最短路径问题13章

1、智考一对一教育 学科辅导讲义学生姓名姜宇珂教师姓名张彦缺班主任上课日期时间段年级初二课时2教学内容13.4 最短路径问题教学目标能利用轴对称、平移等变化解决最短路问题。教学重点利用轴对称将问题化成两点之间线段最短问题。教学难点在实际问题中会运用最短路径问题。教学过程知识详解复习导入问题：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的海边L饮马，然后到B地。到河边什么地方饮马可使他所走路线最短？【知识点一】两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最

2、小。 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.）【知识点二】两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小作点A关于直线“街道”的对称点A，然后连接AB，交“街道”于点C，则点C就是所求的点 【知识点三】一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A关于OM，ON的对称点A，A；连接A，A，分别交OM，ON于点B、点

3、C，则点B、点C即为所求 分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小、一点在两相交直线内部 【知识点四】 两点在两条相交线的内部例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。 作法：1.作点C关于直线OA 的对称点点F, 2.作点D关于直线OB的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短思考：1.作点C关于直线OB 的对称点点F, 2.作点D关于直线OA的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+D

4、H最短 典型例题 1如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A4B5C6D72如图，在ABC中，AB=AC，AD、CE是ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）ABCBCECADDAC3在平面直角坐标系中，点A（4，-2），B（0，2），C（a，-a），a为实数，当ABC的周长最小时，a的值是（）A-1B0C1D 24如图，某河的同侧有A，B两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为AC=2km，BD=3km，这两条小路相距5km现要在河边建立一个抽水站，把

5、水送到A，B两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）A距C点1km处B距C点2km处C距C点3km处DCD的中点处 5已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（）ABCD 6已知点P（0，1），Q（5，4），点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为（）A（0，0）B（1，0）C（3，0）D（5，0） 7如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（）ABCD8如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂

6、直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短可为（）A12cmB10cmC7cmD5cm 9如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点则CE+EF的最小值为（）10如图，点P是AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则AOB的度数是（）A25°B30°C35°D40° 11如图，直线l外不重合

7、的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：作点B关于直线l的对称点B；连接AB与直线l相交于点C，则点C为所求作的点在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A转化思想B三角形的两边之和大于第三边C两点之间，线段最短D三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 拓展知识1、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短