增函数；f(x1) f (x2) 0f(x)在a,b上是减函数.步骤：取值一作差一变形一定号一判断格式：解：设x1,x2a,b且x1 x2 ,则：f x1f x2 =(2)导数法：设函数y f(x)在某个区间内可导，堂f(x) 03f(x)为增函数；莅f (x)0 J1 f (x)为减函数.§ 1.3.2 奇偶性1、 一般地，如果对于函数 f x的定义域内任意一个x ,都有f x f x ,那么就称函数f x为偶_函数.偶函数图象关于 y轴对称.2、 一般地，如果对于函数 f x的定义域内任意一个x,都有f x f x ,那么就称函数f x为奇函数.奇

9、函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数1、函数y f (x)在点x0处的导数的几何意义：函数y f (x)在点*0处的导数是曲线 y f (x)在P(x0, f (Xo)处的切线的斜率f (Xo),相应的切线方程是 y yof (xo)(x xo).2、几种常见函数的导数n 'n 1C 0；(x ) nx ；(sin x) cosx； (cosx) sin x ；(ax) axlna；(ex)ex ；八 、,1,、,1(log a x)；(ln x)一 xln ax3、导数的运算法则 -" r '(1) (u v) u v.'''(uv)

10、u v uv .''u ' uv uv (3)( 一)2 (v 0).v v4、复合函数求导法则复合函数y f (g(x)的导数和函数y f (u),u g(x)的导数间的关系为 Vx Yu 4 , 即y对x的导数等于y Xu的导数与u对x的导数的 乘积.解题步骤：分层一层层求导一作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在xo附近所有的点，都有f(x) V f(xo),则 f(xo)是函数f(x)的极大值；极值是在xo附近所有的点，都有 f(x)>f(xo), 则f(x0)是函数f(x)的极小值.(2)判别方法：如果在x0附近的左侧f (x) <0,右

11、侧f (x) >0,那么f(xo)是极小值.6、求函数的最值-15 - / 37求y f(x)在(a,b)内的极值(极大或者极小值)(2)将y f(x)的各极值点与 f (a), f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比较(局部性质)最值是在整体区间上函数值进行比较(整体性质)。2、性质：§ 2.2.1、对数与对数运算5、换底公式:lOgablOgcblOgc a第二章：基本初等函数(I )§ 2.1.1、指数与指数哥的运算1、一般地，如果xn a,那么x叫做a的n次方根。其中n 1,n N .2、当n为奇数时，Van

12、a；当n为偶数时，van a .3、我们规定：n am man*.a 0, m, n N , m 1 ； a n On 0 ；a1、指数与对数互化式：ax N x logaN ；2、对数恒等式：alogaNN .3、基本性质：loga 1 0 , log a a 1.4、运算性质：当a 0,a 1,M0, N 0时： lOga MNlOg a MlOga N ； lOga lOga MlOg a N ；Na 10 a 1图 象.土*H0一0-11X-L一-，T|L性 质(1)定义域：(0, +8)(2)值域：R(3)过定点(1, 0),即 x=1 时，y=0(4)在(0, +8)上 是增函数(

13、4)在(0, +8)上 是减函数(5) x 1, lOg a x 0 ；0 x 1,lOg a x 0 x 1,lOga x 0； 0 x 1, lOg a x 04、 运算性质： arasarsa 0,r,s Q ；一 s 一 a a a 0,r,s Q ； ab r arbr a 0, b0, r Q§ 2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象:y ax a 0, a 1yy=ax0<a<1 a>1a 0, a 1, c 0,c 1, b 0 .6、重要公式：lOganbm mlOgab aan7、倒数关系：10g a b1 a lOgb a§ 2.2

14、.2、对数函数及其性质0,a 1,b 0,b1、记住图象：y lOg a x a 0, a 1 y.y=lOg ax0<a<1lx-O一Kx 1- aa>12、性质：§ 2.3、哥函数1、几种哥函数的图象： log a M n n lOg a M .第三章：函数的应用§3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程f x 0有实根函数y f x的图象与x轴有交点函数y f x有零点.2、 零点存在性定理：如果函数y f x在区间a,b 上的图象是连续不断圆柱侧面积；S侧面 2 r l1V台体 一s上3.siS7S下 h球的表面积和体积:的一条曲线，并且有 f a

15、 f b 0 ,那么函数y f x在区间a,b内有零点，即存在 c a, b ,使彳# f c 0,这个c也就是方程f x 0的根.§ 3.1.2 用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.§ 3.2.1 几类不同增长的函数模型§ 3.2.2 函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函 数拟合，最后检验.必彳2数学知识点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构常见的多面体有： 棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体 有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱:有两个面互相平行， 其余各面都是四边形， 并 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的多面体

16、叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心 投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下 的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积243S 球 4 R , V 球一R .3第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么 这条直线在此平面内。2、公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理4:平行于同一条直线

17、的两条直线平行 .5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那 么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、 直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行:判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 （简称线线平行，则线面平行）性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面 平行，则线线平行）。10、面面平行:判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 （简称线面平行， 则面面平行）性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，

18、 那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行） 11、线面垂直:定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直:定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二 面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这 两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交 线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。第三章：直线与方程1、倾斜角与

19、斜率：k tany2一y1ll和12重合A1B2B1C2A1A2B1B25、两点间距离公式:A2B1B2C10. J2P1 P2X x2X1y2y16、点到直线距离公式：AX0 By0 C7、两平行线间的距离公式：2、直线方程：点斜式:y y。k x x0斜截式:y kx 1b两点式:yy1y2y1xx1x2x1截距式:x 1 1a b一般式:Ax ByC 03、对于直线：11 : y k1xb1,12 ：k1k2y k2x b2有 1"/12bib211和12相交k1k2 ；11和12k1重合1k2b1b2 1112k1k21.4、对于直线：11 : AxB1y C10,有有：01

20、2 : A2xB2y C2 1112A1B2A2B1B1C2B2C111和12相交 A B2A2 B1 ；11 : Ax By C1IC1 C2. A2 B20 与 I2 ： Ax第四章：圆与方程1、圆的方程：标准方程：x a 2 y b其中圆心为（a,b）,半径为r .By C2 0平行,一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0.其中圆心为（D, E），半径为r】Jd2 E2 2222、直线与圆的位置关系直线 Ax By C 0与圆（x a）2 （y b）2的位置关系有三种：dr相离0;dr相切0;dr相交0.弦长公式:l 21d'1 k2 , (x x2)2 4x1x2外离dRr

21、;外切dRr ;相交Rrd R r ;内切dRr ;内含dRr.3、两圆位置关系：d O1O24F .3、空间中两点间距离公式：2Z2Zl）IFTHEN 句的一般格式为：IF 条件THENWHILE 条件语句循环体END IF（图 3）WEND必修3数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言;2、流程图中的图框：一起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本结构：当型循环结构顺序结构、条件结构、循环结构直到型循环结构顺序结构示意图：（图4）直到型（UNTIL型）循环结构示意图:4、基本算法语句：输入语句的一般格式:输出语句的一般格式:赋值

22、语句的一般格式:（“一有时也用“一” 条件语句的一般格式有两种:IF THrEN- ELSE语句的一般格式为:IF 条件 THEN语句1ELSE语句2END IF （图 2）循环语句的一般格式是两种：/向、（图4）当型循环（WHILES语句的一般格式： 直到型循行（UNTIL）语句的一般格.:DO循环体LOOP UNTIL 条件算法案例：（图5）辗转相除法一结果是以相除余数为 0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：i）:用较大的数m除以较小的数n得到一个商 4和一个余数R0 ；ii）：若Ro = 0,则n为3n的最大公约数；若Ro w 0,则用除数n除以余数Ro得到一个商§和

23、一个余数Ri；iii)：若Ri = 0,则Ri为m n的最大公约数；若Ri w 0,则用除数R除以余数R得到一个商&和一个余数 R2 ；依次计算直至 R =0,此时所得到的Rn 1即为所求 的最大公约数。更相减损术一结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下:i):任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。ii):以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与 所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到 所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大 公约数。进位制十进制数化为k进制数一除k取余法k进制数化为十进制数第二章：统计1

24、、抽样方法：简单随机抽样(总体个数较少)系统抽样(总体个数较多)分层抽样(总体中差异明显)注意：在N个个体的总体中抽取出 n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会(概率)均为-oN2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表一一数据详实频率分布直方图一一分布直观频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书 写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数：X x1 x2 x3xn-;n取值为不，*?, ,xn的频率分别为P1，P2，

25、，Pn,则其平 均数为 x1 P1 x2 P2xn Pn ；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差:(xi2x)；方差与标准差：一组样本数据 x1,x2, ,xni 1注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：y bx a (最小二乘法)xyi 1 n2xinx y2 nxbx注意：线性回归直线经过定点 (x, y)。第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果， 用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随

26、机事件A的概率：P(A) m,0 P(A) 1. n2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率P(A) mn3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。几何概型概率计算公式：P(A)其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、 体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件A1,A2, , An任意两个都是互斥事件，则称事彳A，A2，, An

27、彼此互斥。如果事件A, B互斥，那么事件 A+B发生的概率，等于事件A, B发生的概率的和，即：P(A B) P(A) P(B)如果事件A1，A2， , An彼此互斥，则有：P(Al A2An) P(Ai) P(A2)P(An)对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件A的对立事件记作AP(A) P(A) 1,P(A) 1 P(A)对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事 件。必彳4数学知识点第一章：三角函数§ 1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念 .2、与角终边相同的角的集合：2k ,k Z .§ 1.1.2、弧度制1、把长

28、度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、1_ r3、弧长公式:l180R.4、扇形面积公式:s n_R：360llR . 2§ 1.2.11、任意角的三角函数是一个任意角，它的终边与单位圆交于点x, y,那么：siny, cos x, tan2、设点A x , y为角终边上任意一点,那么：(设sin,cosx, tan_ycotxrrxy)2sin , cos , tan在四个象限的符号和 三角函数线的画法3、正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT特殊角0° , 30° , 4506T飞22332sin5、60° ,90° , 180

29、° , 270等的三角函数值costan§ 1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方夫系:22sincos1.2、商数关系：,sinto nian cos3、倒数关系：tan cot 1§ 1.3、三角函数的诱导公式(概括为“奇父偶小艾，符"号看象限"k Z)1、诱导公式一:sin 2ksin ,cos 2 kcos ,(其中：k Z)tan 2ktan .2、诱导公式二:sinsin ,coscos ,tantan .3、诱导公式二:sinsin ,coscos ,tantan .4、诱导公式四：sinsin ,coscos ,tanta

30、n .5、诱导公式五:sin 一 2cos ,sincos 26、诱导公式六：sin 一 2coscos sin .2§ 1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：y=sinx37_222 5 34偶性、单调性、周期性y=tanxr、'X3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性周期函数定义：对于函数f x ,如果存在一个非零常数T,使彳#当x取定义域内的每一个值时，都有 f x T f x ,那么函数f x就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.y sin xy cosxy tanx图象Jy/ i a

31、 :£ Itd yL/JJ1Hi1"1/ 11/ 1/rr )! /%0k>/ x0/y亨viyI定义域RRx|x - k ,k Z值域-1,1-1,1R最值x2k,kZ时，ymax12x2k, kZ时，ymin12x 2k ,k Z时，ymax1x 2k,k Z时，ymin1无周期性T 2T 2T奇偶性奇偶奇图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质y=cosx2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定 _义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇§ 1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：3、会用五点法作图y sin x在x 0

32、, 2 上的五个关键点为:3(0,0),(万,1),( ,0),(1,-D,(2 ,0).2、记住余切函数的图象:yy=cotx单调性k Z在2 k -,2k5上单调递增在2k_ 2k 3 上单调递减2 ,2在2 k,2 k上单调递增在2 k ,2 k上单调递减在(k _ k _)上单调递增 2 2对称性k Z对称轴方程：x k 2对称中心(k ,0)对称轴方程：x k对称中心(k ,0)2无对称轴,一 ，、k对称中心(一 ,0)2§1.5、函数y Asin x 的图象1、对于函数：y Asin x B A 0,0 有：振幅 A,周2.1期T ，初相，相位x ，频率f T .2、能够

33、讲出函数y sin x的图象与y Asin x B的图象之间的平移伸缩变换关系.先平移后伸缩：y sin x平移| |个单位 y sin x (左加右减)横坐标不变y Asin x纵坐标变为原来的 A倍 纵坐标不变 y Asin xi横坐标变为原来的|倍平移|B|个单平y Asin x B(上加下减)先伸缩后平移：y sin x 横坐标不变. y Asin x纵坐标变为原来的 A倍纵坐标不变上 y Asin x1横坐标变为原来的|倍平移一个单位 y Asin x(左加右减)平移|B |个单,y Asin x B(上加下减)3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数 y sin( x ),xCR及

34、函数 y cos( x ),2xC R(A,为常数，且 Aw 0)的周期T -；函M数 y tan( x ) , x k , k Z (A, w ,为 2常数，且Aw 0)的周期T ._M对于 y Asin( x )和 y Acos( x )来 说，对称中心与零点相联系，又称轴与最值点联系.求函数y Asin( x )图像的对称轴与对称中心，只需令 x k (k Z)与 x k (k Z) 2解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：Aymaxymin , Bymin2要根据周期来求，要用图像的关键点来求§ 1.6、三角函数模型的简单应用1

35、、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§ 3.1.1、两角差的余弦公式记彳3E 15。的三角函数值：sincostan12172 V'134§ 3.1.2、1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincos cos sin2、sinsincos cos sin3、coscoscos sin sin4、coscoscos sin sintantan5、tan1 tantan .tantan6、tan1 tantan .§ 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin 22sin cos ,变形：.sin cos r2sin2 .2.22、cos

36、2 cossin_22 cos 11 2sin2第二章：平面向量§ 2.1.1 向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度2、既有大小又有方向的量叫做向量一§ 2.1.2 向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三 个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量 AB的长度（或称uuu慢），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共 线向量）.规定：零向量与任意向量平行 .§ 2.1.3 相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫

37、做相等向量.§ 2.2.1 向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.-19 - / 372、变形如下：4 2cos2f ，1 cos2升哥公式:2sin21 cos 22 cos2(1 cos2 )降哥公式：. 2 sin1(1 cos2 )3、tan 2 2tan -.1 tan2,sin 21 cos24、 tan 1 cos2 sin 2§ 3.2 简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次 .2、辅助角公式y a sin x bcosxa2 b2 sin（x ）（其中辅助角 所在象限由点（a,b）的象限决定，tan b). a§

38、2.2.2 向量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量2、三角形减法法则和平行四边形减法法则§ 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数 与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作:a ,它的长度和方向规定如下： a I lla,当 0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反.5、 a b a b 0.4、a-21 - / 372、平面向量共线定理：向量 aa 0与b共线，当§ 2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角且仅当有唯个实数 ，使b a.1、xi, yi , b x2, y2 ,则:b xi

39、x2yi V22 yi§ 2.3.1、平面向量基本定理 i、平面向量基本定理： 如果e ,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量 a*2V1V20有且只有一对实数§ 2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表不i、 a xiyj x, y .§ 2.3.3、平面向量的坐标运算1、Xix2, yiy2 ,Xix2, yiy2 ，2e2 .2、3、4、x1, a/bXi y2X2 yi.2、设 A x1，y1,B x2, y2 ,则:AB X2xi, y2yi . a/bABX2V10,B X2, y22X2xiy2两向量的夹角公式r ra bcos

40、X1X2点的平移公式平移前的点为P(x, y)2yiyiy222yi. X2(原坐标)P(x,y )(新坐标)，平移向量为k.函数rf(x)的图像按向量 a2y2平移后的对应点uuurPP (h,k),(h,k)平移后的§ 2.3.4、平面向量共线的坐标表示图像的解析式为y k f(x h).ABC的重心坐标为xi X2 x3yi y2 V3§ 2.4.i、平面向量数量积的物理背景及其含义i、a b cos .2、a在b方向上的投影为:a cos知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行 总结归纳.i、直线

41、的方向向量和平面的法向量.直线的方向向量：3、-2 ar 2a .uuu若A B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的uuu一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.i、设 A xi, yi ,B x2, y2 ,C x3, y3，则线段AB中点坐标为空,？，§ 2.5.1 平面几何中的向量方法§ 2.5.2 向量在物理中的应用举例.平面的法向量：r若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n ,如果n，那么向量n叫做平面的法向量.平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系.r设平面的法向量为n （x, y,z）.求出平面内两个不共线

42、向量的坐标rita （&-2,%），b 山）r r r r证 /,只需证u / v ,即证u v .即：两平面平行或重合 = 两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系一线线垂直r r设直线li,l2的方向向量分别是a、b,则要证明r r r rli "只需证明a b,即a b 0 .即：两直线垂直 =两直线的方向向量垂直。线面垂直r（法一）设直线l的方向向量是a ,平面 的法向-23 -根据法向量定义建立方程组r rn a 0 r rn b 0解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.rr rrr量是u ,则要证明l ,只需证明a / u ,即au .r（法二）设

43、直线l的方向向量是a ,平面 内的两r itit ur个相交向量分别为m、n,若a m 0r r ，则 la n 02、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行r r设直线li,l2的方向向量分别是a、b，则要证明li /r r r rl2,只需证明 a / b ,即 a kb（k R）.即：两直线平行或重合 Q 两直线的方向向量共线。线面平行r（法一）设直线l的方向向量是a ,平面 的法向rr r量是u ,则要证明l /,只需证明a u ,即r ra u 0.即：直线与平面平行 Q直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可 以在平面内找一个向量与

44、已知直线的方向向量是共线 向量即可.面面平行若平面的法向量为u,平面的法向量为v,要即：直线与平面垂直 Q 直线的方向向量与平面的法向量共线 0 直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。面面垂直rr若平面 的法向量为u ,平面 的法向量为v,要r r r r证 ，只需证u v ,即证u v 0.即： 两平面垂直 = 两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A, C与B, D分别是a, b上的任意两点，a,b所成的角为 ，uuur uuur AC BD 贝U cosuuU|uuLr.ac|bd|求直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它

45、在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角.r求法：设直线l的方向向量为a ,平面 的法向量为u,直线与平面所成的角为，a与u的夹角为则为的余角或的补角 曲.ftp的余角.即有:sin cosr-a求二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面 角的棱，每个半平面叫做二面角的面点A到平面 的距离若点P为平面 外一点，点 M为平面 内任一点，r平面 的法向量为n ,则P到平面的距离就等于uurrMP在法向量n方向上的投影的绝对值.ruuuir cos； n, MP-33 - / 37uu

46、irMPr uur n MP r uuir n MP二面角的平面角是指在二面角l 的棱上任取一点O ,分别在两个半平面内作射线分别为m、n,再设m、n的夹角为 ，二面角l的平面角为ur r,则二面角为m、n的夹角r uur n MP -r n直线a与平面 之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平 面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化 为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。r uuur n MP一in或其补角根据具体图形确定悬蛙鱼或是钝侬二ir rm n两平行平面之间的距离如果是锐角，则cosurmcos利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平 面间的距离转

47、化为求点面距离。r uiurn MP-rnarccos-or m n异面直线间的距离如果是钝角，则cos即 arccosirmur-rm ncosir r m n trr m nr设向量n与两异面直线a,b都垂直，M a, P b,uuir则两异面直线a,b间的距离d就是MP在向量n方向上投影的绝对值。r uiurn MP-rn5、利用法向量求空间距离点Q到直线J距离若q为直线r外的一点，p在直线上, r uuira为直线的6、三垂线定理及其逆定理方向向量，b = PQ ,则点Q到直线l距离为h 1 j,(|a|lb|)2 (a lb)2|a|三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果它和这个 平

48、面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直.推理模式：PO ,OPAI A a PAa , a OA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 射影垂直.PO ,0推理模式：PAI A a AOa , a AP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.ab 八 csin A ,sin B ,sin C ;2R 2R 2R a:b: c sin A:sin B :sin C.用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素；已知三角形两边和其中一边的对角，求其它 元素。2、余弦定理:2ab22cb22a2a2c2cb22bccos A,2accosB,2ab cosC.cosAb27、三余弦定理设AC是平面 内