正项级数敛散性的判断和应用

1、正项级数敛散性的判断与其应用摘要级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成局 部,敛散性问题级数理论的一个根本问题，判别正项级数敛散性的方法很多.本文 总结了正项级数的各种敛散性判别法，主要有比拟判别法与其推广、积分判别法 与其推广、导数判别法和一般项级数敛散性判别法；简单介绍了它们强弱性关系， 给出了典型例题验证上述判别法的有效性.关键词正项级数；判别法；敛散性The Convergence Tests and Applicationfor Series of Positive TermsAbstractHigher Mathematics series is an i

2、mportant part of teaching. The series of positive terms is an importa nt series Part,Positive ide ntificati onof Conv erge nee and Diverge nee of many ways.This paper has summarizeda variety of con verge nee judge methods for positive terms series,i nclud ing parison principle and its extension, int

3、egrated judge method and its extension,derivatejudge method and judge methods of general series, some famous tests such as Cauchy Test, D' Alembert Test, KummeiTest andGaussTest e from paris on prin ciple;give n a brief in troduct ion of their weekand strong relati on shipof con verge nee, set e

4、xamples for ide ntify ingtheeffective ness of these judge methods.Key wordspositive terms series; judge methods;c on verge nee1前言历史上，人们曾把无穷个实数相加Ui U2Un看成无穷个数 的和恰如有限个数的和一样，这在直观上容易被人承受在庄子天 下篇中提到“一尺之捶，日取半截，万世不竭，把每天截下的那 一局部的长度加起来：1 1 11 , , ” , " " 2 22 232n，从直观上看，它的和是1,但是下面“无限个实数相加11111 1 的和是

5、多少？如果写成其结果是0.如果写成(1 1) 1 1 (1 1)0 0 其结果是1.1 (1 1) (1 1) (1 1)1 0 0两个结果完全不同因此提出这样的问题：“无限个数相加是否 存在“和"？如果存在，“和"是多少？十七八世纪的一些著名的数学家曾对此感到迷惑，并有许多争论，并给出了这个级数“和“和是0到1之间的一个数.他论证说， 这个级数前n项和形成一个数列S, 1,S2 0,S3 1,S4 0,，其中0和 1 出现的机会一样，因此取它的平均数丄为这个级数的和.这一说2 2法得到了著名数学家伯努利（Bernouli）兄弟的首肯.有人做过如下论 证：既然11111 1

6、是一个数，记为S ,由于11 S 1 (1 1 1 1)1 1 1 1 S ,即为 1 S S,得 S -.大数学家欧拉(Euler)也主X用等比公式：1 q q2 q3，把q 1代1 q入得到1 1 1 + 1 1q 2代入得1 1 2 4 8，而这些结果现在23看起来都是荒谬的.后来人们认识到“无穷多个数相加，这是一个根本无法操作的 过程，人们不知道怎样把无穷多个数相加经过很长一段时间，数学 家柯西(Cauchy)给出了无穷级数的严格定义，之后级数理论得到了充 分地开展.无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，我国古代数学家X 徵创立的“割圆术对圆面积的近似计算已具有了初步的 无

7、穷级数的概念，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用 级数是否存在和，即为判断级数是否收敛的问题.级数的收敛性是级 数首要的重要性质.因此对于一个给定的级数，首先应判断它是否收 敛.假如数项级数各项符号都一样称为同号级数 .对于同号级数，只 须研究各项是正数组成的级数 -正项级数.定义在区间I的函数项 级数 Un X，当在I内任意取定一点X0时,对函数项级数的研究极n 1大地依赖于对数项级数的研究，而正项级数是数项级数中最根底的级 数，研究数项级数的性质如绝对收敛、条件收敛，需要用到正项级数 敛散性判别法，在函数项级数如幕级数收敛半径求解，函数项级数一致收敛Weierstrass判别法(

8、M判别法或优级数判别法)中也用到了正项级数敛散性.1正项级数的定义和收敛的充要条件定义如果级数山中各项均有Un 0,这种级数称为正项级数.n 11.2正项级数收敛的充要条件如果级数 Un中，局部和数列 Sn有界，即存在某正数M对n 0,有n 1snm .2比拟判别法与其推广2.1比拟判别法【1】设 Un和Vn是两个正项级数，如果存在某个正数N,对一切n>N都有Vn，那么假如级数vn收敛，如此级数un也收敛;假如级数un发散，如此级数vn也发散.1推论:Un和比拟判别法的极限形式:vn lim l，如此 n Vn时，Un和 Vn同时收敛或同时发散;2当I 0时，假如级数 Vn收敛，如此级数

9、Un也收敛;3当I，假如级数Vn发散，如此级数Un也发散.定理1 达朗贝尔判别法或比值判别法设为Un正项级数，且存在某正整数No与常数q(0 q 1)(1)假如对一切n No，成立不等式 也 q，如此级数 山收敛; Un2假如对一切nNo，成立不等式Un 11，如此级数Un发散.Un推论* 1 达朗贝尔判别法的极限形式设Unn 1为正项级数，且.Un 1 lim - n Unq，如此(1)1时，级数 Un收敛;n 11或q 时，级数 Un发散.n 1推论假如为Un正项级数，如此1当 limnUn1时，级数Un收敛;2当lim丛nUn1时，级数Un发散.例讨论级数1 nn! 1 n 10, 0,

10、的敛散性.解令Un1 n 1 n!，如此lim出n Un 1limnnn1 - 1 -nn所以，当11时，即0时,Un收敛，故原级数收n 1敛；当11时，即0时,Un1发散，故原级数发散.例讨论级数n n1 n!e的敛散性.解令unn!en 'UnUn 1nnnn!en1limln Hnlim n 1nnln 11如此 lim Hne2nn 1 !en 11en11 -n,如此mo m X |1n1 lim-n 1-ln1 -ne，由推论得级数n1角发散.定理2.2 1柯西判别法设Un为正项级数，且存在某正整数Non 1与正常数l,(1)假如对一切-No，不等式n a； l 1成立，如

11、此级数 Un收n 1敛;假如对一切-No，不等式n片1成立，如此级数Un发散.n 1推论1 柯西判别法的极限形式设Un为正项级数，且lim n un l .如此(1)当l 1时，级数Un收敛;n 1当l 1时，级数Un发散.n 1定理2设mUn为正项级数，假如回十回訐，如此当时,Unn 1收敛；当Un1发散.证明U2nUn12丄2s时，取U2n 1Un 112s1_s-取bns 1，如此-ss，如此nb2n 1 limnbmlimnn2n12s，limnb2nbnlimnn2n12s，由极限保号性得b2n 1bn 1b2nnbn 1U2n 1Un 1b2nbn昼，而Unbn收敛，由引理12.3

12、知 Un收敛;n 1当1时,由limU2nlimU2n 12nUnnUn 1有U2n与U2n1UnUn1limb2n 1. n lim1，limbnlimn 1nbn 1n 2n2 nbnn2n 1，对任意的o当n充分大时，1，取bn -，如此n 1-，对任意的 0当n充分大时,21于，如此当n充分b2n 11与 1bn 12与 2大时，有罟虬，由引理知 Un发散.Un 1n 1例2.3判断正项级数怦的敛散性.1 nln n 1 lim n n 12n2ln n1，故由达朗贝尔判别法无法判断，而a2nn2 lnlimlimnann2n22n ln nlim旦n an 1limn2n 1 ln

13、2n 122n 1 ln，由定理得 收敛.推论2.53设Un为正项级数，假如n 1ukn 1 i lim n Un0,1,2k 1 ,Un收敛，当1时，1kUn发散.n 1limn推论2.6推论2.73设Un为正项级数，假如lim7nUnn 1Un 1Un1 且 nim1Un收敛；当1时，Un发散.1,如此3设Un为正项级数，且n 1，假如1,如此U2nU2n 1limUnn Un 10 ；假如 1，如此lim坠n UnU2n 1 limn Un 13积分判别法引理1正项级数 Un收敛的充要条件是:n 1局部和数列Sn有界,即存在某正整数M，对一切正整数n有Sn M .定理1设f为1, 上非负

14、递减函数，那么正项级数f(n)与反常积分1 f(x)dx同时收敛或同时发散.例讨论级数咯的敛散性.n 2 n In n解由定理知级数与反常积分2册具有一样的敛散性'而dxd In x duX In X pIn x p当p 1时收敛，当p 1 p 1时级数收敛，当p 1级数时发散.定理3.2 5设函数f x是单调递减的正值函数，如果存在充分大的N，当x N时，有exf exf x，如此当01时，级数 f(n)收敛；假如exf exf x，级数 f (n)发散.证明当xN 时，有 ex f exf x对任意正数Xn1 Xx，有Xn人1Xn Xxne f e dxXnf xdx，变量替换后得

15、exexf xdx1xnf xdxXn 1取如下序列Xn，洛1必exeX2Xn 1,Xn e，故上述积分变x,f x dxxnXnfXn 1Xn 1Xnx dxx dxn123，故有ef xdx n1123,故有x,f x dxxk 1k 1 xkex dx n f x dx1所以f (x)dx发散，由引理知f (n)发散.假如exf ex f x，如此Xnnf x dx1k 2兀n ef x dxf x dxXk 1k 2 1ef11x dxf (n)收敛.由比拟判别法，f (x)dx收敛，由定理3.1知xxce f e推论5设函数f x是单调递减的正值函数，又设lim x f x如此当 1

16、时，级数 f(n)收敛；当 1时，级数 f( n)发散. 例讨论级数p1q的敛散性.n i n In n In In nx In xq，且In In xxe fIimxlimxx1 p In xIn In x a，当 11，或当p 1，p q 0 时,limx1，如此级数1pqn 1 n In n In In n收敛；当xp q 1 时,1，如此级数发散.e f e limx4导数判别法定理6导数极限判别法设f()为正项级数，f(x)是一连续n实函数，假如级数f)收敛，如此f 00.n定理6设f(-)为正项级数，f(x)是一连续实函数且在x 0处二n阶可导，如此级数f(丄)收敛的充分必要条件是

17、f(0) f (0) 0.n证明得f(0) 0.设 f (0) a(a 0, )， f (0) lim f(x) f (0) lim 他 a，由归结原X 0xX 0 xN 时，' a ，即 f 1f 1理得lim a，取0 a，当nn 0177n而 1发散，由比拟判别法，得f(1)发散；n 1 nn当f (0)，flim f(x) f(0) lim 3，由归结原理得x 0 xx 0 x. n limn 01n.对任意正整数M，存在正整数N ,当n N时，1nTnM，即M，由比拟判别法，得n nf)发散，与条件矛n盾，故f (0) 0.充分性对于任意的0lim 半 lim f(x)x 0

18、 x，+x 01+ xlimx 0lim x10，x 07于是由归结原理f 1lim -x 01n1收敛，故4f ()收敛.n例判断级数sin -的敛散性.n解级数 sin丄为正项级数，f(x) sin x为连续二阶可导函数，且 n 1 nf (0) 1 0,由定理知 sin丄发散.n 1 n例判断级数1 cos-的敛散性.n 1n解级数 1 cos 数，且f(0) f (0) 0，由定理知1 COS-收敛.n 1n为正项级数，f (x) 1 cosx为连续二阶可导函n 1n5两种一般项级数收敛性的方法 阿贝尔判别法an定理1 （阿贝尔判别法）假如an为单调有界数列，且bn收敛,如此an bn

19、收敛.In 1 -例讨论级数二的敛散性.n 1 In n解 In 1 - n为单调递减有界数列,亠收敛，由阿贝尔判i ln nIn别法知级数 一1 1收敛.n 1 In n例讨论级数n1丄n2n的敛散性.解数列单调有界，且1收敛，由阿贝尔判别法知i nn1 1收敛.n狄利克雷判别法定理1 （狄利克雷判别法）假如数列an为单调递减，且nim an 0， 又级数bn的局部和有界，如此anbn收敛.I n |sin 例讨论的敛散性.n 2 In n解n sin 12.2 n sin 12n1 cos61n cos6In nIn n2ln n2ln n2ln n因为J_当n时单调下降趋于零又.2n 1

20、sin sin 12 1232sin12kcosk 16由狄利克雷判别法知级数ncos6i In n2S"l2发散.1发散，故级数判断一般项级数收敛性的方法，也适用于正项级数.假如正项级数可以看成两级数通项乘积的形式，如此可利用上述两种方法判断 之.6完毕语级数理论是数学分析的重要组成局部，无穷级数是表示函数、研 究函数和数值计算的重要工具，无穷级数在自然科学与工程技术中具 有广泛的应用.而正项级数又是级数理论中重要的组成局部，级数的 收敛性是级数重要性质.判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，假如不为0,如此发散，假如为0，如此判断级数的局部和是否有界，有界 如此收敛，否如此发散.假如级数的一般项可以进展适当的放缩如此 使用比拟判别法，或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时，如此根据其特点选择适用的方法，如达朗贝尔判别法、柯西判别法或拉贝判别法等.同时，根据条件选择积分判别法或导数 判别法等.由此，我们可以得到正项级数的判别法是多种多样的，每 当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进展判断，因此对正项级数的判别法的探讨无穷无尽.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技 巧，根据不同的题目特点选择适宜的方法进展判断，能够节