202X年高中数学第三章变化率与导数3.2.2导数的几何意义课件2北师大版选修1_1

1、导数的几何意义导数的几何意义回顾回顾平均变化率平均变化率fx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: :割线的斜率割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(xyy回顾回顾以平均速度代替瞬时速度，然后通过以平均速度代替瞬时速度，然后通过求极限，求极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的准确值。从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的准确值。我们把物体在某一时

2、刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.从函数从函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是:X-0X-0yX-0X-0X-0X-0 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数的根本方法是导数的根本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不管但不管

3、x选择选择 哪种形式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.回回忆忆ABoxyy=f(x)割割线线切线切线l l推进新课推进新课：导数的几何意义: 我们发现我们发现,当点当点B沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点A即即x0时时,割线割线AB趋近于确定位置趋近于确定位置L.那么我们把那么我们把直线直线L称为曲线在点称为曲线在点A处的切线处的切线.xfy问题问题:00()()nnnf xf xkxx00()()nf xxf xkx设相对于设相对于 的增加量为的增加量为 , ,则则 0 xx0nxxx当点当点B无限趋近于点无限趋近于点A即即x0时时,kn无限趋近于切线无限

4、趋近于切线L的斜率的斜率k.割线割线ABAB的斜率的斜率 与切线的斜率与切线的斜率k k有什么关系有什么关系? ?kn割线割线ABAB的的斜率斜率:那么当那么当x0时时,割线割线AB的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线这个概念这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜提供了求曲线上某点切线的斜 率的一种方法率的一种方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.ABoxyy=f(x)割割线线切切线线l因此因此,函数函数f(x)在在x=x0 0处的处的导数就是

5、切线导数就是切线L的斜率的斜率. 圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于确实定位置的直线定义为切线交点可能不惟一适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 2l1lxyABC举例说明，稳固知识：举例说明，稳固知识：例例1 1：函数：函数 1 1分别对分别对 =2 =2，1 1，求在区间，求在区间 上的平均变化率，并画出过点上的平均变化率，并画出过点 的的相应割线；相应割线；2 2求函数求函数 处的导数，并画出处的导数，并画出曲线曲线 在点在点-2-2，4 4处的切线。处的切线。几何画板演示图形几何画板演示图形2,)(02xxxfyxxxx00,)(,(0

6、0 xxf2,02xxyxy2例例2：求函数：求函数 处的切线处的切线方程几何画板演示图形方程几何画板演示图形1,)(23xxfyx变式训练：求曲线变式训练：求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方处的切线方程程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的根本步骤的根本步骤:求出函数求出函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数f(x0)利用点斜式求切线

7、方程利用点斜式求切线方程.(假设点不知假设点不知,那么先求出点的坐那么先求出点的坐标标)小结：小结：0000000( )()( )()()()limxf xxxfxf xxxf xxf xkfxx 在处导数即为 所表示曲线在处切线的斜率，即几何意义：000()()()yf xfxxx：切方程 线 0 xx 确定处切线的斜率，从而确定切线 作 用： 的方程（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 求切线方程的步骤：求切线方程的