华大新高考联盟2019届高三1月教学质量测评理科数学

1、华大新高考联盟2019届高三1月教学质量测评理科数学本试题卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足 题目要求的。1 .设i是虚数单位，则复数 z = 1十i2019的共轲复数对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 .设非空集合M , N满足M u N = N ,则（）A . Vx = N , x w M8. Vx更N ,有x正MC.三 x0 弟 M ,有 x0 w ND .三x0 w N ,有 x0 是 M3 .下列说法正确的是（）_ a _b

2、一一 一A . 2 >2是InaAlnb的充要条件B.对于非零a, b,若ab> 0,若a与b的夹角为锐角C.不等式（x2；2（x3）0的解集为xx>32 .D.相关指数R越接近1 ,表木残差平方和越小4.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分 5-1的比值，其比值为-，约为0.618,这一数值也可表本为a = 2cos72,则21 - 2sirf 27 /、 （）a v 4 - a2A. 2B. 11C. 一21D .一4225.已知双曲线Ci :xy4 = （a >0,b >0 ）的两条渐近线所成的锐角为601则双曲线的a

3、 b离心率为（A.空3B. 2C.拽或23D.以上都不对6.已知 a = log0.08 0.04 , b = log0.30.2, c = 0.30.04,则 a , b , c 的大小关系为()A .B.C.D.c b a b a c b c a a b c7.“孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要的定理，又称中国余数定理，最早可见中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，讲的就是关于整除的问题.若正整数N除以正整数 m的余数为n ,则记为N=n（modn）,例则输出如7=2（mod5 ）.下面的问题也是关于整除的问题，执行如图所示的程序框图,的x , y的值

4、分别为（A.B.C.2,3,1,8.的展开式中含有常数项，当 n取最小值时，常数项的值为（A .B.C.D.664555369 .已知 f ( x)= msi n- co/ X m 0, > ) 0 g(x ) = 2tan x ,若对 Vx1 e R ,斗W日：，使得f （Xi产g（X2谑立，若f （x）在区间l0,n,上的值域为1,2,则实数co的取值不可能是（）1A .一22B.一3C. 14D .一3210 .已知抛物线C的方程为x =4y,过焦点F作直线l交抛物线于A, B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点D ,若AB =6,则ED的值为（）A. 2B. 2.2C. 3D.

5、2:3侧视图均为直角三角形，其外接球的表11 .如图，某几何体的三视图如图所示，其俯视图、 面枳为8n，则图中的边长a的值为（A. 1B. .2C. 2D. 2,2en12 .已知函数f （x ）= Inx-2mx + n ,右不等式f（x） 0对乂匚（0,收）恒成立，则一 xm的最大值为（）eA.一4 eB.一 2C. eD. 2e二、填空题：本题共 4小题，每小题5分。213. 已知函数f(x)=x sin x ,右f (t广f(2 31)< 0,则头数t的取值氾围是x -y > 0,M的坐标为.I 14. 已知点 P为不等式<x+y-20 0 ,所表本的可仃域内任息一点

6、，点y > 0(-1,73), o为坐标原点，则OM OP钻曰古*的取大值为OP2215. 已知圆C:(x-6) +y (1)若九=一,则在线段PB上是否存在点 M ,使得AM /平面PCD?若存在，请 确定M点的位置；若不存在，请说明理由.(2)已知PA = 2, AD=1,若异面直线 PA与CD成90。角，二面角B-PC-D的；-余弦值为-9 ,求CD的长.=9,点M的坐标为(2,41过点N (4,0 )作直线l交圆C于A ,B两点，则mA +MB的最小值为3 216. 在 ABC中，内角A, B ,C所对的边分别为a,b, c,且AABC的面积为S=a ,4且b2十c2 -kbc&

7、lt; 0恒成立，则k的最小值为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. (12分)设正项数列an的前n项和为Sn,首项为1,已知对任意的正整数 n, m ,当n >m时，Sn Sm =2mSn”恒成立.(1)求证：数列an是等比数列.(2)设bn =(2n+1 )an ,求数列nn的前n项和.18. (12分)如图，在四棱锥 PABCD中，PA_LAD,底面四边形 ABCD为直角梯形, AD =KBC , AD / BC , /BCD =90) M 为线段 PB上一点.1019. (12分)第7届世界军人运动会将于 2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期

8、10 天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.届时，将有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.为迎接军运会顺利召开， 武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分(满分100分)数据，统计结果如下：组别30,40 )140,50 )150,60 )160,70 )70,80)80,90)190,100)频数5304050452010(1)若此次问卷调查得分整

9、体服从正态分布，用样本来估计总体，设 N ,仃分别为这200人得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值作为代表)，求N ,仃的值(仃的值四舍五入取整数)，并计算P(51<X <93).(2)在(1)的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案： 得分低于N的可以获得1次抽奖机会，得分不低于N的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概为2；抽中价值为3031元的纪念品B的概率为1 .现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，3记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要

10、的总金额.(参考数据：P(N6<X&N + 6 )%0.6827;P(N -26 <X & N +2S 卜 0.9545; P(-36 <X & N +36 卜 0.9973.一一 x2 y2.一、,120. (12分)已知椭圆C :三十22=1(a >b A0)离心率为一，点A, A2分别为椭圆C的 a2 b22左、右顶点，点 F1, F2分别为椭圆C的左、右焦点.过点 F2任作一条不与y轴垂直的直线与椭圆C交于N, N两点，4MNF1的周长为8.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线A1M , A2N交于点D，试判断点D是否在某条定直线 x=t上

11、.若是,求出t的值；若不是，请说明理由.x 1121. (12分)函数f (x =e 1 -ax- (a为常数)的图象与 x轴有唯一公共点 M . e(1)求函数f (x)的单调区间.(2)若a = -2 ,存在不相等的实数x1,x2,满足f (x1)= - f ( x2),证明：x1+ x2< 0 .请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. (10分)选修4-4:极坐标与参数方程已知曲线C1的直角坐标方程为 x2=y,在以原点。为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 P = 2cos 6 .(1)求曲线C1的极坐标方程和曲

12、线 C2的参数方程.(2)已知射线l :y =kx(k>0,x> 0)与曲线C1 , C2的交点分别为 A, B,当OA OB为2时，求k的值.23. (10分)选修4 -5 :不等式选讲已知函数f (x )=|x-2 + xa , f(x)> 6的解集为x xw 0或x6).(1)求a的值.149(2)若f (x )的最小值为t,且两正数m , n满足2m + n = 2t ,求证： .2m n 4华大新高考联盟 2019届高三1月教学质量测评理科数学参考答案和评分标准一、选择题1. A2. B3. D4. C5. C6. B7. B8. C9. A10. C11. C12

13、. D二、填空题13. t10t0214.15.16.三、解答题n 117. (1)令 m = n1, n>2,则 Sn Snl=2 S ,即 an =2n,a1 =2nJ1(n> 2),又a1=1满足上式，故an=2n(nw N* ).(2) bn =(2n +1 )2n,，设 Tn =6 +b2 + + bn,贝UTn =3父20 +5M21 +7x22 + (2n+1 产2n，2Tn =3/2 +5父22 +7父23 + ,+ (2n+1 )以，两式相减得：-Tn =3+2(夕 +22 +23 +2n)_(2n + 1)2n,所以-Tn=3 22 1 -2n41 -2-2n

14、1 2n整理得：Tn =：2n -1 2n 1 n N .18. (1)延长BA, CD交于点E ,连接PE,则PE二平面PCD . 若AM /平面PCD,由平面PBEn平面PCD = PE, 1 一一AM u 平面 PBE，则 AM / PE .由 AD = BC , AD / BC ,3一 PM EA 1则=-，故点M是线段PB上靠近点P的一个三等分点.PB EB 3(2)因为 PA_LAD, PA_LCD , ADflCD = D ,AD u平面ABCD , CD仁平面ABCD ,则PA_L平面ABCD ,以点A为坐标原点，以 AD, AP所在的直线分别为 y轴、z轴,过点A与平面PAD

15、垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，皿C1则 P(0,0,2), D (0,1,0 ), C(t,1,0), Bit,-1,0I八 J则 BC 10,2 -,0i，PC=(t,1,-2),cD=(t,o,o).设平面PBC和平面PCD的法向量分别为n =(X，yi,4 ), % =52，丫2，马iT TIn1 BC =0,y1 2- 1=0,由 n1_LBC, n,_LPC得$1T 即< l 九 Jn1 PC =0,txi yi 必=0,令 X1 =1 ,则 z1=-,故 n- = ll,0, L i. 22同理可求得n2 =(0,2,1 ),解之得t = -2 (负值舍去)

16、，故t = 2 , 所以CD = 2.19.E X )=35 0.025 45 0.15 55 0.2 65 0.25+75X0.225 + 850.1+950.05=65._222D X = 35-650.025 45-650.15 55-650.2+ (65 -65 2 父0.25+ (75-65*0.225 22+ (85-65)父0.1+(95-65)父0.05 = 210 .2由 196<仃 <225,则 14m。m15, 一 2而14.5 =210.25 >210,故仃 '14,则X服从正态分布 N (65,14).P 51 < X ： 93 =P

17、7 -： X ：二2。P(.L-2。：二 X二+2二 P 1 -< X ：二二0.9545 0.6827 八八=0.8186._1(2)显然，P(X)=P(X所有Y的取值为：15,30, 45, 60.1 2P Y =15 =2 31P Y=30 =2-、，1P Y=45 =23 2 3 3 18'2 1112Y15304560P172131891818918”2 - 1”+ 45M + 60 父=30 .总费用为:200x30=6000.1 1 1P Y -60 =2 3 3Y的分布列为20.由4MNF1的周长为8得：4a =8,即a =2.由离心率e=c=，知目=?,故bE

18、Y =1530 一 18=3.a 2 a 42所以椭圆的方程为 422(3)设 MN :x =，3y+1(九三 R ),与椭圆 C:二+L = 143联立得：(3?2 +4)y2 +629=0,由韦达定理得:6'%一日？y1 72 二一3 2 4直线 A1M : y = y1(x+2 )与 A2N : y =y(x2 x1 2x2 - 2联立得：xMyiiW n, y2Xi 71%2 yi y2将xi = Z yi +1 , x2 =九y2 +1代入整理得：4 yiy2 6y2-2yi 4“丫2-2乂 y2 8y23y2 yiY2 Yi2y2x =-=一 一 一 一 一 24 -9 -

19、2 -6' 8y2 3'4一 一 一 2-6 - 2y2 3 -4即直线AM与A2N的交点D的横坐标为4,故点D在直线x = 4上，所以t =4 .2i.函数f(x )的定义域为R,且f(0) = 0,由题意可知，曲线 f(x)与x轴存在公共点 M(0,0),又f '(x户ex-a ,若 a00, f'(x)A0, f(x)单调递增;若 a>0,由 f'(x ) = 0 得 x = i + ln a,当 xw(_oo,ia)时，f'(x)<0, f (x )单调递减;当 xw(i+lna,g )时，f'(x)>0, f(

20、x)单调递增.i当i+lna=0,即2=，时，ef(x)的极小值为f (0) = 0,曲线f (x)与x轴只有一个公共点，符合题意；I当i+lna>0,即a >一时， e由基本结论“ x>0时，ex >x2"，a+2>an a知 f (a +2 )=ea+ -a(a +2 )1 >(a+i 2 -a2 -2a-i = 0 . e又 f (i +lna)<f (0) = 0.由零点存在定理知，此时的函数f (x 口区间(1+lna,a+2)有一个零点,则f (X卢x轴有两个公共点，与条件不符，舍去;1当 1+lna<0,即 0<a&

21、lt;一 时， e1ae -1设 m(a)=1+lna+, m(a)=-2<0, aea e=1 A0,即 1+lna>工，f 1 - Le -1- Il-1 = e-ae_1 >0.ae aeae e又 f (1+lna)<f (0) = 0.由零点存在定理知，此时函数f(x府区间'-,1 +ln a i有一个零点， ,ae则f (x卢x轴有两个公共点，与条件不符，舍去；1.综上所述，a=时，f(x)的单调递增区间为(0,), e单调递减区间为(-8,0卜当a00时，f(x )单调递增区间为(*,&),无单调递减区间.1(2) a=2 时，f(x) =

22、 e +2x,e由f (%尸f "2 )得x 11X -11ex2x1 -二- ex22x2 -ee所以 2x 十2x2 十(ey +ex" ) 2 =0, e由基本不等式知2(x1 +x2 )+2行于尸2 <0 , e.xL_xL 11即 e 2+(x1 + x2 )-一 < 0 ,ex1 x2ICD"（。），而f （x用（_g,依）单调递增，故 x ；x2 <0,所以x1 +x2 co.,22. 一 _2 .22. （1）由 x = y 得（PcosS）= PsinO ,即 Pcos 0 =sin 0 ,所以曲线C1的极坐标方程为 Pcos2 9 = sin 6 ；由 P =2cos8 得 P