202X年高中数学第四章导数应用4.1.2函数的极值课件7北师大版选修1_1

1、第四章第四章 导数应用导数应用1.2 函数的极值函数的极值学习目标v1.能利用导数求函数的极值v2.掌握求函数的极值的方法和步骤v重点：会利用导数求函数的极值v难点：函数极值点的判断和求解本节课必须掌握的知识点v1.极大值、极小值、极值的定义v2.判断f( )是极大值、极小值的方法v3.求可导函数f(X)的极值的步骤（分三步）v（1）_v ( 2 ) _v ( 3 ) _0 xaoht 0h a ht问题：如图表示高台跳水运动员的高度问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间随时间 变化的函数变化的函数 的图像。的图像。 观察图形并回答以下问题。观察图形并回答以下问题。2( )4.96.510

2、h ttt单调递增单调递增单调递减单调递减0)( th0 )(th（1）当）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？处的导数是多少呢？（2）在点）在点t=a附近的图象有什么特点？附近的图象有什么特点？ （3）点）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？附近的导数符号有什么变化规律？归纳归纳: 函数函数 在点在点 处处 ,在在 的附近的附近,当当 时时,函数函数h(t)单调递单调递增，增， ;当当 时时,函数函数h(t)单调递单调递减减, ( )h tata0)( ahat at 0)( th0)( th （3 3

3、）在点）在点 附近附近, , 的导数的符号有什么规律的导数的符号有什么规律? ?,a b yf x （1）函数）函数 在点在点 的函数值与这些点附近的的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系函数值有什么关系? yf x,a b（2 2）函数）函数 在点在点 的导数值是多少的导数值是多少? ? yf x,a b(图一图一) 问题导航：问题导航：yxaob yf x0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bfyxaob yf x(图一图一)0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bf极大值极大值f(b)点点a a叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值点极小值点,f(

4、a a)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值极小值.点点b b叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值点极大值点，f(b b)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值极大值.极小值点极小值点、极大值点极大值点统称统称极值点极值点，极大值极大值和和极小值极小值统称为统称为极值极值.极小值极小值f(a)思考：思考：极大值一定大于极小值吗？极大值一定大于极小值吗？xy yfxohgfedc(图二图二)（1）极值是一个）极值是一个局部概念局部概念。由定义，极值只是某个。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个

5、定义域内最大或最小。并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。（2）函数的极值）函数的极值不是唯一的不是唯一的。即一个函数在某区间。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（3）极大值与极小值之间）极大值与极小值之间无确定的大小关系无确定的大小关系。即一个。即一个函数的极大值未必大于极小值。函数的极大值未必大于极小值。（4）函数的极值点）函数的极值点一定出现在区间的内部一定出现在区间的内部，区间的端，区间的端点不可能成为极值点。点不可能成为极值点。 yfx6x5x4x3x2x1xabxy （1 1）如图是函数）如图是函数 的图象的图象

6、, ,试找出函数试找出函数 的的 极值点极值点, ,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, ,哪些是极小值点？哪些是极小值点？o yf x yf x答答: yfx（1）. x1,x3,x5,x6是函数是函数y=f(x)的极值点，其中的极值点，其中x1,x5是是函数函数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x3,x6函数函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。导数值为导数值为0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗? 是是 为可导函数为可导函数 的极值点的的极值点的必要不充分条件必要不充分条件。0)( af( )yf xxaxyOy = x3yc xyO 下面分两种情况讨论下面分两种

7、情况讨论: : （1 1）当）当 ，即，即x x2,2,或或x x-2-2时时; ;（2）当）当 ，即，即-2 x2时。时。例例1：求函数求函数 的极值的极值. 31443f xxx 31443f xxx 2422fxxxx 0fx 0,fx 解解: : 0fx 当当x x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： ,fxf x x fx f x, 2 2,22,28343当当x=-2x=-2时时, , f(xf(x) )的极大值为的极大值为 28( 2)3f 423f 令令解得解得x=2,或或x=-2.0022单调递增单调递增单调递减当当x=2时时, f(x)的极小值为的极小值为

8、22例题导读例题导读归纳总结：求函数归纳总结：求函数y=f(x)的极值的的极值的步骤步骤: 2.求函数的单调区间求函数的单调区间1.确定函数的定义域确定函数的定义域3.利用数轴标根法确定极大值、极小值利用数轴标根法确定极大值、极小值点，并求出函数的极值点，并求出函数的极值达标检测：达标检测：v2.答案Dv解析f(x)(x1) ，当x1时，f(x)1时，f(x)0，v所以x1为f(x)的极小值点，故选D.xe3.求函数求函数 的极值的极值 33f xxx解解: : 令令 ，得，得 ，或，或 下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）当）当 ，即，即 时；时；（2）当）当 ，即，即 ，或，或

9、时。时。当当 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： 33f xxx x fx f x, 1 1,11,20011单调递增单调递减单调递减当当 时时, , 有极小值，并且极小值为有极小值，并且极小值为 2. 0fx 当当 时时, 有极大值，并且极大值为有极大值，并且极大值为 23 3fxx 23 30fxx 1x 1.x 0fx 11x 1x 1x 2)(xf)(xf2.1x1x x ,fxf x思考：思考：已知函数已知函数 在在 处取得极值，处取得极值， 求函数求函数 的解析式的解析式 322f xaxbxx2,1xx f x f x解解： 在在 取得极值，取得极值， 即即

10、解得解得 2322fxaxbx2,1xx 124203220abab11,32ab 3211232fxxxx0) 1 (, 0)2( ff（1）极值是一个）极值是一个局部概念局部概念。由定义，极值只是某个。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。（2）函数的极值）函数的极值不是唯一的不是唯一的。即一个函数在某区间。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（3）极大值与极小值之间）极大值与极小值之间无确定的大小关系无确定的大小关系。即一个。即一个函数的极大值未必大于极小值。函数的极大值未必大于极小值。（4）函数的极值点）函数的极值点一定出现在区间的内部一定出现在区间的内部，区间的端，区间的端点不可能成为极值点。点不可能成为极值点。（5） 是是 为可导函数为可导函数 的极值点的的极值点的必要不充分条件必要不充分条件。0)( af( )yf xxa求函数求函数y=f(x)的极值的的极值的步骤步骤:2.确定函数的单调区间确定