计算物理第三章

1、1。罗在计算中的应用一、一维平均值法bL y Mg( y)dy,a作变换： y = a + (b - a)x,g = L + (M - L)h1(b - a)L + (b - a)(M - L)h(a + (b - a)x)dx0f (x)2标准：1I =f (x)dx,0 f (x) 10（1）直接抽样法：在x的定义域0, 1上均匀随机取点，该均匀分布的随量记为 x定义随量为：= f ()则有：= 1nn= 1nni=1i=1I = E = lim I,hf (x )Inniin3因此，只要抽取足够多的随机点，即 n足够大时，In 就是无偏估计值。I 的一个相应的方差为：1h = f (x)

2、 - I dx2V0可见，当f (x)在其定义域内变化较大时，方差较大。（2）重要抽样法：当f (x)在其定义域内有显著的起伏变化时，可采用重要抽样法。411I = f (x) / g(x)g(x)dx =f *(x)g(x)dx00偏倚分布密度函数适当选取偏倚分布密度函数，使得f *(x)在定义域内变化平坦。产生0, 1区间分布密度函数为 g(x)的随量，定义：h =f *(x )则有：1nn1nnh = f (I = Eh = lim I I =x )*,niinni=i=115相应的方差：1Vh = f *(x) - I 2 g(x)dx01= f 2 (x) / g(x)dx - I

3、20罗计算结果的方差为：= V/ n直接抽样重要抽样s 2hV/ n6二、平均值法111 标准形式：I =0 f (x) 1s )f (x)dx1dx2 Ldxs ,L000x = (实际物理中，被积函数在超立方体的区域里可能强烈地变化。若在区域内均匀抽样，贡献可能主要来自少数仅仅只有几个蒙特卡罗投点的小区域，从而导致很大的统计误差。故采用：重要抽样法随机点地投在f (x) 取值大的区间。7选取偏倚分布密度函数g(x) ，并定义r=f (rx)grx（) 要求：方差较小）(x *)f/(有：fx*(xr)gd(xr)111 I =dxLdxL12s000x 1i,( i =按照偏倚分布密度函数

4、g 0(x)在L1,s区域,抽)取N个子样=i 1i,2 L)xis,L,2,N,则，N= 1 rx )*(If的近似值NiNi=18三、一维的掷点法1I =0 f (x) 1f x()d x,一维：0y 1,f (x)h( x,y =)定义：0 ,yf( x )11= x h(则I有：y ,)dxdy00M的有M个，则I/N在正方形内投N个点，落在曲线f (x下)，y9证明：所以掷点法的误差比平均值法的误差大。102。事例产生器在核及粒子物理研究中，需要进行微分截面或全截面的理论 实验结果对比。，并与? 实验装置复杂，相空间的?几乎不可能? 考虑到探测器的效率，必须引入各种随机统计的效应洛事

5、例产生器 一个随机产生“非”事例的模拟程序 非11，指末态粒子的四动量是按照精确的微分截面来产生微分截面ds = ds (x)dxx 表示张开相空间的运动学变量dx洛理论，总截面s = ds根据的洛估计值为Ni=1dsdxs = 1x) (dxiN均匀分布的随机矢量12 的特性n 当 N 很大时，收敛于 的期望值等于当 N 足够大时，s 是服从正态分布的1nn 2dss 的标准误差为nV dx (x)/ N增加 N减小 s 的标准误差ds减小函数的方差 更为有效(x)dx13（1）分层抽样法随机地选取一个子空间在这个子空间内随机地抽取一个事例样本，并计算该事例的权重 w 该事例参数的微分截面值

6、与该子空间内的最大微分截面值的比值I.II.选择事例：取0，1上均匀分布随机数，如果 w，III.采用该事例被接受，反之，该事例被舍弃重复上面I. III. 直至获得所需的事例数IV.14实际应用中的，2s = Tr dv空间过程矩阵元15，（2）重要抽样法dsds找出一个与被积微分截面函数的近似表(x) ，(x)I.dxdsdx在相空间内值结构可积，且与的精确表有相同的峰(x)dx根据该近似表的分布，随机抽取事例样本重 w 该事例对应的精确截面值与对应的近II.III.对产生的事例似截面值的比值采用抽取非权重事例：取0，1区间上均匀分布随机数，IV.若 w/wmax ，则接受该事例，反之，则

7、舍弃该事例重复II. IV. 过程，直至获得所需数量的事例数V.16实际应用中的?不具有通用性?当矩阵元平方的峰值特性复杂时，难于得到精确结果叠加原理将精确微分截面 ds 分成 N 个ds i 的迭加。每个ds i 有它的峰值结构特性。对每个 ds i 编写按上述步骤产生事例的子产生器程序17一i= ds i权重wd ii总截面值NNi=1s= w ss =ds =ds i=wdsiiii=1s以近似微分截面分布的事例的权重因子 w 的平均值diiNi=1s =s, s =ds(i = 1,2L,N )其中iii18事例产生器的效率wE =wmax19w ：选择在0，1区间上的均匀分布随机数，

8、满足不等式i-1 s jis js sj =1j =1的 i 值，然后按照 di 分布产生事例的权重因子 w 的平均值3。在粒子物理碰撞过程中的应用对撞过程：1.直线对撞机对撞机2.动力学部分：矩阵元运动学部分：相空间微扰计算罗产生过程： a + b 1+ 2 +L+ n相空间体积元：d 4 pnn(P - pi )i dFn (P, p1,L pn ) = (24(4)0( pi- m )22)( pi )(2p )3ii=1i=120因子化：1dF (P, p ,L, p ) =dQ2dF (Q, p ,L, p )dF(P, Q, p,L, p )n- j +1j +1n1nj1jn2j

9、Q = pii =1P p1 + p2 +L+ pn即：因子化P Q + p j +1 +L+ pn（相空间产生的理论基础）p1 + p2 +L+ p j21反复利用因子化，有1F(=LdM 2F(nF(2n-1dP,p,L,p) dMd)2d)Ln1nn-2222(2)iqi = p jj =1其中：F2 (i) =Fd2 (qi , qi-1 , pi ),d=,2m+ (+L(M -2)2i2M2Mqm)mi +1i+ 1i1ii运动学上已知：在qi 的静止系中，有M(l2, M22,m)12pF(q ,i-1i dj(qdcos=p)(idq ,)i-12iiii2 )8M 2i22其

10、中：l(x, y, z) = x2 + y2 + z 2 - 2xy - 2 yz - 2zx相空间产生步骤：（1）首先，取i = n, q = P, M=；q2iii（2） 做Lorentz变换到 qi 静止系；（3） 产生0,1区间上的两个均匀分布的随机数xi1 ,xi 2 并取ji = 2pxi1,cosqi = xi 223（4）若 i 3 ，产生均匀分布的随机数 i3 ，取= (m1 +L+ mi-1 ) + xi3(Mi - m1 -L- mi )Mi-1（5）取 pi的球坐标为(M 2 , M 2 , m2 )r ii-1i,q ,j| p |=iii2Mi由此得到rrr+M 2

11、 , - pr)p = (q| p |+m , p ),= (222| p |i-1i-1iiiiii（6）做Lorentz逆变换，变换到原来的参考系；（7）将 i 置为i -1，重复上述步骤，至 i =1 。244。高能物理实验中洛的应用一、实验设计中的洛的应用研究的物理过程、本底、判选条件、探测器性能、装置中各个探测器的设计安排（1）实验装置性能的研究、例如带电粒子动量 p粒子电荷(GeV / c)BZ rp = 3 10 -2磁场强度径迹曲率25终态粒子的物理参数（能量、动量、运动方向、粒子种类）l 利用洛的计算确定各种效应的数值产生粒子的动量 p 的数值和方向跟踪该粒子穿过探测装置的径

12、迹每当粒子穿过探测器中的一小段薄层物质时，根据随机多重 散射的规律多次散射偏转角的分布密度函数 f (空间 )抽样，对粒子的运动方向进行26q 21空间)dW exp-dWf ( 近似高斯分布空间pq 2q 200 L20GeV / cL1q0 =1+logZ10xp b9x00介质的特征值（介质辐射长度）速度根据以上公式可以抽样得到该粒子穿过这一后的偏转角空间再算出在下一个小薄层终点处的坐标参数xi，利用得到的一系列x， 算出粒子的动量估计值，同粒子入射的动量值比较，就可以得到探测装置的动量分辨率27多次散射的角度均方根，x按方差为2 的高斯分布 N ( xi , 2) 作模糊处理提高磁场强

13、度重新安排探测器以测量的空间坐标参数如果模拟某个探测装置的动量分辨率很大减小装置中材料的密度在对实验装置进行设计的阶段，需要对探测器做大量的模拟研究，以了解该装置中各个探测器的响应，并进一步项指标的要求以及探测器的安排和设计是否合理该装置是否满足各28（2）实验方案可行性研究实验装置能否实现对理论或假说的检验是很必要的！l 利用某实验装置一个振态的自旋0 粒子的衰变产物在静止系中的角分布各向同性1 末态粒子在静止系中的角分布正比于cos2spin采用100个“实验”实现衰变过程，每个实验30个事例模拟衰变过程时，按照自旋为1来模拟末态粒子的产生分析模拟实验数值，如果有好几个数值与自旋为0的数值

14、一致增加事例数装置的角分辨率29共振态为0或1的能力。二、实验数据分析中的洛模拟的应用在高能物理实验中，常常用一些大型、复杂的分析实。靠性，可以采用输入一些已知数据格式的数据，以检验该程序能否总是地重建输入数据l 粒子与固定靶相互作用试验装置通过产生次级粒子径迹考虑到径迹上粒子与各种物质的多重散射估计出该实验考虑计数器的探测效率而引起的丢失产生一些本底污染过程的事例径迹将输入的事例径迹参数和模拟所得径迹参数比较30 通过的实验数据分析，还可以检验理论的正确与否l 胶子的与否，30GeV之一e+e- g qq ，夸克和反夸克碎裂后成为。TASSO Collaboration 的实验数据与按此机制

15、绘制的算曲e+ e- g qqg线不相符。但是我们加上过程，得到的！算曲线则与实验点符合的很好，证明了胶子的31在粒子物理实验中，洛程序可以根据过程的理论规律，产 生出主过程和本底过程事例，由此给出末态粒子的所有径迹参数， 由此计算出探测装置的探测效率和本底对全截面测量的影响101TASSO CollaborationNe+e- g qq100e+e-e+e- qqg + qq10-110-20.40.81.2(GeV / c)2Tinl 寻找共振态的数据分析 寻找不变质量谱上的明显峰值共振态短，探测装置的分辨率有限本底过程对主过程严重污染共振态衰变为某几个粒子的分支比很小主过程末态也有相同的

16、粒子利用洛模拟分析，产生出与实验相同的事例数。这样模拟100次，绘出不变质量谱。在所有的不变质量谱图（真实实验的不变质量分布图）中选出5张最有可能共振峰的图。如果这5张中真实实验的不变质量谱，则：在95%的置信水平上，实验数据包含了共振峰的，不变质量谱上模糊的峰形不是由于统计涨落引起的！33实验的不变质量分布图上往往峰的形状并不明显345。在量子力学中的应用一、量子力学HY( xr, t ) = ih Y( x, t ) 方程t定义： rirrrDF (x, t; x0 , t0 ) =exp-H (t - t0 ) x0xh量子力学的基本理论告诉我们，系统的所有信息，基态、激发态的能量、波函

17、数等均可由以很方便的得到。子给出。特别是和基态有关的信息，可35例如，基态波函数的模方可以表示为r-1 rrrrr +|y 0 (x) | = limD (x,-it ; x,0)it ; x,0)d x D (x,-23FFt+-子可以表达为路径的形式，对于简单系统，即pr 2rH=T+V=V ( + x)2m有： ix , rt )x rrD)rt = (x exStpt(D,;x()F00 h其中，1SxrL(d)t =rrtt&t d=t( x) -2mt( )V)xt作用量 2tt0036二、路径量子罗， iN -1N(rr3 redxp x m)=ND(x, F t;x,0t)0l

18、imAj0n=1 j =1= (t - t0 ) / N常数时N+，N。 1r&rtt -2dtm (x)(V( )x)t 2t037取：t = -i= 0 ，有,t0(xr - xrN -1)2N1hrr3 rr d x jDF (x,-it ; x0 ,0) = lim A+ eexp-N- nn21mV (x )n0n=1 j =1e = t / NN + 时eE(xr , xr ,L,)01+ V (x(t)1&2dtmx(t) 2038由此得到基态波函数：N -1 r3 r0 (x) | = Z d x j- 12|j =1其中N -1 3rrx=d3Zdjxj =1d函数，得到：r

19、 ehN -1rrrr0 dd) =| xx |y 0(- 1dZ(-233xjx)x0j =139采用Metropolis计算基态波函数：xN = x0，N一，相应的能E量(,。x)然后，再接着选一系列路径，每条N路径与前一条路径最多只有一个时刻（例如 t j）有不同的空间点。采用来确定满足上述要求的新路径。其中，将随机定下的坐Metropolis标 x j 改变到 xj 的过渡概率为miwnjj-eexDpE(=1,。其中，D)E 为两x( - 0x)条路径的能量差。对于每一条路径，利用前述公式计算被积函数的估计值，并累加到中。最终该求和所得的值与抽样路径的总数相除得到平均值，就得到 |y

20、 (xr) |2的数值结果。按上述，游走足够0y ( xr )2的|多的步数后，我们就得到|值。040三、变分量子罗对于任意的试探函数y ，其能量期望值满足(yx ) y|r2yx - 1(rH )r x( 3 r d)yyH |x=H= y= E0Etryr )23ry| yx(d|x基态能量“局域能量”对于Etry产生|，的计算，采用重要抽样法。当给定试探函数后，由Metropolisy( xr )2分|布的 N 个位形。对于每一个位形，计算出相应的局41N i=1则：Etry/ Ni（1）选择一个物理上相对合理的基态试探波函数y i ；（2）利用前述计算与之相应的能量期望值 E (i )

21、 ；try（3）改变试探函数中的变分参数值，使得试探函数改变一小量，记改变(i+后的试探函数为，并计算相应的能量期望值1)；Ei+1try= E (i+1) - E (i )（4）计算能量改变值 DE，若改变量小于0，则接受试i+1trytry探函数的改变，否则拒绝，并回到第三步；（5）反复循环，直至能量期望值不再有明显变化为止。42若上述循环至第 M 次终止，则y My 0E ( M )Etry0四、函数量子罗r (x, t) = a 2r (x, t)一维扩散方程：tt 2y) /(4at)/4pat相应的函数：G (x, y;t) = exp- (x -2043函数归一，且与 x, t

22、无关。dyG (x, y;t) = 10扩散方程过程G0 (x, y; Dt)TDt ( y x)（函数）（单步游走的概率分布）x(t + Dt) = x(t) +hDtN (0,2a ) 分布44r (x, t) = 1 )- Fx(Fokker-Planck方程：( x, t)t 2 x x力相应的函数：expF ( y)Dt / 2)2 /(2Dt)1G (x, y; Dt) =(xy02pDt（ Dt 的一阶近似）构造链x(t + Dt) = x(t) + DtF (x(t) / 2 +DtN (0,1)453N体定态方程的基态解扩散方程的定态解方程（取 h = m = 1）：虚时)

23、= T + V (R) - E Y(R,- Y(R, ) = H - ErrrY(R,)tTT（具有势函数的扩散方程）括散项分支项函数：r tR exp-(H - E )t RG(R, R ; ) =T（借用Dirac记号）46上述的元，即函数正是量子力学中的时间演化算符在坐标表象下的矩阵 子。tf)nexp- H(- En当+，或者说足够大时，上式右边的求和中只有基态才有贡献，这个算符（时间演化算符）行为就如同作用在基态波函数上。计算函数，得到expV-R=t(-T E)t, G ;DR )D)(R(rr1D/( t2 +t O-( R- )R) D22 exp()(2p Dt3N)/247

24、上面给出的是函数的短时间近似结果。根据此结果，我们在函数罗模拟中，就必须进行大量的短时间间隔的游走，最终使其分扩散步分支步由 R 游走到 R 的权重需ex乘p因子模拟效率不高。-) T /Dt2E，)+ V( RV( - R(Reynolds486。在统计力学中的应用物理量的观测值微观粒子的某物理量在相空间的分布的平均值相空间态矢= Z -1 A(xr) f (H (xr)dxrA(T )热力学平衡状态下（恒温T）：W观测量Hamilton量分布密度函数=f ( H ( r x )r 配d 分x函数WZ49上述公式涉及的是型等极少数类型的。只气体、谐振子系统、Ising模可以求解。大多数情况下

25、，只能借助近似方罗Nr+mF(r正则系综H，=2p/2)xiii=1除掉动量以外的其它的相空间坐标当粒子间的相互作用与动量无关时，动能项的贡献是可以被掉的，这相当于将Hamilton量中的动能项去掉。则，平衡态下的概率分布为Boltzmann分布。50Boltzmann分布密度函数为：=dexxpr(Frx )-Z/k(T)B可见，所有对应于大能量值的状态 x 对观测量随机选择（均匀抽样）n 个状态 xi ，则有的贡献都很小。nA(rx ) f (F(xr)iiA (T) i=1nr(fi=1F(xi)51由于上式中大部分状态对求和的贡献是很小的，故抽样的效率是比较低 下的。为有效的进行计算，应采用重要抽样法。用Metropolis产生Boltzmann分布的 n个状态 xi，则nA (T) 1 A (r x)ini=1527。在粒子输运中的应用一、直接模拟法s = (x, E, cos中子的状态位形：中子在物质层中的运动历史：)s0 s1 s2 L sM?= (xi-1,Ei-1, cosqi-1 )si = (xi ,Ei , cosqi )si-10, 1区间上均（1）确定坐标参数 x 。