数值计算复习题

1、精品文档2011级电软系数值计算与MATLAB?!复习题一、填空题1.2.1-2 3、方阵A= -531的英范数A.等于7-7 6；下列矩阵是严格对角占优矩阵的是 答案为15答案为A精品文档卜102-3、00-3、02-3、(A)、410-5；(B)、20-5；(C)、21-5；k，二e36 .求方程f(x)=0的根的迭代法中的割线法的迭代公式为较安小f(xk)(xk-xk)答案为：xk41=xk；一；,k=1,2,；f(xk)-f(xj)1007.8.方阵A=0-2-1的好范数A*等于答案为3：。1-2一下面是n阶方阵A=(aj)nM的条件数cond(A)的有答案为|a1A9.设x=-0.0

2、718为x*经过四舍五入得出的近似值，则x的绝对误差约为答案为：x-x*-x104210 .牛顿法xk+=xk-fxj(k=0,1,2,)在f(x)=0的单根x*附近为f(xk)答案：平方收敛b一a11 .将区间a,b划分为n等分，步长h=匕上，分点为xk=a+kh(k=0.1,2,，n),nb则计算定积分ff(x)dx的复合梯形公式为hf(a)23f(xk)f(b)2.k1答案为712.向量X=(1,1,2,3)T的1范数|X|1=13.求常微分方程初值问题dy=f(x,y),y(x0)=y0,xWa,b的向前欧拉公式为dx答案：=ynhf(xn,yn), n = 0,1,xn =x0 +n

3、h.15.设x=-0.0718为x*经过四舍五入得出的近似值，则x的绝对误差约为、1,答案.xx*-x10-o2根据有效数字的定义1mI14x=-0.0718=-0.718M10,，m=1,l=3,x-x*E父10m=父10”22分点为15.将区间a,b划分为n=2m等分，步长h=bE.2mbxk=a+kh(k=0.1,2，2m),则计算定积分f(x)dx的复合辛普森公式为m1m答案：Sn二k4&f(a)+f(b)+2Sf(x2k)十名f(x2k)3.16.求方程f(x)=0的根的迭代法中的牛顿切线法的迭代公式为答案：xk 1. *17.设数xMxk-fxk),k=0,1,2,f(xk)的近似

4、值x=0.x1x2xnM10m,其中xi(i=1,2，n)是0到9之间的任意一个非负整数，且x1#0,n是正整数，m是整数.如果x为x的具有l位有效数字一.*的近似值，那么e=x-x答案：1x10m_L,1ln；218.求常微分方程初值问题dy=f(x,y),y(x)=y,xwa,b的改进的欧拉公式为dxVn4h=yn+hf(xn,yn),答案：行n=yn+&”44,工书)n=0,1,2，；、yn由=-(yn+yn书)J19.已知函数f(x)满足条件f(1)=1,f(3)=2.则f(x)的线性插值多项式L1(x)=答案/3*)二、计算题11.写出下列线性方程组的高斯一赛德尔(Gauss-Sei

5、del)迭代的具体格式。X2x23x3=14,(1)为+5x2+2x3=18,(2)3x1十x2+5x3=20,(3)2.写出求解初值问题dy2x丁= y idxyy(0) =1(0xM0.2)的常用的四阶龙格-库塔方法的具体形式。3 .确定系数A,A0,A1,使求积公式hJf(x)dx比A,f(h)十Af(0)+Af(h)(1)具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。4 .用高斯(Gauss)消元法解该方程组x12x23x3=14,(1)2x15x22x3=18,(2)3x1x25x3=20,(3)5 .已知函数表xf(x) = Tx试用线性插值计算V115的近-,、M2 =

6、max f (x) 0) (n = 2,3,4)的迭代公式y=x2+100y2,x0,0.2的数值解(取 j(0)=。f (1.3) =0.189 0 , f (1.6) =0.147 9 ,试3的一阶导数 f(1), f(1.3), f(1.6)的近答案1.答案：线性方程组的高斯赛德尔(Gauss-Seidel)迭代的具体格式(k 1)Xi(k)-(k)=14-2x2-3x3,(k =0,12 )(k1)1(k1)(k)、Jx2(182Xi2X3),5(k+)1_(k+)(k中)X3=(20-3x1-X2),5hyp=yn:32K22K3K4),62.答案:n=0,1,2;K4=ynhK32

7、(Xnh)ynhK3.解要使求积公式(当f(x)=1时,当f(x)=x时，当f(x)=x2时,1)至少具有2次代数精度，其充分必要条件为h1dx=AAoA=2hhxdx=A(-h)+Ao0+A1h=0,hx2dx=A4(h)2+A002+A1fh2-h2h33A+A0+A=2h即(一Aj+Ai)h=0,解得A=A1=,A0=。代入求积公式(33322h3(AjAjh=1),得hhf(x)dx定一f(h)+4f+f(h)(2)3当f(x)=x3时，求积公式(hh32)的左边=f(x)dx=xdx=0,h、，A(2)式的右边=h(h)3+403+h3=0，左边=右边;3r4hh4x5当f(x)=x

8、时，求积公式(2)的左边二Jf(x)dx=Jxdx=755式的右边=(_h)4+404+h4=，左边右边;33得到求积公式（2）,所以，当求积公式（1）中求积系数取为A1=A=-,A0=4h时,33其代数精度取到最高，此时代数精度为34.解用高斯（Gauss）消元法解该方程组将方程（1）乘以-2加到方程（2）,再将方程（1）乘以-3加到方程（3),得(3)X1+2X2+3X3=14,x2-4x3=-10,-5X2-4X3=-22,将方程（2）乘以5加到方程（3）,得Xi(1)(3)2X23X3=14,X2-4X3=-10,-24X3=72,将方程（3）除以-24,得x12x23x3=14,，X

9、2-4x3-10,、X3=3,将X3=3代入方程(2),(1)(2)(3)得X2=2,在将X2=2,X3=3代入方程（2),得X1=39。5.解(1)X-121L1(x)：100-12110x-100111011故115：L1(115)二121-10010(115-121)21-(X-121)(X-100)11(115-100)=21205575+=。77M20.00025R(x)-2|(x-X0)(x-X1)0)的迭代公式(k=01,2)Xk1n:Xk-a(k=0,1,2)nXk7.解欧拉公式的具体形式为Jyn由=ynxn=nh由X0=0,y0=y(X0)=y(0)=0,h22+h(Xn+1

10、00yn),n=Q1,2=0.1,得22Vi=y0+h(X。+100y2)=0.0000,22、y2=y1+h(x1+100yl)=0.0010。8.解f (1)/(1) =-0.2365-3f(1)4f(1.3)-f(1.6)21.3f(1.6)-f(1)f(1.3)三P(1.3)-0.170221.3f (1.6)三 P (1.6)=f -4 f (1.3) 3f (1.6)二-0.10382 1.3计算得f(1)_p(1)=Lf()=0.03f()3.hf (1.3) -P (1.3)二6f( =0.015f伐),(1,1.6)h2f(1.6)-P(1.6)=f(Z)=0.03f(Z),

11、其中3计算题21 .试列出求解下列方程组的雅可比迭代的具体格式。10x1+乂355x4=-7x1+8x2-3x3=11|3x1+2x2-8x3+乂4=23x1-2x2+2x3+7x4二172 、22 .列出初值问题y=y+2(1x1.2),y(1)=1(取h=0.1)的向前欧拉公式的xJx具体格式。123 .试用基本梯形公式计算积分exdx的近似值，并估计截断误差(其中_一”一、M2=maxf(x)3e)。4 .用牛顿切线法求方程xex1=0在x=0.5附近的一个近似根，使得xk+-xk0.01。10x1-x2-2x3=7.25 .用雅可比迭代求解方程组卜为+10x22x3=8.3(取迭代初值

12、x1(0)=x20)=x30)=0,-x1-x2+5x3=4.2k=1)6 .试用改进欧拉公式求初值问题2xy=y,y(0)=1(0x0.1,步长h=0.1)的数值解，取四位小数计算。y7 .已知函数表试抛物插值计算8.已给出y=用三点公式计算表达式。答案:2.答案:f(x)=x100121144101112115的近似值，并估计截断误差(其中f(x)的数据f=0.2500f(x)在x=1M3=maxf(x)&3.7510-)f(1.3)=0.1890,f(1.6)=0.1479,试处的一阶导数f(1)的近似值,并写出这个近似值的余项(k书)Xi=-1(k)一X3c(k)+5x4-7),10(

13、k书)x21/(k)=-(-Xi+3x3k)+11),*8(k书)x3=-1(-3x1(k)8-2x2k)-x4k)+23),x产1/(k)=一(一Xi+2x2k)-2x3k)+17).71.答案:(k=0,1,2,)。=-0.1x3k)0.5x4k)-0.7,=-0.125x1(k)0.375x3k)1.375,=0.375X1(k)0.25x2k)0.125x4k)-2.875,=-0.1429x1(k)0.2857x2k)-0.2857x3k)2.4286.(k=0,1,2,)。k1)k1)平)、,(k书)Yn2Yn0.1xnxnn=0,1.3.解用基本梯形公式计算，其中1a=1,b=1

14、,f(x)=ex,21exdx2-1st21e1+e2e.e_ee:2.18352由基本梯形公式的余项，得Rt(2-1)3e:二0.6796124.解解：设f(x)=xex1,则f(x)=(x+1)ex,代入牛顿迭代公式得xk1=%-(xkexk-1)/(xk1)exk，xk1=xk-(xk-ek)/(xk1)k012Xk0.50.5710.567取初值x0=0.5,迭代结果得方程xex-1=0在x=0.5附近的一个近似根为0.57,精度到Xk卅-Xk0.01。X1=0.1x20.2x30.725 .解：将方程组改写为x2=0.1x1+0.2x3+0.83x3=0.2x1+0.2x2+0.84

15、据此可建立迭代公式x1(k*)=0.1x2k)+0.2x3k)+0.72，x2k和=0.1x1(k)+0.2x3k)十0.83,k=0,1x3k川=0.2x1(k)+0.2x2k)+0.84设取迭代初值(01 Jo(2X-(x-=0 ,迭代结果见下表k012xik)00.720.971x2k)00.831.07x3k)00.841.156 .解h2xn_2xn1yn.1=yn(yn-)(Yn1-)，n=01,2).2YnYn1也就是x0=0,y0=1,h=0.1ti2x020/当n=0时，k10=y0=1=1,y01k2,0 = y0hk1,0 - 一空一 二1 0.1 10hk1,02 0.

16、11 0.1 1之 0.9182,y(0.1)=y仅12yl=y0+h(k1,0+k2,0)定1+0.1父(1+0.91821.91827.解L2(x)=(x -121)(x -144)(100 -121)(100-144)10. (x-100)(x-144)11.(121 -100)(121 -144)(x-100)(x-121)12(144-121)(144-121)L2(115)=(115 -121)(115-144)(100 -121)(100 -144)10 . (115-100)(115 -144) (121 -100)(121 -144)11 (115-100)(115-121)(144-121)(144 -121)12故115:L2(115)=10.7228R2(x) S3 3!3.75 106-(115 -100)(121 11