整式乘除解题方法

1、整式乘除知识要点要点1同底数幕的乘法：am - an= am+ n (m, n都是正整数)说明：幕的底数相同时，才可运用此法则。 要点可扩展为amanap= a卅n+p2幕的乘方与积的乘方(1)幕的乘方：(am) n= amn(m, n都是正整数)，可推广为 am npmnpa(2)积的乘方:(ab) n= anbn (n为正整数)，可扩展为(abc) n= anbn3 同底数幕的除法am* an= am n (a* 0, m,n 都是正整数，并且 m> n)4 零指数与负整数指数的意义(两个规定)：(1)零指数：a0= 1要点要点(2)负整数指数：a p(a* 0)1-(a* 0,p是

2、正整数)即任何一个不等于ap的数的一p (p为正1整数)次幕等与这个数的(观察前后幂p次幕的倒数。也可变形为：a p -ap的底数、指数变化)说明:(1)在幕的性质运算中， 幕的底数字母a、b可以是单项式或多项式， 向应用;(2)零指数幕和负整数指数幕中，底数都不能为0,即a工0; (3)负整数指数的意义后，正整数指数幕的运算性质，就可以推广到整数指数幕；- - - 1 - ir- 1 1 - 11 r 1 - 1 " 1 1 1 1 r - . - - 1 - 1 - - 1 i- -111 = =- IB - 1 1 1 -1 - 1 1 - - -111 r _ "&

3、quot; _ 1 - - - "ii- - I/" _ _ -运算法则皆可逆 规定了零指数和(4)在运算当 中,要找准底数(即要符合同底数)，如果出现底数互为相反数，或其他不同 ，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性在计算过程中，时刻注意符号的变化。乘法公式(1) 平方差公式： (a + b)(a b) = a2 b2.(2)完全平方公式： 两数和的平方：(a+ b) 2 = a2 + 2ab + b2 ； 两数差的平方:(a b) 2= a2 2ab+ b2。说明：因为a2± 2ab+ b2能化成(a± b) 2的形式，所以形如 a2&#

4、177; 2ab+ b2的式子叫做完全 平方式，其中a、b表示代数式。整式的除法(1)单项式除以单项式：把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。(2)多项式除以单项式：用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加,即(am+ bm+ cm) 十 m= am* m+ bm+ m + cm* ma3 b3 (a b)(a2-ab b2)2(a2 b2 c2 ab bc ac) (a b)2 (b c)2 (a c)22 2 2 2a b c ab bc ac (a b c) 3(ab bc ac)对完全平方公式的灵活应用2 2 2

5、 2 2 2(a b) (a b) 2(a b ) (a b) (a b) 4ab2 2 2 2(a b)2 ab a b (a b) +2ab这个公式虽然简单应用不简单，对形的感觉需要加以训练.下面再归纳三个的完全字母平方的应用(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc2(a2b2c2 ab bcac)(ab)2(b c)2(a c)22 ab2c2 ab bc ac (abc)23(abbcac)2(a2b2c2 ab bcac)3(a：2 b2 2c )(ab c)2例1已知5a+ b= 3,ab=，求(1)(a -b) 2;(2)a2- b2;(3) a3b+ ab3

6、的值4分析：(a b)2(a b)2 4ab没必要经过平方和这一步，对形的感觉这是.代入a+b=3,ab=5/4马上就有结果是 4,第二问结果就是(a+b)(a b)已知a+b只要求a b,由 第一问明显有a-b是4的平方根为 2结果为6或-6，第三问原式2 2 2= ab(a b ) ab(a b) 2ab代入 a+b 与 ab 得到 65/83344例 2x-y=3，xy=7 求 x y ,x y ， x y分析：考查完全平法，立方差的灵活应用这里需要对形的感觉特别熟悉。把一次式变为二次式最直接的办法就是两边平方。熟悉完全平方公式的结构多退少补的方法我们有x2 y2 (x y)2 2xy

7、=9+14=23，第二问考查的是立方差公式(x y)(x2 xy y2)这里x-y已知第二个括号内的东西其实和完全平方公式有紧密联系采用多退少补的方法即可。x2 xy y2 (x y)2 3xy代入xy与xy得到了结果为90第三问其实只要把第一问结果两边平方即可得到了x4 y4 (x2 y2)2 2x2y2代入数据得到431例3annx丄na13 求 a2, a：3, a4 求证 anan 23an 1x分析:x3x2丄212(x -)2 =9-2=7,a27丄xxx3 x(x1)(x21 4)代入数据得到结果为18, a318xxxa4(x2A) 22代入7得1到结果是47证明an an 2

8、xnn 21xnx1 1( 21 2x(Xx1 21) F(X1)x1=xn.3xn.3x=3( xn1 1 )n 1注意到x213xxx=3 an 1笔算开平方的方法1 将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用“”分开，分成几段，表示所求平方根是几位数小数部分从最高位向后每两位一段隔开，段数以需要的精度加1为准。以85264为例。2根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。(在例题中，比8小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。)3从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。4.把第二步求得的最高位的数乘以20加上试商的数去试除第一个余数，

9、所得的最大整数作为试商.(例中的试商即为452/ ( 2X 20+9) = 9.2= 9。)5用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。(即9为平方根的第二位.)6用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去所求的积(即452 -441 = 11)，与第三段数组成新的余数(即 1164)。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数(即29)乘以20去试除新的余数(1164)，所得的最大整数为新的试商。 (1164/(29

10、 X 20)的整数部分为2。)7 对新试商的检验与前面的一样。(例中最后的余数为 0，刚好开尽，则292为所求的平方根。)如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求岀它的近似值。个人收集整理，勿做商业用途算理的解释(10a b)2 100a2 20ab b2例 4 已知 x+y=10，x3+y3=100，求 x2+y2.分析：考查立方和(x y)(x2 xy y2)2 2 2 2 2得到 x xy y =10 (x y) 3xy=10 xy=30 代入就有 x y 40例5 一个正整数的立方末三位是999，这个数至少是多少？分析：设这个数为x，显然个位为9. x3 1是1000的倍数于是我们有3

11、 2 2x 1 (x 1)(x x 1) 明显有x x 1个位为3所以x+1是1000的倍数所以x至少是999例6已知x，y，z是有理数，且x=8 y，z2=xy 16,求x，y，z的值。分析：此题未知数多于方程的个数我们就用代入消元法得到了2 2 2 2 2z (8 y)y 16 z y 8y 16 0 z (y 4) =0得至U x=y=4z=0a b例7已知a2+ b2 + 4a 2b+ 5 = 0,求的值。a b分析：我们先看a2 4a可以类比完全平方公式只是少了个b2可以写为(a 2)2 4a2 2a 2 22 同理 b2 2b (b然后多退少补就可以得到(a 2)2a= 2,b=1

12、代入结果为1/3 例81)2 1(b 1)20(a+b+c) ( a-b+c) ( b+ca) ( a+bc)分析此题考查平方差原式=(a+c)+b (a+c) -b = (a c)2 b2 b2(a c)22 2 2 2 2 2=ac2ac bbac2ac/c2/2222c2-22 22 24,44=(2ac) (a c b ) = 2a b 2b c 2a c a b c例9谈谈三个字母完全平方公式的应用已知a+b+c=2,孑+b2+c2=8，求ab+bc+ca的值.分析：两边平方得到(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac =42 (ab+bc+ac) +8=4ab+bc+ac=-2例 10 a=2010x+2011b=2010x+2012c=2010x+2013 求 a2 b2 c2 ab bc ac12分析：原式=2(a b)2 2(b c) (a c) a-b=-1,b c= 1,c-a=2代入后结果为3例11已知a2 b2 c212求a+b+c的取值范围= 2(a2.2 2b cabbcac)3(a2b2c2)(a b c)2代入后2(a2.2 2b cabbcac)3(a2b2c2)2 2(a b c) 36 (a b c) 0a bc 6,6ab