圆锥曲线公式大全

1、圆锥曲线知识考点、直线与方程1、倾斜角与斜率：k tan (0Wa< 180) yy1x2 X12、直线方程：点斜式：直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k ： y y0 k X X0斜截式：已知直线l的斜率为k ,且与y轴的交点为 (0,b)： y kx b两点式：已知两点 Pl(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1 x2,y1 y2)： -yy1 ny x x1 x2 x1截距式：已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为 B(0,b)： 2x y 1 a bAC一般式：Ax By C 0 (A、B不同日为0,斜率k 一，y轴截距为 一)BB(6)k不存在 90o

2、垂直x轴过(a,b)的直线方程为x a3、直线之间的关系:11 : yk1xk2xb2平行:I"ki k2且 bib2ki, k2都不存在且b2qC2k1.k21k1垂直:I1|2k2平行系方程：与直线Ax By垂直系方程:与直线Ax By定点(交点)系方程k1不存在，k2 00平行的方程设为:0垂直的方程设为:AA2AxBx一k- 八、I1 : A1x B1y C1过两条直线11171I2：A2x B2y C20,0ByAyB1B2的交点的方程设为：A1x B1 y C 1( A?x B2y C 2)0反之直线 A»B1y C1 (A2x B2yC2)0中，取任何一切实数

3、R,则直线一定过定点(x。，y ° )11 : A1xB1yC10,即111,两条直线的交点(x y )12:A2xB2y C2 0( 0, y0)4、距离公式:(1)两点间距离公式：两点 R(X1,X2),P2(X2，y2)： |P(2)点到直线距离公式：点 P(Xo, yo)到直线 1 : Ax By C(3)两平行线间的距离公式：11： Ax By C1 0 与 12： Ax二、圆与方程1、圆的方程：标准方程：x a 2 y b 2一般方程：x2 y2 Dx Ey其中圆心为(D, E),半径为r 222、直线与圆的位置关系点(x0,y0)和圆(x a)2(y点在圆内(x0点在圆

4、上(x0点在圆外(x0直线Ax By C 0与圆(x a)2dr相离0;dr相切0;dr相交0.切线方程:(1)当点P(x0,y0)在圆-22x2x1 y2y1Ax0 By。C22.A2 B2By C2 0平行，则d .,.A2 B22r 其中圆心为(a,b),半径为r .F 0 ( D2 E2 4F 0)1 后E2 4F .2.22 .一.b) r的位置关系有三种：a)2(y0b)2r2a)2(y0b)2r2a) 2(y0b)2r222 .(y b) r的位置关系有三种：222,2x y r 上x°xy°y rk不存在】弦长公式:|AB| 2,r2 d2.1 k2 . (

5、x1x2)2 4Kx23、两圆位置关系：dO1O2外离:有4条公切线外切:有3条公切线相交:有2条公切线内切:有1条公切线内含:有0条公切线三、圆锥曲线与方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上>,1与1图形N标准方程22“1 a b 0225 b21ab 0第f义到两定点F1、F2的距离之和等于常数 2 a ,即 |MF1| |MF2| 2a (2aFRI)第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e,即MFe (0 e 1)d范围a x a 且 b y bb x b且 a y a顶点1a,0、2 a,01 0, b、2 0,b1 0, a、2 0,a1b,0、2 b,01.椭圆

6、圆(x a)2 (y b)2 r2 (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r2(2)当点P(xo，y0)在圆x2 y2r2外，则设直线方程 y y° k x x0 ,并利用d=r求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线轴长长轴的长 2a短轴的长 2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称住日 八'、八、F1c,0、F2 c,0F1 0, c、F2 0,c焦距IF1F2I 2c (c2 a2 b2)离心率c Qfa2 b2/. b2 s八eJ 2 J2 J1 (0 e 1)a Va V aV a准线方程焦半径M (xo,yo)2 a xc

7、左焦半径：MF1| a ex0右焦半径：MF2 a e%2 a y-c下焦半径：|MF1 a ey0上焦半径：|MF2 a ey0焦点三角形面积C,2,-、1 -S MF1F2b tan - (F1MF2)-PF1 ?PF2?sinc?y°通径 .- 2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2b_a2.双曲线焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程22xy -2" 1 a 0, b 0ab22yx-2 -21 a 0, b 0ab第f义到两定点Fi、F2的距离之差的绝对值等于常数2a,即 | MF1 | | MF21 2a ( 0 2a |F1F2 |)第二定义与一定点的距离

8、和到一定直线的距离之比为常数e,即世 e (e 1)d范围或 x a x a, y Ry a 或 y a , x R顶点1a,0、2 a,01 0, a、2 0,a轴长实轴的长 2a虚轴的长 2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称住日 八'、八、F1c,0、F2 c,0F1 0, c、F2 0,c焦距IF1F2I 2c (c2 a2 b2)离心率e c惇庐产(e 1) aaa aa a准线方程2 a xc2 a y 一c渐近线方程b y x aa y - xb焦半径M MR)M在右支左焦.lMF 1 1右焦：|MF 2M在左支左焦. IMF 11右焦：|mf 2ex 0aex

9、0aex0 aex。 aM上支左焦：|mf 1| 右焦：|MF 2M下支左焦. lMF1 右焦：|mf 2ey 0a| ey 0aey 0 aey° a焦点三角形面积C1_2/L、1S MF1F2b cot2 (F1MF2)-PF1?PF2?sinc?y°通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bLa【备注】1、双曲线和其渐近线得关系:22由双曲线求渐进线：x2当 a b2 x -2 a2 匕 b22 y_ b22 x -2 a由渐进线求双曲线:b y xy - x aba2 y_ b22 x 2 a22xy2T2"ab2x-2a2 y b22.等轴双曲线实轴和虚轴等

10、长的双曲线其离心率e= 2渐近线2方程设为X2、求弦长的方法：利用两点间距离公式求弦长;弦长公式l 1 k23.抛物线XiX2,(1 k2)(xi x2)24x1x2(消y)y21 J(1 ;)(yi y2)2 4yiy2(消x)五、.直线与圆锥曲线的关系图形334卜巫一标准方程2-y 2 pxp 02-y2 pxp 02-x 2 pyp 02-x2 pyp 0开口方向向右向左向上问卜定义与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）顶点0,0离心率e 1对称轴x轴y轴范围x 0x 0y 0y 0住日 八'、八、F -,02F京F 0仁F 0T准线方程x

11、-P2x px 2y I焦半径M (xo,y°)MF 1 x0 pMFx卫 x0 2MF | y -2MFpy0 一2通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH 2p焦点弦长公式ABx1 x2 p参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔1、直线与圆锥曲线的关系2-,一 X如：直线y=kx+b与椭圆孑2yb2= 1 ( a>b>0)的位置关系:直线与椭圆相交？y = kx + b22a2+b2=1有2组实数解，即A>0.直线与椭圆相切？y = kx + b22抖31有1组实数解，即A=0,直线与椭圆相离？y = kx + b22H=1没有实数解，即<【备注】(1)韦达定理(根与系数的关系)X1和X2方程AxBy C 0的两根X1X2Xi .X2BACA(2)V、y1yyyiy2V2V2kxi b则有| X1kX 2 bX2 | (X1 X2)24X1X2则有下列结论k(Xik(X1k 2X1X2X2) bX2)k (x1 X2) b2、与弦的中点有关的问题常用“点差法”： 把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差