正余弦定理的运用测试题

1、AC 2 =x 2 (30_x)22x ( 30-x ) cos120正余弦定理的应用-同步分层能力测试题A组一填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40 分)1.某人朝正东方向走了 x km后，向左转150°后，再向前走了 3 km，结果他离出发点恰好.3 km，那么x=。1 3 或 23. 提示：由余弦定理知3=x2+32-6xcos30°,解得 x= . 3 或 2 . 3 .2.在 ABC 中，已知 2sinAcosB=sinC,那么 ABC 的形状是三角形。2.等腰。提示：由 2sinAcosB=sinC,知 2sinAcosB=sin(A+B),/ 2sinAc

2、osB=sinAcosB+cosAsinB.即中漂行，此时，风向是北偏东300，风速是20 km/h ; 水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方 向为北偏东 ， 大小为km/h.5.60，20 . 3。提示：解法一：如图 1, / AOB=60由余弦 定理知 0C=202+202-800cos120 0=1200,故OC=20 3解法二：实质求|OA OB | ,平方即可。图16.把一 30厘米的木条锯成两段，分别做钝角三角行0ABC 的两边 AB 和 BC，且/ ABC=120，AB=时，才能使第三条边 AC最短。6. 15.提示：在厶 ABD 中

3、，设 AB=x (0< x< 30) 由余弦定理，得cosAsinB-sinAcosB=0. / sin(B-A)=0，/ B=A.3一飞机沿水平方向飞行，在位置 A处测得正前 下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行了 10000 米，到达位置B时测得正前下方地面目标 C的俯角 为75 °，这时飞机与地面目标的距离为米.2 2=900-30x+x= ( x 15)+675，所以 把AB锯成15厘米时第三条边 AC最短7.在厶ABC中，边a，b，c的对角分别为 A、B、s 2 A s 2C-siAs C=s 2 Bn。 i10000 xsin450si n300得

4、 x= 5000、2 .3 .5000、2 。提示：由正弦定理得4.在平行四边形 ABCD中，已知AB=1，AD=2，AB AD =1，则 | AC | =则角B=。JI7.提示：由正弦定理可设3a b c”,lxl.s i An Bs i n C sinabcsin A,sin B ,sin C .kkk2 2 2代入已知式，可得 a c - b 二ac，AB AD =| AB | | AD |cosA =1由 余 弦 定 理1cosA=,A=600.故 B=1200。由余弦定理知：2AC2=12+22-4cos1200 =7,5 .在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生 故障停止转动，失

5、去动力的救生艇在洪水2 2,2 .r a 十c bac1cos B =2ac2ac 2n二 B =.38 .如图2,在四边形ABCD中,已知AD_CD, AD=10,AB=14, . BDA=60,. BCD=135 ,_则 BC=。8.8.2。提示：在 ABD中，设 BD=x则BA* 2 * 4 =BD2 AD2 - 2BD AD cos BDA-b22acc2-b2b2222。即 14 =x 10 -2 10x cos60 ,图2整理得：x2 - 10x - 96 = 0 ,解之：a csin AsinCA是直角=sinca =sin Cc = asin Cx1 =16 , x2 = -6

6、 (舍去)BC由正弦定理：sin ZCDBBDsin BCDBC*. sin 30 =8.2。sin 135二解答题（本大题共4小题，共54分）9 .在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15 °方向把球击岀，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的 4倍，问按这样布置，游击手能否接着球？解.如图3:设接球点为B，O为守垒，A为游击手出发点OB_ ABsi n OAB"sin15 'si n OABOB sin15AB6 - 21,vt44故不能接着球.图310.在ABC中，b=asinC 且 c=asin(90 

7、6;-B)，判定 ABC的形状。解c=asin(90 0-B)=acosB=由条件b = a sin C=b = c综上得 ABC是等腰直角三角形。11.平面内三个力F1，F2，F3作用于同丄点 o且处于平衡状态，已知F1，F2的大小分别为1kg,sn F1OF丿尸竺FFQ|OF |i*I!/ZF 1OF=30 从而 F1与F3的夹角为150°答：F3的大小是(、.3+1)kg,Fi与F3的夹角为150°从而tan B =sin B cosB12.在.ABC 中,ZA、乙B、乙C所对的边说明求.A的关键是利用余弦定理的变式:长分别为a、b、c ,设a、b、c满足条件b2 c

8、2 -bc = a2 和,3，求 / A 和 b 2tan B的值。解法一： 由 余弦定理2_a2 2 2cosA=c a 。另外，在三角形中内角和为2bc180°也是常用的一个结论。备选题：1. 为了测河宽，在一岸边选定两点A和B，望对岸2bc的标识物C,测得ZCAB=45 0Z CBA=75因此，/ A =60 在厶 ABC 中，/ C=180 -Z A-Z B=120。一/ B.由已知条件，应用正弦定理sinC _ sin(120 - B)sin B sin BAB=120米，则河宽=。1.60+20、3.提示：把AB看成河岸，要求的河宽就是C到AB的距离，也就是二ABC的边A

9、B上的咼。在_A B C中，有正弦定理，得02 sin60sin Bsin120 cosB-cos120 sinB =仝cot齢催啤=心 6(米)。2 :解得 cotB =2,从而 tan B = 1 2解法二：由 余弦 定理2 2 2. b+c a1c A -s2bc2设河宽为 h=BCsin75 0 =406 x- 6 2 =60+20 . 3 42.在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为()2 =1 & -c1113 33bbb42 a、15所以=b2由正弦定理b231sin Bsin A =15a25得由式知a b,故Z B< Z A，因此Z B为锐a,b, c，已知

10、a = 2(1)求b的值；cosB(2)方法 1 :2 ,2 小 a +b -c cosC 二-2ab因此， A =60 ，由 b2 c2 be = a2，15(2)求 sinC 的值.4222解：(1)由余弦定理，b二a c - 2accosB，得 b2 = 2232 - 2 2 3 - =10，4由余弦定理，得4 10-9 _2 2 10 8角，于是cos B1 -si n2- C是ABC的内角,二 sin C = 1方法2: v cosB ，且B是二ABC的内42 2,2cosC=7(2x)一42 7 2x角，二 sin B = 1 - cos2 B2 2 27 x - 3.52 2 2

11、7(2x) - 4K根据正弦定理，s ic，得sC n2 7 2x,解得.小 csin B sin C =-b3/683.某海轮以点测得海面上油井分钟后到达B点,30海里/小时的速度航行，在P在南偏东60，向北航行 测得油井P在南偏东30 ，海轮40改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点, 求p、c间的距离.x=4.5,a=9.2.如图6,甲船在A处，乙船在A处的南偏东 45°方向，距 A有9n mile 并以20n mile/h 的速 度沿南偏西15 °方向航行，若甲船以 28n mile/h 的速度航行，追上 乙船至少要_h_32.提示：设用t h，甲船能追上乙船，

12、且4在C处相遇。在厶 ABC中，AC=28t, BC=20t，AB=9,设/ ABC=由正弦定理，得:AB = BPsin BPA sin BAP40解：如图 5，在 ABP中，AB= 30X = 20,60/ APB =30 ，/ BAP =120 ,20 BP即 = ，解得 bp =20.、3 .1 .32 T* 宀 80在厶 BPC中, BC = 30 X= 40 ,60由已知/ pbc =90 ，二 pc=、PB2 BC2 = . (20.3)2202 =20. 7(海里).所以p、C间的距离为20、7海里.B组填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.在厶ABC中，若c=4,

13、b=7,BC 边上的中线 AD 的长为3.5 ,_则a=.1.9.提示：设 CD=DB=x,在厶ACD中，由余弦定2 2 27 ' x 3.5理，得osC= 2汉7汉x2 , 2 1(28t) =81+(20t) _2><9><20tx(_?)2,128t -60t-27=0,( 4t - 3)(32t+9)=0,3 9解得t= , t= (舍).4 32在 ABC中，由余弦定理，得A距地面200 km,远地点B距地面350km,地球半径为6 371km，则在椭圆轨道上的飞船看地球的最 大视角一半的正弦值为 。O3我国发射的神舟六号”飞船开始运行的轨道是以地球的

14、中心F为一个焦点的椭圆，测得近地点a+c=350+6 371=6 721, a-c=6 371+200=6 571.如图7,在A处看视角最大.sin/6371BAF=。65714.在 ABC中，已知a-b=4,a+c=2b且最大内角为120 0 ,_则 a=。4.14.提示：由 a-b=4 和 a+c=2b 可得 a> b> c, 所以最大角为A=1200。 图76. 15 . 10。提示：设炮台顶位置为 A,炮底为O,两船位置分别为 B、C。在Rt A OB中，BO=30米,在Rt A OB中，AO=30. 3米，在厶BOA中,由余弦定理，得bc2= 30230 3? -30 3

15、0.3sin30°=2250,所以 BC=1510 米。二解答题（本大题共2小题，共36分）7.b2+c2a21由余弦定理，得 cos120°= 在厶abc中，角a, b, c的对边为a,b,c ,结合 a-b=4 , a+c=2b。可解得2bca=14。量 m = (2 Cc o s A , B, s25.如图，测量河对岸的塔高 AB时，可以选与塔底Cif=(cos ,2sin( A B) , m 丄 n .2B在同一水平面内的两个测点C与D 测得(1)求角C ；BCD =15。， BDC =30。，CD =30(2)，试求sin（米，并在点C的值.测得塔顶A的仰角为60

16、°,则塔高ab=(1)由 m n=0 得5.156。 提示：如图8，在 BCD 中,2 cos2CBD =180 -15 -30 =135。-2si n2(A B) = 0由正弦定理得BCCD21 cosC - 2(1 - cos C) = 0sin BDC sin CBD22 cos CcosC -1=0BC0cosC-1,£OSC5因为0 ： C< JI，所以C-600 Rt ABC(m)。6.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为450和300，而且两条船与炮台底部连线成300角，则两条船相距米Bk , sin Ca sin (A - B

17、)二 si nA cos B - si n B cos A二 kn2 c2 _ b2 b t2ac k2(a2 -b2) _ c22ck 2ck1sin C2 2 1 2（因为 a -bc ）2法 二 ： 由a2=b2十丄c2 有22 2 1 2sin A 二 sin B sin C ,再禾U 用 2A=120° - B 求解.8.如图所示，在海岸 A处发现北偏东45°方向，距A处（3 _ 1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方 缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走sin BCD 二BD sinCBDCD10

18、t sin 12010 3tBCD=30 °，缉私船应沿北偏东 60 °的 方向行驶。又在 BCD 中, / CBD=120 °，/ BCD=30 °， /Z D=30 °，/ BD=BC，即 JQt =6飞1015分钟。缉私船应沿北偏东.方向行驶,最快截获走私船，大约需要* .15分钟.备选题：才能私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向 逃窜.问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私 船？并求岀所需时间.1.某人在草地上散步，看到他西南有两根相 距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南方向上，另

19、一根标杆在其南偏西 30方向上，此人步行的速度是 8解 设缉私船应沿 CD方向行 驶t小时，才能最 快截获（在D点）走私船，则CD=10 . 3t海里，BD=10t海里.在 ABC中,由余弦定理，得2 2 2bc2=ab 2+ac22ABACcosA=提示：如图所示，A、 B两点的距离为6 米，当此人沿正北 方向走到C点时，测得z bco=45， z ACO =30，/ Z BCA =Z BCO-Z(.3 -1)222 -2(、3 -1) 2 cos120°=6,/ BC=6海里。BCsin AAC，sin ABC = AC sin ABCACO =45 -30 =15 .由题意，知

20、ZBAC=120 ， ZABC =45 .在厶ABC中，由正弦定理，得:ACABsin A 2 sin120. 2，-sin 厶ABCsi n= BCA即有AC=2BC/Z ABC=45 °，/ B点在C点的正东方向上,/Z CBD=90 ° +30° =120°°AB sin±ABC = 6"in45* =6运 + 6 si n BCAsi n15在直角三角形 AOC中, 有: OC= AC - cos30 =在 BCD 中，由正弦定理得BDCD( 6. 3 + 6)x 3 = 9 + 3： 3 . 2sin BCD sinCBD设步行速度为x 米/ 分,_则 x = 9_3 = 33即此人步行