121任意角三角函数

1、 初中时学习的锐角初中时学习的锐角的正弦、余弦、正切是的正弦、余弦、正切是如何定义的？如何定义的？sinbacACB在RtABC中，costancbcaab你能用直角坐标你能用直角坐标系中角的终边上系中角的终边上点的坐标来表示点的坐标来表示三角函数吗？三角函数吗？ 在直角坐标系中，锐角在直角坐标系中，锐角 的三角函数能用其终的三角函数能用其终边上的点的坐标表示吗？边上的点的坐标表示吗？OxyM),(yxP22|yxOPr记rysin|OPMP=yrxcos|OPOM=xtan|OMMP=xy思考：当点思考：当点P在终边上的位置改变时，上述三个值在终边上的位置改变时，上述三个值会随之改变吗？会随

2、之改变吗？=11sinbrcosartanba对于确定的角对于确定的角，上述三个比值是否随，上述三个比值是否随点点P P在角在角的终边上的位置的改变而改变的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？呢？为什么？ x xy yo oP(P(a，b b) )r rA AB B思考：为了使思考：为了使sinsin，coscos的表示式更的表示式更简单，你认为点简单，你认为点P P的位置选在何处最好？的位置选在何处最好？此时，此时，sinsin，coscos分别等于什么？分别等于什么？sinbcosatanbax xy yo oP(P(a，b b) )在直角坐标系中，以原点在直角坐标系中，以原点O O为圆心

3、，以单为圆心，以单位长度为半径的圆称为位长度为半径的圆称为单位圆单位圆. .对于角对于角的终边上一点的终边上一点P P，要使，要使|OP|=1|OP|=1，点，点P P的位的位置如何确定？置如何确定？ 的终边的终边O Ox xy yP P任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义设设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：那么：（1）y叫做叫做 的的正弦正弦（sine），），记作记作sin ，即，即sin y（2）x叫做叫做 的的余弦余弦（cosine），），记作记作cos ，即，即cos x（3） 叫做叫做 的的正切正切（tangent），

4、），记作记作tan ，即，即tan xyxyOxyP(x，y)正弦、余弦、正切统称为三角函数正弦、余弦、正切统称为三角函数（x0）注意注意： 定义中的点定义中的点P是角的终边与单位圆的交点；是角的终边与单位圆的交点； 检验点是否在单位圆上，只需验证点到圆心检验点是否在单位圆上，只需验证点到圆心的距离是否为的距离是否为1； 正切函数中正切函数中x不为零，即当角的终边在不为零，即当角的终边在y轴上轴上时，正切函数无意义；时，正切函数无意义； 由于角的集合与实数集可以之间建立一一对由于角的集合与实数集可以之间建立一一对应关系，故三角函数是自变量为实数的函数。应关系，故三角函数是自变量为实数的函数。【

5、例【例1】：如图已知角】：如图已知角 的终边与单位圆的交点是的终边与单位圆的交点是 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。)23,21(P解：根据任意角的三角函数定义解：根据任意角的三角函数定义：23sin21cos3tanOxy)23,21(P反思：若已知角反思：若已知角 的终边与单位圆的交点坐标，则可的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。直接利用定义求三角函数值。32OxyP（x，y）M2332sin2132cos332tan反思：若已知角反思：若已知角 的大小，可求出角的大小，可求出角 终边与单位终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。圆的交

6、点，然后再利用定义求三角函数值。32)23,21(P分析：解分析：解RtOMP可得点可得点 ，故，故【例【例2】：求角】：求角 的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。例题：例题：例例1 1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值. .53例例2 2 已知角的终边过点已知角的终边过点P P（3 3，4 4），），求角的正弦、余弦和正切值求角的正弦、余弦和正切值. . O Ox xy yP P（3 3，4 4）【练习【练习】1、已知角、已知角的终边过点的终边过点 ，求角，求角的的三个三角函数值。三个三角函数值。)22,22(P2、求角、求角 的三个三角函数值。的三个三角函数值。673

7、、计算填表：、计算填表：角0/23/22sincostan010-1010-1010无意义无意义0无意义无意义03367tan2367cos2167sin思考思考：已知角：已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、的正弦、余弦和正切值。余弦和正切值。)3, 1(POxy)3, 1(P),(1yxP1MM分析：分析： OMP11POM231sinyy2)3() 1(|22OP21211cosxx313tanxy若若P（x,y）?设角设角的终边上任意一点的坐标为的终边上任意一点的坐标为 ，它与，它与原点原点的距离为的距离为 ，则，则y x ,)0(tancossinxxyrxry结结

8、 论论ryx,知识探究（二）：三角函数符号与公式知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考思考: :当角当角在某个象限时，设其终边在某个象限时，设其终边与单位圆交于点与单位圆交于点P P（x x，y y），根据三角），根据三角函数定义，函数定义，sinsin，coscos，tantan的函的函数值符号是否确定？为什么？数值符号是否确定？为什么？sinycosxtan(0)yxx的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y思考：如果角思考：如果角与与的终边相同，那么的终边相同，那么sinsin与与sinsin有什么关系？有什么关系？coscos与与coscos有有什么关系？什么关系？tan

9、tan与与tantan有什么关系？有什么关系？思考：上述结论表明，终边相同的角的同名思考：上述结论表明，终边相同的角的同名三角函数值相等，如何将这个性质用一组数三角函数值相等，如何将这个性质用一组数学公式表达？学公式表达？公式一：公式一： sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ练习：已知角练习：已知角的终边经过点的终边经过点p(2p(2，3)3)，求角求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。三角函数定义域sinRcosRtan| ,k Z正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切函数值在各个象限的符号符号？k k2 2正弦值正弦值y y对于第一、二象限的角是对于第一、二

10、象限的角是正正的，对于第三、四的，对于第三、四象限的角是象限的角是负负的。的。余弦值余弦值x x 对于第一、四象对于第一、四象限的角是限的角是正正的，对于第二、的，对于第二、三象限的角是三象限的角是负负的。的。正切值正切值 对于第一、三象限的角是对于第一、三象限的角是正正的，的，对于第二、四象限的角是对于第二、四象限的角是负负的。的。xyxyo三角函数三角函数全全为正为正正弦正弦为正为正正切正切为正为正余弦余弦为正为正三角函数值的符号问题三角函数值的符号问题一全正，二正弦，三两切，四余弦一全正，二正弦，三两切，四余弦 例例3 3 求证：当且仅当不等式组求证：当且仅当不等式组 成立时，角成立时，

11、角为第三象限角为第三象限角. . sin0tan05、求下列三角函数值：、求下列三角函数值：例例 4、 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： cos2500 tan3 tan(-672） 4 4s si in n . .6 61 11 1( (3 3) )t ta an n; ;4 49 9( (2 2) )c co os s；1 10 0s si in n1 14 48 80 01 11.求值求值(1) (2)2cossin327sin612122.2.已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2,-3)P(2,-3)，求角，求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。变式

12、变式2.则则 若角的终边过点，且若角的终边过点，且，8P a，3cos5 _a 变式变式1.设角设角 的终边过点的终边过点 ,其中其中 ,则则 .(4 , 3 )Paa0asin323sin13,cos13,tan13132 356课堂练习课堂练习、若、若lg(sintan )有意义，则有意义，则 是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第四象限角第四象限角 C 第一象限角或第四象限角第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或第一或第四象限角或x轴的正半轴轴的正半轴C、已知、已知 的终边过点的终边过点(3a-9,a+2),且且cos0, sin 0,则则a的取值范围是的取值范围是 。-

13、2a 3、若、若 是是第二象限角是是第二象限角,且且|cos( /2)|=- cos( /2),问问 /2是第几象限角？是第几象限角？、 已知已知 是第三象限角，且是第三象限角，且sin( /2)0， 则则( ) A cos( /2)0 C tan( /2)0 D cot( /2)0B 例例5 5 求下列三角函数值求下列三角函数值. .（1 1） ; ;（2 2） ; ;（3 3） ; ;9cos4sin( 2820 )33tan()4tan405sin405cos750511tan45cossin3cossin522(4)(5) mnpqr1、任意角三角函数的定义、任意角三角函数的定义：若已