浅谈数学教学中错误性生成资源的成因及对策

1、浅谈数学教学中错误性生成资源的成因及对策浙江省丽水市莲都区梅山小班 叶永平 邮编：323000【摘 要】：有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，错误是学生思想、经验的真实展示，教师要用一颗“宽容心”去正确对待学生在学习中出现的错误，并巧妙、合理地挖掘“错误”资源，让学生通过自我探索、自我体验等方式，引导学生从纠错中领略成功，使纠错成为一次新的学习。 【关键词】：解题 错误 数学学习从小学到初中，知识本身对学生的要求大幅提高，但学生个体之间在智力发展与学习方法上存在着差异，因而学生在学习过程中，难免会出现种种错误。因此，对错误进行系统的分析是非常重要的：首先教师可以通过错误来发现学生的不足，

2、从而采取相应的补救措施；其次，错误从一个特定的角度揭示了学生掌握知识的过程中出现的问题；最后，错误对于学生来说也是不可或缺的，是学生在学习过程中对所学知识不断尝试的暂时性结果。 一、正视学生解题的错误 在初中数学教学中，教师害怕学生出现解题错误，对错误采取严厉禁止的态度是司空见惯的。在这种惧怕心理支配下，教师只注重教给学生正确的结论，忽视揭示知识形成的过程，害怕因启发学生进行讨论会得出错误的结论。长此以往，学生虽片面接受了正确的知识，但对错误的出现缺乏心理准备，看不出错误或看出错误但改不对，甚而弄不清错误的缘由。持这种态度的教师只关心学生用对知识而忽视学生会用知识。案例1 学习“等腰三角形”后

3、，复习课上，教师发现有一道题很多学生都做错了。问题：如图 1，在ABC中， ABAC，O是ABC内的一点，且OBOC，求证： A OBC。 出示题目后，教师先让学生说说自己的思路 生：因为OBOC，所以A O平分BOC。再由等腰三角形“三线合一”即可证得。 师：用OBOC为什么能说明A O是BOC的平分线？ 生1：（理直气壮地）到角的两边距离相等的点在角的平分线上啊！ 生2：你错把OB、OC当作距离了.我认为，可以取线段BC的中点D，连接OD。由A BA C，进而由等腰三角形“三线合一”的性质即可证得垂直。师：（慢慢地）这个方法很简明啊 生3：（迫不及待地）我觉得他的证法不妥。连接OD，并不代

4、表A、O、D三点共线啊！ （“一石激起千层浪”，学生恍然大悟。） 师：很好！那么如何来证明这三点共线呢？ 生4：可以不用证明三点共线的，延长AO交BC于点D，这样就说明了A、O、D三点是在一条直线上。再利用“ SSS”证明A OBA OC，利用等腰三角形“三线合一”即可证得。 （大家纷纷向生4投去赞赏的目光）师：不错！通过延长AO巧妙地避免了“三点共线”问题。还有其他方法吗？ 分析：此案例中，学生能意识到AO与“三线合一”有关，体现了学生的直觉思维水平，但一些学生把直觉当成已知条件，如未加证明便默认A、O、D三点在一条直线上，或AO平分BOC。因此，教师有必要引导学生明晰直觉与逻辑论证的关系：

5、直觉是发现的先导，解题方向往往产生于直觉，但还需要对直觉进行逻辑论证这样，在教师的宽容、鼓励、引导下，学生的思维火花得以点燃，得到了更多的收获，也增强了学生学习的积极性和自信心。基于上述原因，教师对待错误的惧怕心理和严厉态度转变为承受心理和宽容态度是十分有意义的。因为数学学习实际上是不断地提出假设，修正假设，使学生对数学的认知水平不断复杂化，甚而趋于成熟。从这个意义上说，错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，它只能反映学生在数学学习的某个阶段的水平，而不能代表其最终的实际水平。此外，正是由于这些假设的不断提出与修正，才使学生的能力不断提高。因此，揭示错误是为了尽量减少错误，我们所说的承

6、受与宽容也是相对于这一过程而言的。在教学中给学生展示的这一尝试、修正的过程，是与学生独立解题的过程相吻合的。因而学生在教师教学过程中学到的不仅仅是正确的结论，而且领略了探索、尝试的过程，这对学生知识的完善和能力的提高会产生有益的影响，使学生学会分析，自己发现错误，改正错误。教师只有具备这样的承受心理与宽容态度，才会耐心寻找学生解题错误的原因，并做出适当的处理。  二、初中学生解题错误的原因 学生能顺利正确地解题，表明其在观察、分析问题，提取、运用相应知识的环节上没有受到干扰或者说克服了干扰。在上述环节上不能排除干扰，就会出现解题错误。就初中学生解题错误而言，造成错误的干扰来自以下两方

7、面：一是小学数学的干扰，二是初中数学前后知识的干扰。  1、小学数学的干扰 在初中一开始，学生学习小学数学形成的某些认识会妨碍他们学习代数初步知识，使其产生解题错误。 例如，在小学数学中，解题结果常常是一个确定的数。受此影响，学生在解答下述问题时出现混乱与错误。原题是这样的： 礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前1排多1个座位，第2排有几个座位?第3排呢?设m为第n排的座位数，那么m是多少?求a=20,n=19时，m的值。学生在解答上述问题时，受结果是确定的数的影响，把用n表示m与求m的值混为一谈，暴露出其思考过程受到上述干扰的痕迹。 又有，在小学减法运算中被减数比减数大的认识根深蒂

8、固，记得在初一上学期的一次摸底测试中，有这么一道题：2+23，部分学生一看到“23”这一部分，就说这道题无法完成，殊不知还有运算顺序的问题。 再有，学生习惯有理数的运算，这会对学生学习二次根式的运算产生干扰。如：计算7+3（3）1/2+2（3）1/2，有的学生的结果是12（3）1/2，这显然是错的。 总之，初中开始阶段，学生解题错误的原因常可追溯到小学数学知识对其新学知识的影响。 讲清新学知识的意义(如用字母表示数)、范围(正数、0、负数)、方法(代数和、代数方法) 与旧有知识(具体数字、非负数、加减运算、算术方法)的不同，有助于克服干扰，减少错误。 (二)初中数学前后知识的干扰 随着初中知识

9、的展开，初中数学知识本身也会前后相互干扰。 例如，在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而3-7中7前 面的符号“-”是减号给学生留下了深刻的印象。紧接着学习代数和，又要强调把3-7看成正 3与负7之和，“-”又成了负号。学生不禁产生到底要把“-”看成减号还是负号的困惑。这 个困惑不能很好地消除，学生就会产生运算错误。 又如，了解不等式的解集以及运用不等式基本性质3是不等式教学的一个难点，学生常常 在 这里犯错误，其原因就是受等式的性质2以及方程的解是一个数的干扰 。事实也证明，把不等式的有关内容与等式及方程的相应内容加以比较，使学生理解两者的异同，有助于学生学好不等

10、式的内容。可见对比教学法对学生错误的形成，前后知识的干扰有一定的影响作用。学生在解决简单问题与综合问题时的表现也可以说明这个问题。学生在解答简单问题时，需 要提取、运用的知识少，因而受到知识间的干扰小，产生错误的可能性小；而遇到综合问题 ，在知识的选取、运用上受到的干扰大，容易出错。 总之，这种知识的前后干扰，常常使学生在学习新知识时出现困惑，在解题时选错或用错知识，导致错误的发生。 三、减少初中学生解题错误的方法 由上所述，学生不能顺利正确地完成解题，产生解题错误，表明学生在解题过程中 受到干扰。因此，减少初中解题错误的方法是预防和排除干扰。为此，要抓好课前、课内、 课后三个环节。 （一）课

11、前准备要有预见性 预防错误的发生，是减少初中学生解题错误的主要方法。讲课之前，教师应预测到学生学习本课内容时可能产生的错误，就能够在课内讲解时有意识地指出并加以强调，从而 有效地控制错误的发生。针对对学生容易混淆分式通分与去分母的关系,老师设计了这样一道题:案例2 在“分式”复习课中，有一道简答题目如下：教师让学生在练习本上进行计算，并让生上台板演，生的解答过程如下：解：=2（x1）=1x（这时，台下的学生开始小声议论）教师立即问：生1的解法对吗？如果不对，错在哪儿呢？生2：他“张冠李戴”地把方程变形用在解计算题上了，乘以（x1）（x1）去分母。生2的话音一落，就有部分犯同样错误的学生开始忙于

12、纠正。于是教师“顺水推舟”，“将错就错”地启发学生：刚才很多同学都把分式的化简当作分式方程来解，虽然解法错了，但是给了我们一个启示。若能将该题去掉分母来解，其“解法”确定会简洁明快。因此，我们能否考虑利用方程来解呢？经过学生的思考、讨论，一个新颖的解法就出来了：解：设去分母后，解得所以分析：此案例中，学生理解了“方程变形”和“分式通分”之间的区别，更重要的是教师没有让错误“溜走”，而是发挥出错误应有的价值；将化简转化为议程来求解，引发学生的思维冲突，培养学生的创造性思维。学生犯错的过程本身就是一种尝试、创新的过程，教师要客观、辩证地分析学生的错误，剖析学生“错解”中的合理成分，研究错误的起因与

13、正确方法之间的联系，然后把“错误”及时、合理地加以运用。因此备课时，要仔细研究教科书正文中的关键字眼、例题后的注意、小结与复习中的应该注意的几个问题等，同时还要揣摸学生学习本课内容的心理过程，授业解惑，预先明了学生容易出错之处，防患于未然。如果学生出现问题而未查觉，错误没有得到及时的纠正，则遗患无穷，不仅影响当时的学习，还会影响以后的学习。因此，预见错误并有效防范能够为揭示错误、降低错误打下基础。 (二)课内讲解要有针对性 在课内讲解时，要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。对于容易混淆的概念， 要引导学生用对比的方法，弄清它们的区别和联系。课内条件允许的话，可由个别学生分析解答例题，再由学

14、生订正，教师予以总结。并给学生展示揭示错误、排除错误的手段，使学生会识别错误、改正错误。要通过课堂提问 及时了解学生情况，对学生的错误回答，要分析其原因，进行针对性讲解，利用反面知识巩固正面知识。课堂练习是发现学生错误的另一条途径，出现问题，及时解决。案例3 在教学“解直角三角形”时，教师出示例题：如图3，在四边形ABCD中，A60°，B一D90°， BC2，CD3，贝AB= 。教师首先让学生独立思考并计算，之后，教师将学生解答的各种情况进行整理，主要有以下4种：（1）延长AB、DC相交于点E（如图4所示），将问题转化为含有特殊角的直角三角形，经计算可得AB;（2）部分学生

15、对于需要添加辅助线思路清晰，目的是把四边形转化为三角形，但只想到分割的方法，而连接AC或BD都会破坏已知的特殊角度条件，使思维走入“死胡同”；（3）有些学生想到作辅助线，但方向不明确，盲目尝试如过点B作BEAD，或延长 DC再过点 B作 BECD等，其结果是思维混乱，解题失误；（4）由于题干中给出的不是特殊四边形，一些学生感到束手无策，没有思考的方向。了解了学生的不同情况后，在教学时就有了针对性，这时，可以因人而异，进行分层处理：第（l）类学生不用教就已经会求解问题了，这时教师可以进一步引导他们进行反思、总结，看有无他解，为什么会想到这种作辅助线的方法；第（2）类学生已有图形转化的意识，但是在

16、分割受阻的情况下未能想到用补形的方法，教师可建议这部分学生进行一定的题型训练来提高思维的灵活性；第（3）类学生的图形转化能力欠缺，需要教师的引导和帮助，教师应引导他们思考：其实陌生或复杂的图形一般都可以转化为三角形或特殊四边形来解决，添加辅助线的目的就是转化图形，建立已知和未知的联系；第（4）类学生解题意志力簿弱，轻言放弃，不愿尝试应引导这部分学生理解：此题若能尝试各种辅助线的添加方法，同时具备解直角三角形的知识储备，便不难求解总之，要通过课堂教学，不仅教会学生知识，而且要使学生学会识别对错，知错能改。 (三)课后讲评要有总结性    要认真分析学生作业中的问题，总结出典型错误，加以评述。通过讲评，进行适当的 复习