2019年重庆高考理科数学试卷及答案解析

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理工农医类)(答案解析)、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分.(1).2.3.4复数1 -i(A)(C)11 .-i2 211 .-i2 2(B)(D)-1 1i解析：选B.234i i i _ -1 -i 11-i - 1 -i-i 1 i 1 -iJ 1 i(2) “x<1” 是 “ x21 A0” 的(A)充分而不必要条件(B)(C)充要条件(D)必要而不充分条件既不充分也不必要条解析：选 A. X2 -1 A0U x>1或，x < -1 ,故 " x <-1 ” 是 “X2-

2、1A0” 的充分而不必要条件(3) 已知 lim 1 2 + ax 7 =2，贝U a =x： l x -13x(A) -6 (B) 2(C) 3(D)6解析：选D.lim2 十空 1 lim -ax-x，1 = 1而"飞一5)"1T°lx-13x J3x(x-1) f 3x -3x二2(4) (1+3xf (其中nWN且a6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n =(A) 6(B)7(C) 8(D)9解析：选Bo (1+3乂加勺通项为十=比(3乂1故x5与x6的系数分别为C；35和C636,令他们相等，得:35n!5! n -5 !6! n -6 !36 ,解得

3、n =7(5)下列区间中，函数f(x) = lg(2 x),在其上为增函数的是(A)(一二,1(B) -1,4一 3-3(C) 0, 2)(D) 1,2)解析：选Do用图像法解决，将y = lgx的图像关于y轴对称得到y = lg(x),再向右平移两个单位，得到y =lg(-(x-2),将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到f(x) = lg(2-x)的图像。由图像，选项中f(x)是增函数的显然只有D(6)若AABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+ b)2 c2 = 4 ,且C = 600,则 ab的值为(A) 4(B) 8-4、.33(C)1(D) |解析：选 Ao 由(a

4、+b)2 c2 =4 得 a2+b2+2ab c2 =4 ,由 C = 60° 得，解得ab=4 23222_a b -c4 -2abcosC =2ab 2ab1 4 .(7)已知a>0, b>0, a+b=2,则y =+4的最小值是 a b(B) 4(D) 5因 为 a+b=2(A) 729(C) 92解 析： 选 C 。1 4a1b4y1y ab.02b 2(8)在圆x2 +y2 -2x-6y=0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC和BD,则四边形ABCD的面积为(A) 5.2(B) 10.2(C) 15立(D) 2072解析：选B ,由题意，AC为直径，

5、设圆心为 F,则FE_L BD,圆的标准方程为2- 23 1 -(x-1 ) +(y-3) =10,故 F (1,3),由止匕，易得：AC =2历，又 kEF =2 ,1+1-325-2= 75,由此得,1-01所以直线BD的万程为y = _1x+1, F至IJBD的距离为 21 .1-BD -2 5 所以四边形 ABCD 的面积为ACBD = 2,5 2 10 =10.2 222(9)图为注的四棱锥S-ABCD勺底面是边长为1的正万形，点S、A、B、C、D 4(A)(C)解析:均在半径为1的同一球面上，则底面 ABCD的中心与顶点S之间的距离为(B)(D) -、2 22选C.设底面中心为G,

6、球心为O,则易得AG=,于是OG= J ,用22.、2 .一个与ABCD所在平面距离等于 注的平面去截球，S便为其中一个父点，此平4面的中心设为 H,贝tj OH =也C = C ,故SH2=12-Y2 =7,故 244、4 ,8SG= JSH2 +HG2 =+整=1V8。(10)设m, k为整数，方程mx2 -kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的根，贝U m+k的最小值为(A) -8(B) 8(C) 12(D) 13解析：选D.设f (x)=mx2-kx + 2,则方程mx2-kx+2 = 0在区间(0,1)内有两f (0)f (1 )A0, . .k,.一一.个不同的根等价于0 0&

7、lt;<1 ,因为"0)=2,所以f(1)=m-k + 2>0 ,故 2mk2 -8m 0抛物线开口向上，于是 m>0, 0<k<2m,令m = 1,则由k2-8mA0,得k之3,- k 3k 5则m> 之一，所以 m至少为2,但k -8m > 0 ,故k至少为5,又m a 之一，2 22 2所以m至少为3,又由m：>k-2 = 5-2,所以m至少为4,依次类推，发现当m=6,k=7时，m,k首次满足所有条件，故m + k的最小值为13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应 位置上。(11)在等差数列an

8、中，a3+a7=37,则 a2+a4+ a6+a8 = 解析:（12）74. a? + a8 = a4 + a6 = a3 + a7 = 37 ,故 a2 + a4+ a6 + a8 = 2 父 37 = 74-CjT TT已知单位向量ci,Cj的夹角为60s ,则2c解析:2Ci - Cjcj -4cUcj =4 1-4 cos6O -3(13)将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为人一 11解析：一 0硬币投掷6次，有三类情况，正面次数比反面次数多；反面次32数比正面次数多；正面次数而后反面次数一样多；，概率为唱125,的概率显然相同，故的概率为161-156

9、 11232（14）已知sin a =- +cosa ,且a匚，0,一，则的值为22sin（：-）4解析：-义一o 由题设条件易得：sin a +cosa =-,故 22.,二、2 .2sin（二-）=sin ”-cos = 二 424cos2- - sin，口 cos：工 Jsin： -cos：=7了，所以cos2：jisin（二-）4(15)设圆C位于抛物线y2=2x与直线x = 3所组成的封闭区域(包含边界)内, 则圆C的半径能取到的最大值为 解析：圾-1。 为使圆C的半径取到最大值，显然圆心应该在 x轴上且与直线 x=3相切，设圆C的半径为r,则圆C的方程为(x + r-3)2 + y

10、2 = r2,将其与y2=2x联立得：x2 +2(r -2)x+9-6r =0 ,令4 = 2(.2)|2 _4(9 6r )=0 ,并由 r a 0,得：r = V6 1三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和清 算步骤(16)(本小题满分13分)设 a w R, f (x )=cosx(asinx -cosx )+cos2 ix| 满足 f(_1)=f ( 0)求函数|熏 11二f(x)在 I, i_4 24上的最大值和最小值2. 2 a .斛析： f x = asinxcosxcos x sin x = sin2x-cos2x二.3. a 1由行一学万十万二一

11、1,解行:a = 2x3因此 f x =、. 3sin2x cos2x =2sin i2x-一 6当小弟时,2x -一 一, 一6 13 2,f(x )为增函数,三 一 3二2x,612 4,f(x)为减函数,所以f(x施& 24JI2又因为f(土)=73, f4生= .224所以f(x )在五号上的最小值为f924(17)(本小题满分13分。(I)小问5分(H)小问8分.)某市公租房房屋位于 A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中：(I )若有2人申请A片区房屋的概率；(n)申请的房屋在片区的个数的 之分

12、布列与期望。解析：(I)所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请C2 228万式有C"22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为4-7(H)亡的所有可能值为1,2,3.又31 .一p =1 =矛=27，p =2 =32 7C32 24 -214_ 2 3C4A34342734 一 9综上知，七的分布列为：12p 工1427271144 65从而有E =123 -27279 27(18)(本小题满分13分。(I)小题6分(H)小题7分。)设 f (x) = x3 +ax2 +bx+1 的导数 f'(x)满足 f'(1 > 2 f H) bM 中常数

13、a,b R.(I)求曲线y = f (x)在点(1, f(1)处的切线方程。(H)设g(x )= f'(x)e«.求函数g(x )的极值。解析：(I)因 f (x )=x3+ax2+bx + 1 ,故 f'(x )=3x2+2ax+b ,令 x=1 ,得 f'(1 )=3 + 2a + b,由已知 f'(1 )=2a ,解得 b = 33又令 x=2,得 f (2)=12+4a+b ,由已知 f (2)=-b,解得 a =、23 o 5因止匕 f (x )=x3 -x2 -3x+1 ,从而 f (1)=-又因为f'(1 )= 2a = -3,故

14、曲线y = f (x).在点(1,f (1)处的切线方程为5)y . j= 3(x1 ),即 6x+2y 1 = 0I 2)'(H)由(I)知，g(x)=(3x2 3x3足f ,从而有 g'(x)=(3x2+9x)eT , 令 g '(x )= 0 ,解得 Xi =0, x2 = 3。当x(f0)时,gx)<0,故g(x )在(血,0 )为减函数，当 XW(0,3)时，gx)A0,故 g(x)在(0,3)为增函数，当xw(3,2)时，gx)<0,故g(x诈(3,收)为减函数，从而函数g(x)在xi = 0处取得极小值g(0)=_3 ,在x2 =3出取得极大值

15、g 3 = iM(19)本小题满分12分，(I)小问5分，(H)小问7分。如图，在四面体 ABCD 中，平面 ABC ± ACD, AB，BC AD =CD ,/ CAD =300(I)若AD=2, AB =2 BC ,求四边形ABCD的体积。(H)若二面角C-AB-D为60°,求异面直线AD与BCT成角的余弦值。解析：(I)如图所示，设F为AC的中点，由于AD=CDW以DU AC.故 由平面 ABC ± ACD ,知 DFL 平面 ABC ,即 DF = ADsin30 =1,AF =ADcos30，=向。在 RtAABC 中，因 AC =2AF = 2« ,AB=2BC,有勾股定理易得 bc= ",ab= 4故四面体ABCD勺体积VSabcLDF.3从而GH BC =EF =a 6 "”3 A3 2555(n)如图所示设 G、H分别为变CD, BD的中点，则FG/AD,GH/BC,从而 /FGH是异面直线AD与BCf成角或其补角。设E为边AB的中点，WJ EFBC由ABLBC知EFLAB,又由(I)有 DF ，平面ABC ,故由三垂线定理知DE ± A