弹性力学第四章-用极坐标解平面问题

1、面上的正应力用表示，剪应力用表示。 面上的正应力用表示，剪应力用表示。用f表示体积第四章用极坐标解平面问题4.1.极坐标中的平衡微分方程工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的构造物。在这些情况下， 用直角坐标 描述边界条件会变得相当复杂， 由于极坐标使得构造的边界与坐标线一致， 因而使边界条件 的描述更加简单，使问题更易于求解。首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。用夹角为d的两条极径和两条半径相差为d的同心圆弧截取一个微元体图 4.1。圆弧截面 称为面。面的法向沿径向而且指向增加方向，这一圆弧面称为正面，反之称为负 面。极径截面称为 面。面的法向沿环向而且指向增加方向，这一极径截

2、面称为正面。反之称为负面。力在径向的分量，用f表示体积力在环向的分量。应力的符号规定与直角坐标下的规定完全一样：正面上指向正向坐图4.2单元体上的应力标增加的方向的应力为正值应力，负面上指向负向坐标 减小的方向的应力亦为正值应力，反之，为负值的应力。体积力符号规定也与直角坐标下的规定一样，指向坐标轴正向坐标增加的方向的体积力为正值，反之，为负值。直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。从理论上说，我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的根本方程导出极坐标下的相应方程。但是，为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解，我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平衡导出极坐标下的平衡微分方 程。我们取一个

3、微分单元体研究，各个面上的应力分量和体积力如图4.2所示。负 面上的正应力为，剪应力为；正 面的坐标比负面增加了 d ，所以正面的应力和负面相比，应力产生了一个增量，分别为 一d和负 面上的正应力为，剪应力为；正 面的坐标比负面增加了 d，所以正面的应力和负面相比，应力产生了一个增量，分别为由于微分单元体厚度是1,所以负面的面积为d ，正面的面积为（ d ）d ； 正、负 面的面积均为d 。体力为f和f。各面的合力对形心求矩MC 0，可以再次证明剪应力互等定理。4.1取各面上的力在方向上的平衡，有F0 :( -d )(d )dd(d )d si nJ2ad.d sin -(d )dd cos

4、-d cosf d d0222由于d是个微量,所以有cosd1 和 sindd 成立。把它们用于a式并略222去高一阶的无穷小量。利用剪应力互等定理并在方程两边同除以d d ,整理后得f 0 b再考察各面上的力在方向上的平衡 F 0，同理可得：2 f 0 cb式和c式联立得到一组平衡微分方程：f 04.22f 0这个方程组中包含了、 和三个独立的未知函数，方程本身比直角坐标下的相应方程复杂得多。一般情况下，它的求解也复杂得多。4.2.极坐标中的几何方程及物理方程在4.1节中我们导出了三个应力分量应该满足的平衡微分方程。但是仅仅通过两个方程求解三个未知函数是不够的，必须找到一个补充方程，也就是说

5、要考虑变形几何关系。首先要定义在极坐标中的应变分量与位移分量。表示径比照在直角坐标中的应变分量的定义方法，我们定义与应力相对应的应变,向线段的线应变径向正应变，表示环向线段的线应变环向正应变，表示径向线段和环向线段之间的直角改变量剪应变。位移分量是按照位移的方向定义的，u表示径向位移，u表示环向位移。变形几何方程是描述位移和应变之间关系的一组方程。欲研究平面弹性体在极坐标下的变形，要选取相互正交的径向线段和环向线段。径向线段PA d ，环向弧线所含的弧度为d ，弧长PB d 。线段端点及其坐标分别为P( , )， OA( d ,)和 B( , d )。由于极坐标中正交线段的位移可以看作沿径向的

6、位移和沿环向位移的合成。在分析位移与应变关系时我们分两u步完成，第一步先考察正交线段仅发生径向移动不考虑y环向位移所产生的位移与应变分量间的关系图 4.3。图4. 3径向位移正交线段的径向移动使 P点移动到P点，位移为u , A点移动到A点，由于A、P两点极角一样，A点极径比P点的极径增加了 d ，所以其径向位移产生一个由于变化带来的函数增量 旦 d ，A点的位移为uud ，这两点的环向位移0，PA的转角为零。线段PA的伸长量可以通过两个端部 AP'A' PA AA' PP'PAPA ，即uu d uuP两点的位移差计算，产生的径向线应变为a正交线段的径向移动同

7、时使 B点移动到B点，由于B、P两点极径一样，B点极角比P点的极角增加了 d ，所以其径向位移产生一个由于变化带来的函数增量 d ，B点的径向位移为u d ，这两点的环向位移也有 u0。同理，PB弧所产生的环向线应变为PBPBuB Bud(u )ddb由于B、P两点径向位移不同，就使得 PB产生了一个转角BB' PP'PBu(ud ) udc故剪应变为d第二步是在第一步的根底上研究径向位移后的两条线段端点P、A和B只发生环向位移而不发生径向位移 图4.4。正交线段的环向移动使 P点移动到P点，位移为u , A点移动到A点。A点极径比P点的极径增加了 d ，所以其环向位移产生一个

8、由于变化uA带来的函数增量d ，A点的环向位移为A A ，uA A ud e这两点的径向位移 u 0。线段PA位移到P A后，其伸长量可以视为零，所以其径向线应变0 f正交线段的径向移动使B点移动到B点，由于B点极角比P点的极角增加了其环向位移产生一个由于变化带来增量 d ，B点的环向位移为 B BP B弧所产生的环向线应变为P B P B，也就疋PBu(ud ) uP B P BB BP Pg由图4.5可以看出，线段 PA位移到PA所转过的角度包含两局部，一局部是径线OA转动到OAr的位置时刚体转动角，h另一局部是环向位移使线段P Ai转动到P A位置时转过的角度，只有这一局部转角才是正交线

9、段的直角改变量，可以这样计算uuduA2P AA A A A2uPAdiju uA2P A把两种位移产生的径向应变、环向应变和剪应变叠加把a、b、d、f、g和j式代入k式后得到总的径向应变、环向应变 和剪应变与位移之间的关系，即几何方程如下：4. 3uu式中是由径向位移产生的环向应变，是由环向位移产生的刚体转动角度。所得到的平衡微分方程描述的力学量之间的关系，几何方程描述的是几何量间的关系。 几何方程要作为补充方程， 必须把几何量转化为力学量， 物理方程就为完成这种转变提供了 依据。物理方程是描述力和变形之间的关系的，在弹性力学中描述的是应力和应变之间的关 系。由于极坐标也是正交坐标系，微分单

10、元体和直角坐标是一致的，所以力和变形之间所遵 循的规律是完全一致的，因此物理方程形式不变。在平面应力状态下物理方程的极坐标形式 为G写成矩阵的形式为11E0)2(1 )E01 00 2(1 )4.44.4 按照与2.4节一样的做法,可以得到用应变表示应力的平面应力状态下物理方程的极坐标形式其矩阵形式为4 52(14. 51""2将4. 4式中的E和分别用代换，可以得到平面应变状态下物理方程的极坐标形式4 62(1 )GE它的矩阵形式为4. 6 Xty图4.6极坐标下的方向角方程，含有需要求解的八个未知函数，具备了求解的根本条件。4.3极坐标中的应力函数与相容方程在平面直角坐

11、标系求解问题时，采用应力函数是一种行之有效的方法，我们在用极坐标 求解时也试图采用同样的方法，为此我们需要导出极坐标下用应力函数求解 的根本方程。这里仅考虑体积力为常量的情况。首先把用直角坐标表示的拉普拉斯方程转化为极坐标表示。通过两个坐标系的转换 很容易 的得到 应力函数 从直角坐标系到极坐标的转化，(,),y(,)(，)。下面我们用求在极坐标下对X和y的方向导数的方法导出极坐标下用应力函数描述的相容方程。X和 之间的夹角为图4.6，所以在极 坐标下对X的方向一阶导数为-cos sin ax把整体视为新函数，再求对它对XX的一阶导数，即用它代替a式中的得到2 Xcos)cos ( cossi

12、n )sin(b)所以有222y2 X2 cos2 2sin cossin cos(c)由于.2sin.27 siny方向导数比x方向的角度增加了，所以求应力函数在极坐标下对y方向- 代换即可。因此有2一阶导数时仅需把对 X方向求导的(C)式右边各项中用2 2( ) 2Tcos(2)2sin(-)cos( )2s%) cos(-)2sin 2(-) si n2(?)二肘罕 sin cos匚 sin cos2cos222cosd按照与推导b式相似的做法可以得到应力函数对x、y的混合导数(cossin )cos所以有xy把(c)式和由于2(cossin)sin2sin cosx y2(cos2si

13、n2 )2(cos2sin cosd式相加得出拉普拉斯算子的极坐标表达式°y，所以用应力描述的变形相容方程为xoy)2(式可以写成(_)2(sin2 )e2 sin cos把(c)式和d式代入应力函数表示的相容方程中就可以得到极坐标下的相容方程。22 2)20f4. 74.74.8把4.6丨市展开为2 33222PPP44P4 242P4. 8由此可以看出，用极坐标解答平面问题时，也和直角坐标一样，只需选择某一个应力 函数，求出各应力分量，并要求它们能满足所给弹性体所有的边界条件即可。44应力的坐标变换在4.3节我们已经导出用极坐标描述的直角坐标应力、 y和xy，只要完成用直角坐标应

14、力表示极坐标下的应力，把前面所得到的结果代入， 不难导出极坐标下应力的应力函数表达式。这里我们通过坐标变换完成两种坐标系下的应力变换。在数学中可以用坐标变换矩阵给出坐标轴旋转后一点的xyimm xl ya即xxconysi nbyxsi ny cos坐标（x , y ）与旋转前的坐标（x, y）之间的关系:如果直角坐标下的应力单元体斜截面的法向正好是极坐标中的径向图4.6，禾U用2. 10式可以得到斜截面上应力在x向和y向的分量（px, py）为CPxxxy1Pyyxym那么斜截面上应力在向和t向的分量正是极坐标下的正应力和剪应力由坐标变换可以得到它们与（Px,Py ）的关系：lmPxdm l

15、Py把c式代入d式得到：lm xxylemlyxy m如果直角坐标下的应力单元体斜截面的法向正好是极坐标中的切向图4.7，那么截f面上应力在x向和y向的分量（Px，Py）为那么斜截面上应力在向和t向的分量正是极坐标下的剪应力和正应力（Pxxxym內yxyl坐标变换可以得到它们与 （px, Py ）的关系:把f式代入m pxgg式得到:hm x xyyx y把e式和下的应力分量。h式分别扩展为矩阵，而后相加就得到直角坐标应力分量变换成极坐标式中极坐标下的应力矩阵；4.9 im x xy l l yx y m用矩阵符号表示为T1直角坐标下的应力矩阵；二维的坐标变换矩阵；-1二维的坐标变换矩阵的逆矩

16、阵。把 4.9 2x cos2 y sin2 xy sin cos2 x sin2 y cos2 xy sin cos4.10(yx ) sin cosxy (cos2sin 2 )通过对 i式作矩阵运算可以求出从极坐标到直角坐标下的应力变换矩阵式T1Tj j 式展开那么得到从极坐标到直角坐标下的应力变换公式x2 cos2 sin2 sin cosy2 sin2 cos2 sin cos 4.11 xy() sin cos22 (cos sin )式展开得到从直角坐标到极坐标下的应力变换公式把从理论上讲，把4.3节导出的用极坐标描述的直角坐标应力X , y和xy代入到4.10式中去， 就可以得

17、到极坐标下的应力与应力函数间的关系。 这需要作一些烦琐的运算。 为简单起见，我们给出 4.3节导出的描述直角坐标应力的c式、d式和e式如下：2222 2xsin2sin cos-sin cos222coscos4.3c222 .2 2 .ycos2sin cos-sin cos222sin2 sin4.3dxy2 2r sin cosx y2(cos2sin2 )(cos2sin cossin2 )4.3ecos把4.3c丨式、4.3d丨式与4.11丨式相比拟，很容易得到24.12可以证明：当f f p0时,(4.12)能满足平衡微分方程(4.2)式。在极坐标下略去体积力分量而按应力求解平面问

18、题时，可归结为根据4.8丨式求出应力函数，然后根据4.12求出各应力分量，再使它们满足边界上的应力边界条件，同时要满足位移单值条件。4.5轴对称问题的一般解在工程上有一些构造是旋转体，而且他们所承受的荷载及约束又是关于轴截面对称的，如架空的或埋置较深的地下管道图4.8、隧道以及机械上紧配合的轴套等。像这类构件的几何形状、受力及约束关于通过z轴的平面对称而且无体积力作用的弹性力学问题简称为轴对称问题。取形心为极坐标的原点。由于弹性体内的各力学量都是关于任意通过原点的轴为对称的，所以同一圆周上的任意两个单 元体都是对称的，其应力一定也是对称的。换句话说，轴对称 问题的应力仅仅是极径的函数，而与 无

19、关。由于在一个截面上是反对称的应力，在轴对称的情况下必不可能y存在，即0。同样0。可见，在轴对图4.8深埋的压力管道称问题中仅仅存在和两个应力分量，而且它们只是的函数,我们首先求轴对称问题的应力分量。由于不考虑体积力，而且应力分量中不含，所以在轴对称的条件下平衡微分方程4.2式中的第二式自然满足。这样一来，独立的平衡微分方程只有一个d0 d其相容方程为4. 13d24.144. 14式可以写成1_dd)0a将a式积分两次得到B ln Cb平衡微分方程4. 13式改写为d0d把它与b式相加，d2 B l nC cd方程c的特解和相应的非其次方程的通解分别为BBCIn242d由此得到径向正应力和周

20、向正应力分别为B In2旦Ine由于应力是有界的，所以必有A2B 0。把e式中的常数重新命名得到:4.15u-吕)uu1(Euuu0由f第-式积分得1r川、A川u(1)(1-f ( ) f1( ) - f( )df1( )0i此后，我们再求轴对称问题的位移分量。有关的。把4. 15式由于并不知道坐标原点的约束情况，一般情况下位移是与极角代入物理方程4.4求出各应变分量，而后再用几何方程4.3将应变分量用位移表示,那么有1A-(1 (1)C1a)-(1) (1)Cf)C f( )g把g式代入f式中的第二式，经整理有uf ()把此式积分求得hu f( )df1()把9式h式代入f式中的第三式，得到

21、对于两个独立的变量要保持i式恒成立，必须有仏)f1()f ( ) f( )dD由此得出d£( ) zf.)Dddf() 一f()dDdkjI求解方程(j),j式为线性微分方程，可用别离变量法求解dfd ) df1( ) D其通解为mf1( ) F DI丨式对求导，得出2d f()f( ) 0n解之得f ( ) I cos K sin p把p式代入I式，运算后可求得f( )d D df)D I sinK cos qd把p式代入g式得u丄EA(1) (1 )C IcosK sin把m式和q式代入h式得uFI sinK cos由此我们得出极坐标下轴对称问题的位移解：u1(1) (1 )C

22、I cosK sinE4. 16uFI sinK cos式屮A、C、F、I、K都是任意常数，其中F、I、K和2. 3节中的、uo、vo 一样，代表刚体位移(由位移边界确定)。如果是平面应变问题,那么仅需把式4. 16做E换成2换成的代换即可求得其位移分量。14.6受压圆环或圆筒的解深埋地下的受压管道可以简化为轴对称的力学模型，截 取单位厚度的薄片就可以视为平面应变问题。为了简单起见我们首先分析平面应力问题， 而后可以通过弹性系数的代换得到 平面应变的解。单位厚度的厚壁圆筒内半径 a,外半径b，承受均布的内压力qa ,外压力qb图4.9。该问题简化为轴对称问题，a的内边界应力边界条件为图4.9承

23、受内压和外压的圆环a()aqa()a 0b的外边界应力边界条件为qb b 0根据4.5节，轴对称的应力分量为AT C4. 17显然,b 0自然能够满足。利用边界条件a式和b式,求解关于A2aAb7A和C的方程组qaqbc得到C2 .2a qa b qb22b a2 2a b (qb qa)22 ，b a把A和C的值代入4.17式，即得拉梅Lame'解:4. 18写12 q a打1 abTVaa21壬2 qb1王1 b2a22qb11 b24.5节给出了轴对称问题的位移分量为1A4. 16u (1 )A C (1)u F I sin K cos假设适当给定约束条件，不仅弹性体无刚性位移，

24、对称面上亦无沿周向的位移，那么(u ) 0 , (u )12(1洽 d)ce根据4.18式的结果讨论几种特例。1.只受内压q-0, qb0这是压力容器最常见的受力方式，其应力为(b)2 1bq-(b)2 14. 19a(b)2 1t q-(b)2 1a沿轴向 受压应力作用，沿环向受拉应力作用，分布状态见图4.10。最大压应力和最大拉应力均在内壁。max () a(b/a)212 qa ,(b/a)2 1qa。2.只受外压qa0，qb0这是深埋管道的受力方式，其应力为L1 (b)1 (a)2qba4. 20均为压应力，分布状态见图4.11。径向最大压应力在外壁，而环向最大压应力在内壁。2-qb

25、,当b远达于a时，内壁21I 2 ,Hb1 P abiP b()a 0, () b -qb3.无限域开圆孔在内压用下当b时qb 0.2 11、b(22)2limba,1qaqb1、b2(2以)abb2(-12占)2lim -ba2 ,11 qaqab(-2)ab4.204x©图4. 12圆孔的应力集中2倍，这就是应力集中现象。 工程实际中验证圣维南原理：由图4.12可以看出，在 a处，应力很小，可以不计，即在内压 qa作用下，在b 处圆孔的影响可略而不计。4.针孔问题应力集中在含有针孔的大板受均匀分布的外压时，在内径a 0时/、2c()aqb2qb1 (b)2可见，孔径虽然很小，但孔

26、边应力却提高了近常在孔边发生开裂，就是这个原因。4.7压力隧洞无限大弹性体内的内压圆筒像埋置较深的地下输送液体或气体的管道、 带有内衬的地下巷道或隧道等构造物， 在研 究内层管道本身的应力与变形的同时， 常常需要考虑外层材料的受力与变形。 对这类问题的 分析需要利用两个弹性体在接触面上的变形协调关系，所以它也是一种接触问题。按接触条件可以把接触问题分为两大类：一类是完全接触，即两弹性体的接触面保持严密接触，不发生相对滑动。a在接触面上的应力条件是正应力相等，剪应力也相等；b在接触面上的位移条件是径向位 移u相等，环向位移u也相等。另一类是非完全接触，即两弹性体的接触面是光滑的，但接触面依然保持

27、严密接触。a 在接触面上的应力条件是正应力相等，剪应力等于零；b在接触面上的位移条件是径向位移u相等，而环向位移u不相等相对滑动一般来说压力隧洞属于完全接触。设圆管埋置的深度远大于其直径，可以视为圆筒是埋在无限大弹性体中，管内部受均匀分布的压力q图4. 13。管道材料的弹性常数 E、 口,弹性体材料的弹性常数 E、 口，求管道和外层弹性体的各应力分量。显然这是一个轴对称问题，它们的应力分布也是轴对称的，所以4.5节和4.6节的结果4. 15式和4. 16式仍然适用。分别给出圆筒、无限大弹性体的应力与位移表达式, 常数及积分常数。圆筒的各应力分量为：但须注意它们具有不同的材料弹性4. 17图4.

28、 13压力隧洞无限大弹性体的各应力分量为4.21在两组方程中有四个待定常数。根据圣维南原理，当时无穷远处应力近乎为零,所以在4.2 1丨式中有:a由此得出C0。要确定另三个待定常数还需要三个条件。利用圆筒内外表的边界条件有A()b 2 C q ba无限大弹性体和圆筒的接触面上，它们的面力是作用力与反作用力的关系，所以径向面力相()b () b，把C 0代入即有cAb2要确定A还要利用两个局部的变形连续条件。由于这里取出的单位厚度的薄片属于平面应变问题，所以求圆筒的位移需要对:4.16式进展E换成 E 2、换成的代1 1换，变为1u(1 2)C -I cosK sinE4.22uFI sinKc

29、os无穷远处的弹性体内各点位移为零， 而且两弹性体是完全接触，所以约束可看作是轴对 称的，故有u 0，也就是说F I K 0，仅有u存在。平面应变状态下圆筒外边界 的径向位移为：(u ) p b 1(12 )Cb ? dEb同理，含圆孔的无限大体的位移为1au(12 )C I cos K sinE 4. 23u F I sin K cos同样，无限大体的位移中u 0，即所以有F I K 0。注意到C 0，平面应变状态下无限大体内的径向位移为1uE(1)e在无限大体内圆孔边界b的径向位移为1A(u ) p bgEb由于两物体接触面的径向位移相等，(u ) b (u ) b，即1A1AE (12

30、)Cb bEbh由第h式整理：E (1)2(1 2)Cb A A0iE(1)令nE(1)式改写成E(1)n(1 2)Cb2A A 0jb式、c式和h式联立Aa2Ab2n(1Ab2求解关于A、C、A的三元一次方程组k式求得b21n(1 2 )qb21 n(1 2 )p (1 n)a1 n2 )与(1 n)a2n(1- )b2q1n(1q1 n(1把A、为：A'、C、C'b22 )p (1 n)a回代到应力分量表达式4.15和4 21丨式中，得到各应力分量b22 )-r (1 n)1n(1q b21n(1 2 )-y (1 n)ab21n(12)务(1n)q1n(12)=(1n)a

31、b22n(1)-7qb1n(1 2 )-7(1 n)a4. 24当n 1时,应力分布大致如图4. 14。)Cb2 A A 04.8薄板中圆孔的应力集中工程实践告诉我们，如果受拉伸的板中有一个圆孔的话，一般来说破坏总是首先从圆孔处开场。下面我们要研究均匀拉伸应力场中圆孔附近的应力分布状态。假设一个受水平方向均匀拉伸的无限大板中间有一个半径为r的圆孔图4.15。板厚为一个单位，分布力集度为 q，不计体力分量，求板内各应力分量。对于薄板受均匀拉伸的问题已经在用直角坐标求解平面问题中作过介绍，但是其中圆孔用直角坐标描述很不方便。 为了便于求解，我们必须把无限大板的均匀应力场用极坐标描述,为此，我们作一

32、个半径为b且与圆孔同心的大圆作为假想的新边界b>>门。这就将薄板直边界转换为圆边界图 4.16，从而可以采用极坐标研 究。在半径为b的圆周上各点受力状态都是均匀拉伸状态，即x q , yTy0，由坐标变换式4.10式求得边界上极坐标下的应力分量，以此作为无限远处匸X丿qyl图4. 15圆孔的应力集中b的应力边界条件。()bqq cos 222()bqqcos222()b9sin22圆孔r的边界条件为：aixf 一奴三;yl图4. 16新建的边界()r 0, () r 0根据无限远处应力边界条件可以看出:和的分布是关于X轴和y轴对称的，是周期为 的函数，而 xy是关于X轴和y轴反对称

33、，也是周期为的函数。为此,设板内各点的三个应力分量函数形式具有与远处应力相类似的形式，分别为:F(G(h()f( )cos2)g( )cos2)sin 2c把c式分别代入平衡微分方程4.2式和相容方程4.7式可得dFd罟各F（乎g 2h)cos22gG)2h)si n2G)要使d式中关于自变量 第一组方程角（fd的函数sin2g)v(f或 cos2g)42 (f g)cos2(d)的多项式恒为零，得到两组方程:先(F G)d亚F Gdr(F(e)比照4.5节中方程4. 12式的解法，同样利用应力的有界性，由方程组e解得fG()第二组方程df厂dh2h 02g2h 0gd2 (f ) r(f g

34、) dr(f4g)2(f g) 0g式中的第三式是关于(fg)的欧拉方程，它的特征根2，22所以它的解为g式中的第一式减去第二式，-Jd-(f h) f g 0把h式代入其中后可以得到D2C(h)式和(j)式相减得到9 2C2g式中的第二式(h)(i)(j)k代入方程dh2( gh) 4h乎4h 3 2C E 2E方程dh d l4h3 2C2E方程的一个特解为2e的通解是h 12C2把h代入j式和k式中，得到fD1G22 E4g2C1eG42由于应力是有界的，所以C 0。由此得出应力的函数表达式(-D2（丄1E2 G4) sin1e g2G4)cos4) cos 2m利用应力边界条件确定常数

35、,b的外边界的应力边界条件a为()bB1E cos2qcos22221qq()bBE cos 2cos2222()b1Esi n2qsin222n由此确定出常数q。利用r的内边界上的应力边界条件0,(0,那么有Ar(pq2q2(豊4)s in 2rG4)cos20p由此得出2q,D2r2q,G予4q。含圆孔的无限大板单向均匀拉伸下的解为4r22“22(12(13r)cos2(4.25)(12r23r44)sin 2在 r的孔边，环向应力q(1 2cos2 )圆周上环向应力几个重要的数据列于表4-1：表4-1圆周上几个重要的应力数据030o45o60o90oq0q2q3q在-的径线上环向应力q(

36、13r42的径线上环向应力几个重要的数据列于表4-2:表4-2径线上几个重要的应力数据r2r3r4r5r3q1.22q1.07q1.04q1.02q图4.17给出了三条径线上环向应力的分布情况。研究圆孔边的应力分布可以看出，孔边附近的局部区域应力发生应力增大的现象，我们称之为应力集中。孔边的最大应力与无孔时应力的比值称为应力集中系数。在r的圆周上，时，有最大值2()maxI r 3q(4.26)当(45)r时,孔边的最大应力比无孔时提高了2倍。圆孔的应力集中系数K 3。q，在y轴上应力已接近于均匀分布。说明5r时圆孔的影响已经很小，这再次验证了圣维南原理的正确性。沿着 0°的x轴方向

37、环向应力为2qr(芝1)q。r处，q ；在 13r处，0图图4. 17孔边的应力分布4.17。在r<3r的区间内，压应力的合力为r)od1.924qr换言之，当圆孔处于压应力q作用下时，在孔边也会产生最大值为q的拉应力。对于抗拉性能较差的材料来说特别应该注意。所得到的单向均匀拉伸应力场中圆孔的解可以很容易用于求解双向均匀拉伸圆孔图4.18的应力分析中去。把(4.25)式中的角度用代替，就得到y向拉伸的解。如果y2向分布力的集度为 q2图4.18b，X向分布力的集度为 5图4.18c，那么用叠加法可求(q)(q2)(q1)(q2)q(qj(q2)a图4. 18两向均匀拉伸情况下应力场的叠加

38、即使在任意平面应力状态下，只要应力变化梯度不大而且圆孔直径又足够小。可以先求出该区域内的主应力1、 2或3。令q 1，q22或q23，再利用q式计算圆孔的应力集中。 严格地说这样做是有误差的，但其结果仍可以给出有实用价值的初步估算。4.9平面楔顶部受力.半无限平面受法向力4.9.1.平面楔顶部受力有一单位厚度的平面楔，楔体的中心角为2 ，下端当作无限延伸。在楔顶部单位厚度 上受方向沿对称轴的集中荷载F作用图4.19，不计体积力，计算楔形体中的应力。我们采用主应力坐标系求解该问题较为简单。为此，我们首先建立主用力坐标系并导出拉梅一麦克斯韦尔方程。所谓主应力坐标系是指由两个主力的迹线所构成的坐标系

39、。弹性体内的主应力1、 2正交，主应力1的迹线为3，主应力 2的迹线为S2。规定由1转到2逆时针向为正，而且增加时应力矢量逆时针向转时为 S正向图4.20。在主应力坐标系下，每 个以两组平行的坐标面截得的微单元体上仅有正应力1和2作用，而没有剪应力作用。令12，12(a)图4.19a平面楔受集中力图4. 20主应力坐标系根据斜方向上的应力公式可以得到x、 y方向的应力分别为1X(cos2)21y 2(cos2)(4.27)Xysin 2xy 2把4.27）式代入平衡微分方程2.2丨式的第一式，注意到平衡微分方程为和 都是X、y的函数。那么主应力坐标系下的cos 22 sin2sin 22cos

40、20xxx yyb为了简单起见，现在就主应力迹线 s1恰好与x方向一致，而且主应力迹线s2也恰好与y方向一致的特殊情况导出主应力迹线坐标下的平衡微分方程。由于我们并不确知单元体上两个主应力的大小，这里把和x方向一致的主应力作为1，和y方向一致的主应力作为2并不影响对问题的讨论。显然,0 时 cos2 1，sin 20，dqdx，ds2dy，所以b式可以写成cSiS2把a式代入c式， 正是主应力 2迹线曲率，用曲率半径表示为ds2ds2以有d做与此一样的推导,可以把平衡微分方程2.2丨的第二式也写成用主应力及其迹线的Si曲率表示的形式，由此得出主应力坐标下的平衡微分方程一一拉梅一麦克斯韦尔方程。

41、4.28S2楔顶部受集中荷载F的边界条件为显然,的直线都是主应力 1迹线。由于本问题属于对称问题，所以0的对称面上没有剪应力作用,0直线也是一条主应力1迹线。显然三条主应力迹线交于一点。根据主应力迹线的性质可以推断：三条主应力1迹线的交点就是这种主应力迹线的一个交汇点，也就是说1的主应迹线是会聚于 0的射线族。另一组主应力2迹线与该射线族中各条主应力迹线正交，故必为一组以0为圆心的同心圆弧。可见主应力迹线坐标系的1坐标线正是极坐标的极径线，而2坐标线正是 环线，即3，S2d 。这时曲率半径有1，2 ，而且1，2 。方程4.28作如上代换，主应力迹线坐标系一一极坐标系下的平衡微分方程变为 0(e) 0由(e)式中的第二式积分得到f()根据边界条件()0 ,所以f( ) 0(f)把(f)式代入e式的第一式，得出解此方程得到(g)(h)K()把式和(g)式代入应力表示的相容方程4.7式2()3 0由h式得1K ( ) K( )0为自变量，所以有K ( ) K( )0解之得到K ( ) Icos J sin代入g式，有1 (I cos J sin ) i式中I、J是待定