人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点

1、第二十一章 一元二次方程21.1一元二次方程1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数一元，并且未知数的最高次数是2二次的方程。形如：例1关于x的方程(m4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m_时，是一元二次方程，当m_时，是一元一次方程.【答案】4，=4【解析】试题分析：根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果.由题意得当m4时，是一元二次方程，当m=4时，是一元一次方程.考点：一元二次方程，一元一次方程点评：熟练掌握各种方程的根本特征是学好数学的根底，很重要，但此类问题往往知识点比拟独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于根底题，难度一般.例2关于x

2、的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为_.【答案】m-1且m2【解析】试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0a0，由a0即可得到m2-m-20，从而得到结果。由题意得m2-m-20，解得m-1且m2.考点：此题考查的是一元二次方程成立的条件点评：解答此题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0a0，尤其注意a0.2、a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。例1一元二次方程3x2-6x+1=0中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是 A3，

3、-6，1 B3，6，1 C3x2,6x，1 D3x2,-6x，1【答案】A【解析】试题解析：3x2-6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1应选A考点：一元二次方程的一般形式例2假设关于x的方程是一元二次方程，那么a满足的条件是 A0 B C D【答案】B【解析】试题分析：此题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0a b c都是常数，且a0根据一元二次方程的定义得出a0即可考点：一元二次方程的定义例3请你写出一个有一根为1的一元二次方程_【答案】x+1x1=0不唯一【解析】试题分析：此题利用因式分解法，保证其中有一个解为x=1就可以考点：

4、一元二次方程的解例4关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围是 【答案】m2【解析】试题解析：由一元二次方程的定义可得m-20，解得m2考点：一元二次方程的定义例5关于x的方程是一元二次方程，那么a=_【答案】3【解析】试题分析：是方程二次项，即，解得：a=3故答案为：3考点：一元二次方程的定义21.2解一元二次方程21.2.1 配方法配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。例1用配方法解一元二次方程x26x4=0，以下变形正确的选项是 Ax62=4+36 Bx62=4+36Cx32=4+9 Dx32=4+9【答案】D【解析】试题分析：此题考查了利用配方法解一元二次方程，一般步骤：

5、第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；第二步：方程两边同时除以二次项系数；第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为x±m2=n的形式；第四步：用直接开平方解变形后的方程解：x26x4=0，移项，得x26x=4，配方，得x32=4+9应选：D考点：解一元二次方程-配方法例2假设把代数式化为的形式，其中为常数，那么 【答案】-3【解析】配方得=，所以m=1，k=-4，那么-3.例3用配方法解方程：【答案】 【解析】 例4用配方法解方程 【答案】 ，【解析】利用配方法求解21.2.2 公式法1. 123，方程无实数根求根公式：例1一元二次方程2x2+3x+1=0

6、的根的情况是 A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D无法确定【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程的根的判别式，可由=9-8=10，可知其有两个不相等的实数根应选A考点：根的判别式例2方程x24x2=0的根的情况是 A两个不相等的实数根 B两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定【答案】A【解析】试题分析：先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，方程有两个不相等的实数根应选答案：A考点：根的判别式例3假设关于x的方程(m1)x22mx(m2)=0有两个不相等的实根，那么m的取值范围是_【答案】m2且m1【解析】试题解析：根据题意列出方程组解之得m2

7、且m1考点：1根的判别式；2一元二次方程的定义21.2.3 因式分解法先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。韦达定理：例1用因式分解法解方程9=x22x+11移项得_；2方程左边化为两个平方差，右边为零得_；3将方程左边分解成两个一次因式之积得_；4分别解这两个一次方程得x1=_,x2=_.【答案】9(x22x+1)=0，32(x1)2=0，(3x+1)(3+x1)=0，4，2【解析】试题分析：根据因式分解法解方程的步骤依次分析即可得到结果.用因式分解法解方程9=x22x+11移项得9(x22x+1

8、)=0；2方程左边化为两个平方差，右边为零得32(x1)2=0；3将方程左边分解成两个一次因式之积得(3x+1)(3+x1)=0；4分别解这两个一次方程得x1=4，x2=2.考点：因式分解法解一元二次方程点评：熟练掌握各种解方程的一般方法是学习数学的根底，因而此类问题在中考中比拟常见，常以填空题、选择题形式出现，属于根底题，难度一般.例2用因式分解法解方程 【答案】 ，【解析】利用因式分解法求解。例3用因式分解法解方程：x2-2x+3=0； 【答案】x1=x2=【解析】试题分析：先根据完全平方公式分解因式，即可解出方程。x2-2x+3=0x-2=0解得x1=x2=.考点：此题考查的是解一元二次

9、方程点评：解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式：21.3实际问题与一元二次方程实际问题要符合实际，看方程的根符合实际吗？不符合要舍去例1一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的选项是 A1001+x=121 B1001x=121 C1001+x2=121 D1001x2=121【答案】C【解析】试题解析：设平均每次提价的百分率为x，根据题意得：1001+x2=121，应选C考点：由实际问题抽象出一元二次方程例2在一次学习交流会上，每两名学生握手一次，经统计共握手253次假设设参加此会的学生为名，根据题意可列方程为 A

10、BC D【答案】D【解析】试题分析：参加此会的学生有x名,那么每名同学需握手x-1次，x名同学一共握手xx-1次，而两名学生握手一次，所以应将重复的握手次数去掉，由此可列出方程xx-1=253，即，故答案选D考点：一元二次方程的应用例3某种 经过四、五月份连续两次降价，每部 由3200元降到2500元。设平均每月降价的百分率为，那么根据题意列出的方程是 .A、 B、C、 D、【答案】A.【解析】试题分析：依题意得：两次降价后的售价为32001-x2=2500.应选：A.考点：由实际问题抽象出一元二次方程.例4某学校准备建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，那么可列方程为： A、xx-10=200 B、2x+2x-10=200C、xx+10=200 D、2x+2x+10=200 【答案】C【解析】试题分析：宽为x米，那么长为x+1米.S=长×宽，即xx+10=200.考点：一元二次方程的应用.例5某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元售出时，每天可销售100件，如果每件提高1元，日销售量就要减少10件，假设使商场投资少，收益大，那么该商品的售出价格定为多少元时，才能使每天获得350元？【答案】2