CAD技术基础 第5章 图形变换

1、构成图形的要素有两个：构成图形的要素有两个：刻画形状的点、线、面、体刻画形状的点、线、面、体反映物体表面属性或材质的明暗、灰度、反映物体表面属性或材质的明暗、灰度、色彩色彩实体在计算机内部的表现方式？实体在计算机内部的表现方式？ F1(E4)V1(V4)V2V3(E6)(E5)E2E3E1(F4)(F2)(F3)GE1E6E5E4E3E2V4V3V2V1（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4实体在计算机内实体在计算机内部的表现方式？部的表现方式？ 纪录几何信息纪录几何信息； 网状图网状图V3V2V1E1E6E5E4E3E2GV4（x1,

2、y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4顶点表（几何关系）顶点表（几何关系）顶点号坐标值VFPVAPV1V2V3V4x1,y1,z1x2,y2,z2x3,y3,z3x4,y4,z40V1V2V3V2V3V40逻辑结构逻辑结构V3V2V1E1E6E5E4E3E2GV4（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4 F1(E4)V1(V4)V2V3(E6)(E5)E2E3E1(F4)(F2)(F3)棱线号顶点号EFPEAPE1E2E3E4E5E6V1，V2V2，V3V3，V1V1，V4V4，V2V4，

3、V30E1E2E3E4E5E2E3E4E5E60棱线表（拓扑关系）棱线表（拓扑关系）逻辑结构逻辑结构V3V2V1E1E6E5E4E3E2GV4（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4 F1(E4)V1(V4)V2V3(E6)(E5)E2E3E1(F4)(F2)(F3)（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）面表面表表面号组成棱线FFPFAPF1F2F3F4E1 E2 E3E2 E6 E5E1 E5 E4E3 E4 E6 0 F1F2F3F2F3F40GE1E6E5E4E3E2V4V3V2V1F1F2

4、F3F4引引 言言 对于一个绘图系统来说，对于一个绘图系统来说，不仅能用不仅能用图形基本元图形基本元素的集合素的集合构成复杂的构成复杂的二维静态图形二维静态图形通过三维的几通过三维的几何体来何体来定义零件的空间模型定义零件的空间模型，而且还应该可以对该，而且还应该可以对该模型进行模型进行编辑处理编辑处理，如围，如围绕任一指定的轴旋转绕任一指定的轴旋转，以，以利于从某一最有利的角度去观察它，对它进行修改。利于从某一最有利的角度去观察它，对它进行修改。 软件的这些功能是基于图形变换的原理实现的。软件的这些功能是基于图形变换的原理实现的。图形变换是计算机绘图的基础内容之一。图形变换是计算机绘图的基础

5、内容之一。 p图形变换：图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。新的图形。l 图形变换的两种形式：图形变换的两种形式：1.1.图形不变，坐标系改变：图形不变，坐标系改变：变动后图形在坐标系中各变动后图形在坐标系中各点的坐标值发生变化；点的坐标值发生变化；2.2.图形改变，坐标系不变。图形改变，坐标系不变。变动后该图形在新坐标系变动后该图形在新坐标系下各点具有新的坐标值。下各点具有新的坐标值。 可以将图形可以将图形放大放大或或缩小缩小，或者对图形作不同方向，或者对图形作不同方向的的拉伸拉伸来使其扭曲变形来使其扭曲变形 本本 章章 要要 点点图形由图

6、形的图形由图形的、顶点之间的、顶点之间的以及组成图形的以及组成图形的面和线的面和线的所决定，所决定，构成图形的基本要素是点构成图形的基本要素是点。 对一个图形作几何变换，实际上就是对一系列点进行变换对一个图形作几何变换，实际上就是对一系列点进行变换n点和图形的表示点和图形的表示 （1 1）点的表示：）点的表示：在在二维平面内二维平面内，一个点通常用它的两，一个点通常用它的两个坐标（个坐标（x，y）来表示。为了便于进行各种变化运算，通）来表示。为了便于进行各种变化运算，通常把二维空间中的点表示成常把二维空间中的点表示成21行矩阵或表示成行矩阵或表示成12列矩列矩阵，即阵，即或xyxy 在三维空间

7、内，一个点通常用它的三个坐标（在三维空间内，一个点通常用它的三个坐标（x，y，z）来表）来表示。为了便于进行各种变化运算，通常把三维空间中的点表示示。为了便于进行各种变化运算，通常把三维空间中的点表示成成3x1行矩阵或表示成行矩阵或表示成1x3列矩阵，即：列矩阵，即：2 2）平面图形和空间立体的表示：平面图形和空间立体的表示：用点的集合表示。用点的集合表示。三角形的三个顶点坐标三角形的三个顶点坐标 a( x1, y1 ), b( x2, y2 ), c( x3, y3 )，用矩阵，用矩阵表示：表示： 3212121nnnnzzzyyyxxx1122332nxyxyxyxyzxyzp 图形可用点

8、集表示，点集可用矩阵表示。图形可用点集表示，点集可用矩阵表示。l 图形的基本变换就可以通过点集的变换来实现。图形的基本变换就可以通过点集的变换来实现。l 因此对因此对点集的变换点集的变换可以通过相应的可以通过相应的矩阵运算矩阵运算来实现。来实现。旧点（集）旧点（集）变换矩阵变换矩阵新点（集）新点（集）矩阵运算矩阵运算对于二维空间中的任意一点对于二维空间中的任意一点P（x,y)，该点由某一位置，该点由某一位置变换到另一位置变换到另一位置 ,就可以用矩阵乘法来实现。就可以用矩阵乘法来实现。即即) , (yxPabTcd为变换矩阵为变换矩阵 P TP abxyaxcybxdyxycd例如例如：比例变

9、换：比例变换矩阵形式：矩阵形式：xyxSxySy 00 xxyySxyxyx Sy SSPP T1、比例变换比例变换2、镜射变换、镜射变换 3、旋转变换、旋转变换 4、错切变换、错切变换 5、平移变换、平移变换 1 比例变换比例变换 图形中的每一个点以图形中的每一个点以坐标坐标原点为中心原点为中心，按，按相同的比例相同的比例进行进行放大放大或或缩小缩小所得到的变所得到的变换称为换称为用来改变一物体大小，用来改变一物体大小，也称为也称为缩放变换缩放变换。1、比例变换、比例变换几何关系表达式：几何关系表达式： 如果要对一个多边形进行比例变换，那么可把各如果要对一个多边形进行比例变换，那么可把各顶点

10、的坐标（顶点的坐标（x，y）均乘以比例因子）均乘以比例因子a，d，以产生变，以产生变换后的坐标（换后的坐标（x，y）。）。xa xyb y 矩阵形式：矩阵形式：比例变换的比例变换的变换矩阵变换矩阵为：为： abxyxycd0 0axyxyaxdydxa xyb y 00aTdPP T讨讨 论：论：l恒等变换：恒等变换：a= d=1 ，变换后点的坐标不变。，变换后点的坐标不变。l等比变换：等比变换：a=d1 ，n当当 a=d1 时，变换后图形等比例放大时，变换后图形等比例放大 。n当当 a=d1 时，变换后图形等比例缩小。时，变换后图形等比例缩小。 l不等比变换：不等比变换： a d，变换后图形

11、产生畸变。变换后图形产生畸变。a=d1a=d1a d例如，原图形的个点坐标为例如，原图形的个点坐标为A(16 20, ), B(20 ,20 ),C(20,28 ), D(24,28 ), E(24,32 ),F(12 ,32 ), G(12 ,28 ), H(16 , 28), 若比例若比例变换矩阵为：变换矩阵为： 求图形变换后的个点坐标。求图形变换后的个点坐标。 点集合矩阵为点集合矩阵为P P2000.5T16202020202824282432123212281628T162032 10202040 10202840 1424282048 14243200.548 16123224 16

12、122824 14162832 14P T 2、镜射变换、镜射变换 镜射变换镜射变换即产生即产生图形的镜像图形的镜像，用来计算镜射图形，也称，用来计算镜射图形，也称为为对称变换对称变换。 包括对于包括对于坐标轴坐标轴、坐标原点、坐标原点、4545直线和任意直线直线和任意直线的的镜射变换。镜射变换。(1) 对对X 轴轴的镜射变换的镜射变换OXY原始位置对X轴镜射几何关系表达式：几何关系表达式：1）对）对坐标轴坐标轴的镜射变换的镜射变换矩阵形式：矩阵形式：变换矩阵变换矩阵为：为：xxyy abxyxycd 1001xyxyxy1001xTPP T(2) 对对Y 轴轴的镜射变换的镜射变换变换矩阵变换

13、矩阵为：为：几何关系表达式：几何关系表达式：矩阵形式：矩阵形式：OXY对对Y轴镜射轴镜射原始位置1）对）对坐标轴坐标轴的镜射变换的镜射变换xxyy abxyxycd 1001xyxyxy 1001yTPP T2) 对对原点原点的镜射变换的镜射变换变换矩阵变换矩阵为：为：几何关系表达式：几何关系表达式：矩阵形式：矩阵形式：OXY原始位置对原点镜射xxyy abxyxycd 1001xyxyxy 1001oTPP T3）对）对45线的镜射变换线的镜射变换变换矩阵变换矩阵为：为：几何关系表达式：几何关系表达式：矩阵形式：矩阵形式：（1）对）对+45线线的镜射的镜射YXY原始位置原始位置对对+45线镜

14、射线镜射xyyx abxyxycd 0110 xyxyyx0110TPP T变换矩阵变换矩阵为：为：几何关系表达式：几何关系表达式：矩阵形式：矩阵形式：（1）对）对 -45线线的镜射的镜射OXY原始位置原始位置对对-45线镜射线镜射xyyx 0110 xyxyyx abxyxycd0110TPP T3）对）对45线的镜射变换线的镜射变换3、旋转变换、旋转变换旋转变换：旋转变换：物体上的各点绕一物体上的各点绕一坐标系原点坐标系原点沿圆周路沿圆周路径作转动称为旋转变换。可用旋转角表示旋转量的径作转动称为旋转变换。可用旋转角表示旋转量的大小。大小。规定：规定：逆时针方向为正，顺时针方向为负。逆时针方

15、向为正，顺时针方向为负。 一个点由位置（一个点由位置（x，y）旋转到（）旋转到（x，y）的角）的角度为自水平轴算起的角度，度为自水平轴算起的角度， 为旋转角，可由三角为旋转角，可由三角关系得。关系得。设点（设点（x，y）绕坐标原点逆时针旋转）绕坐标原点逆时针旋转角，则点角，则点的数学表达式为：的数学表达式为：式中( , )(,)P x yPxyx= rcos(+) = r(coscossinsin) = x cos y siny= rsin (+) =r(sincos cossin) = x sin+ y cosXYO(x,y)(x,y)式中变换矩阵变换矩阵为：为：矩阵形式：矩阵形式：注意注意

16、: : 图形的图形的旋转旋转是是绕坐标原点绕坐标原点旋转旋转角，且角，且逆时针为正逆时针为正，顺时针为负顺时针为负。 abxyxycd cossincossinsincossincosxyxyxyxy cossinsincosTPP T错切变换错切变换是图形的是图形的每一个点每一个点在某一方向上坐标在某一方向上坐标保持不保持不变变，而，而另一坐标方向上坐标进行另一坐标方向上坐标进行线性变换线性变换。错切用于描述受到扭曲、剪切后的几何体形状。错切用于描述受到扭曲、剪切后的几何体形状。4、错切、错切= 在在沿沿X 轴的错切变换轴的错切变换中，中，Y坐标不变坐标不变，X 坐标有坐标有一增量一增量。变

17、换后原来平行于。变换后原来平行于Y 轴的直线，向轴的直线，向X 轴方向轴方向错切成与错切成与X 轴成一定的角度。轴成一定的角度。 （1） 沿沿X 轴轴向错切向错切 几何关系表达式：几何关系表达式：变换矩阵变换矩阵为：为：矩阵形式：矩阵形式：xxcyyy 101xyxyxcyyc abxyxycd101TcPP T当当c0时，错切沿着时，错切沿着X 轴的正向；当轴的正向；当c0时，错切沿时，错切沿X轴负向。错切直线与轴负向。错切直线与X轴的夹角为：轴的夹角为： 例题：例题：如果设如果设c=2 ，对图，对图65所示方形图框进行错所示方形图框进行错切变换，计算变换后图形各点的坐标。切变换，计算变换后

18、图形各点的坐标。（1） 沿沿X 轴轴向错切向错切 1tanycyca=（10,10） （10,0）XO（0,10）YYO（10,0）X01020101010103010100211000000 在在沿沿Y轴的错切变换轴的错切变换中，中，X坐标不变坐标不变，Y 坐标有一坐标有一增量增量。变换后原来平行于。变换后原来平行于X 轴的直线，向轴的直线，向Y 轴方向错轴方向错切成与切成与Y 轴成一定的角度。轴成一定的角度。（2） 沿沿Y轴轴向错切向错切 几何关系表达式：几何关系表达式：变换矩阵变换矩阵为：为：矩阵形式：矩阵形式：xxybxy 101bxyxyxbxy abxyxycd101bTPP T当

19、当b0时，错切沿着时，错切沿着Y 轴的正向；当轴的正向；当b0时，错切沿时，错切沿Y轴负向。错切直线与轴负向。错切直线与X轴的夹角为：轴的夹角为： 例题：例题：如果设如果设b=2 ，对图所示方形图框进行错切变，对图所示方形图框进行错切变换，有换，有（2） 沿沿Y 轴轴向错切向错切 1tanxbxba=（10,10） （10,0）XO（0,10）YOXY（10,30） （10,20）（0,10）（0, 0）01001010101210301000110200000 令令X X、Y Y 轴方向的平移量分别为轴方向的平移量分别为Tx Tx 和和TyTy，则则 5 、平移变换、平移变换OXY图图68

20、平移变换平移变换*PPT=+旧点（集）旧点（集）变换矩阵变换矩阵新点（集）新点（集）矩阵运算矩阵运算是否满足图形变换的矩阵运算是否满足图形变换的矩阵运算?：平移平移是一是一物体物体从一个位置到另一个位置所作的从一个位置到另一个位置所作的直线移动直线移动。如果。如果要把一个位于要把一个位于P（x，y）的点移到新位置的点移到新位置p（x，y），），则只要在则只要在原坐标上加上平移距离原坐标上加上平移距离Tx和和Ty即可即可几何关系表达式：几何关系表达式：xxTxyyTy=+=+ 原有图形能实现平移吗原有图形能实现平移吗原因：原因：cy，bx均非常量均非常量问题：问题：1. 1.如何用矩阵来表示平移

21、变换后点的坐标变换呢？如何用矩阵来表示平移变换后点的坐标变换呢？yxdybxcyaxdcbayx比例变换比例变换镜射变换镜射变换错切变换错切变换旋转变换旋转变换 abxyxycdl 如果将如果将2 22 2的变换矩阵扩充为的变换矩阵扩充为3 32 2矩阵，是否可矩阵，是否可以？以？l 图形的点集矩阵是图形的点集矩阵是n n2 2阶，而变换矩阵是阶，而变换矩阵是3 32 2阶，阶，两者两者无法相乘无法相乘，不能进行图形变换运算。，不能进行图形变换运算。l 可将可将xx，y y 扩充为扩充为xx，y y，1 1 ，即把点集矩阵扩充，即把点集矩阵扩充为为n n3 3阶矩阵。阶矩阵。mdblcaTn

22、结论：结论：用用2 2的矩阵来变换一个物体时有两种限制。的矩阵来变换一个物体时有两种限制。l 第一，第一，它的它的变换变换要么要么针对原点针对原点要么是要么是针对针对X 轴轴、Y 轴进行轴进行变换变换，但，但不可能对不可能对任意一个点任意一个点或者或者任意一条直线任意一条直线作变换作变换。l 第二，它第二，它没有包含没有包含平移变换平移变换。如果要完成平移变换则必须。如果要完成平移变换则必须加上加上一个与一个与顶点数顶点数有关的有关的NM的矩阵的矩阵。p 在计算机图形学中许多的变换不可能由在计算机图形学中许多的变换不可能由单一的一单一的一个矩阵来完成个矩阵来完成，而必须由，而必须由几个矩阵组合

23、几个矩阵组合，才能完成，才能完成一系列的变换。一系列的变换。要做到这一点，要做到这一点，不同格式的变换矩阵是不同格式的变换矩阵是不可能连续运算的不可能连续运算的。p为了为了方便连续的数学变换方便连续的数学变换，希望能够用，希望能够用一种一一种一致的致的或或同类的方法来处理不同的变换同类的方法来处理不同的变换，使得不使得不同的基本变换能很容易地同的基本变换能很容易地结合在一起结合在一起，形成各形成各种复杂的组合变换种复杂的组合变换。解决方法解决方法引入引入齐次坐标技术齐次坐标技术齐次坐标技术齐次坐标技术基本思想：基本思想：把一个把一个n维空间维空间的几何问题，的几何问题，转换转换到到n1维空间维

24、空间中去解决。中去解决。如如二维平面二维平面上的上的点点P（x，y）:齐次坐标齐次坐标表示为表示为Pw（ wx，wy ，w），），w是任一不为是任一不为0的比例系数。的比例系数。齐次坐标表示齐次坐标表示（x，y，w）二维笛卡儿直角坐标二维笛卡儿直角坐标（x/w，y/w）p规格化齐次坐标：规格化齐次坐标：齐次坐标表示不是唯一的，通常齐次坐标表示不是唯一的，通常将将w1时的时的齐次坐标称为规格化的齐次坐标齐次坐标称为规格化的齐次坐标。使用齐次坐标表示法在计算机图形处理中的优越性：使用齐次坐标表示法在计算机图形处理中的优越性： 提供了用矩阵运算将二维、三维或更高维空间中提供了用矩阵运算将二维、三维或

25、更高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。方法。将平移、旋转、缩放等变换用统一的方式，即用矩阵将平移、旋转、缩放等变换用统一的方式，即用矩阵乘积的方式表达。乘积的方式表达。 例：平面三角形例：平面三角形A齐次坐标矩阵表示齐次坐标矩阵表示 123oxy111332211yxyxyxA 若图形若图形A经过某种变换后得到图形经过某种变换后得到图形B，则有：，则有： B=ATT称为变换矩阵称为变换矩阵，二维：，二维：T为为3x3矩阵，矩阵， 三维：三维：T为为4x4矩阵。矩阵。A二维图形的几何变换二维变换矩阵（齐次坐标表示时）为：二维

26、变换矩阵（齐次坐标表示时）为：2DabeTcdflms几何变换的矩阵运算几何变换的矩阵运算(齐次坐标表示齐次坐标表示)（1 1）列表示法）列表示法（2 2）行表示法（）行表示法（）112*yxTyxDDTyxyx2*11 （1 1）比例变换）比例变换变换矩阵为：变换矩阵为： 1000000daT坐标点坐标点(x，y，1)变换运算：变换运算：1100000011dyaxdayxyxl若若a=d=1，为恒等变换，变换后，为恒等变换，变换后的图形不变；的图形不变；l若若a=d1，1时为等比例放大，时为等比例放大，0沿沿+x方向错切；方向错切； c0沿沿+y方向错切；方向错切； b1等比例缩小；等比例

27、缩小；0s1时是缩小比例时是缩小比例l当当0s1时是放大比例。时是放大比例。例例：对如图所示的长方形体进行比例变换，其中：对如图所示的长方形体进行比例变换，其中x 、y、 z各方向的比例系数分别为各方向的比例系数分别为1/2，1/3和和1/2，求变，求变换后的长方形体各点坐标。换后的长方形体各点坐标。比例变换矩阵比例变换矩阵T各点齐次坐标：各点齐次坐标：000 1200 12 30 1030 1002 1202 12 32 1032 1P1000210003100020001sTyzxyzxABCDEFGH图7-6 比例变换223111000 1000 1200 1100 1100022 30

28、 1110 11000030 10 10 13002 100 1110002202 110 1100012 32 11111032 10 111sPP Tl在二维平面中，在二维平面中，镜射变换是对坐标轴的镜射镜射变换是对坐标轴的镜射。l在在三维空间三维空间中，立体的中，立体的镜射变换则镜射变换则即可即可对坐标轴对坐标轴的镜射，也可的镜射，也可对坐标平面对坐标平面的镜射，的镜射，只要只要将将恒等变换恒等变换的的单位矩阵单位矩阵T中的有中的有关项关项的符号改变即可。的符号改变即可。1000010000100001sT 1)1)关于坐标平面镜射关于坐标平面镜射（1）对对xoyxoy平面的镜射平面的镜

29、射将将单位矩阵单位矩阵中控制中控制Z坐标的（坐标的（+1）改为（）改为（-1）即可。）即可。 变换矩阵为：变换矩阵为：1000010000100001xoymT,变换后的点坐标为：变换后的点坐标为：如何修改单位矩阵？如何修改单位矩阵？ , 111m xoyxyzxyzTxyz1000010000100001yozmT,（2）对）对yoz平面的镜射变换矩阵：平面的镜射变换矩阵：将将单位矩阵单位矩阵中控制中控制x坐标坐标的（的（+1）改为（）改为（-1）即可）即可变换矩阵为：变换矩阵为：变换后的点坐标为：变换后的点坐标为：如何修改单位矩阵？如何修改单位矩阵？ ,111m yozxyzxyzTxyz

30、 （3 3）对）对xozxoz平面的镜射平面的镜射将将单位矩阵单位矩阵中控制中控制Y坐标的坐标的（+1）改为（）改为（-1）即可。）即可。 变换矩阵为：变换矩阵为：1000010000100001xozmT,变换后的点坐标为：变换后的点坐标为：,111m xozxyzxyzTxyz（1）关于）关于X轴进行镜射变换轴进行镜射变换 相当于在相当于在yozyoz坐标平面内相对于原点进行镜射变换坐标平面内相对于原点进行镜射变换。 将将单位矩阵中单位矩阵中控制控制 Y Y和和Z Z坐标坐标的（的（+1+1）改为（）改为（-1-1）即可进行关于即可进行关于X X 坐标轴坐标轴对称变换。对称变换。10000

31、10000100001mxT变换矩阵为：变换矩阵为：变换后的点坐标为：变换后的点坐标为：111mxxyzxyzTxyz（2）关于）关于Y轴进行镜射变换轴进行镜射变换相当于相当于在在xozxoz坐标平面内坐标平面内相对于相对于原点原点进行进行镜射变换镜射变换。 将将单位矩阵中单位矩阵中控制控制X X和和Z Z坐标坐标的（的（+1+1）改为（）改为（-1-1）即可）即可进行关于进行关于Y Y 坐标轴坐标轴对称变换。对称变换。1000010000100001myT变换矩阵为：变换矩阵为：变换后的点坐标为：变换后的点坐标为：111myxyzxyzTxyz （3）关于）关于Z轴进行镜射变换轴进行镜射变换

32、 相当于相当于在在xoy坐标平面内坐标平面内相对于相对于原点原点进行进行镜射变换镜射变换。 将将单位矩阵中单位矩阵中控制控制 X和和Y坐标坐标的（的（+1）改为（）改为（-1）即）即可进行关于可进行关于Z坐标轴坐标轴对称变换。对称变换。1000010000100001mZT变换矩阵为：变换矩阵为：变换后的点坐标为：变换后的点坐标为：111mzxyzxyyTxyz 错切变换错切变换的含义是将坐标沿某一坐标轴方向按比例的含义是将坐标沿某一坐标轴方向按比例错移，错移，它将一个坐标方向的值按比例叠加到另一个坐它将一个坐标方向的值按比例叠加到另一个坐标轴上标轴上。错切变换是画。错切变换是画斜轴测图斜轴测

33、图的基础。的基础。yx沿y含z错切zyx 沿x含z错切错切变换为：错切变换为： 由变换结果可以看出，一个坐标的变化受另外由变换结果可以看出，一个坐标的变化受另外两个坐标变化的影响。两个坐标变化的影响。1010110000111skbcdfPP Txyyhixdyhzbxyizcxfyzxyz1000010101ihfdcbTsh 在上述在上述44变换矩阵中，变换矩阵中，令主对角线各元素为令主对角线各元素为1，第第4行和第行和第4列元素均为零，列元素均为零，可得到三维可得到三维错切变换矩错切变换矩阵阵，即，即(1)(1)沿沿x x方向含方向含y y错切错切 100001000010001dTyx

34、sh)(,zyx沿x含y错切 , ( )()11sh x yPP Txdyyzxyz 在在沿沿X 轴的错切变换轴的错切变换中，中，Y和和Z坐标不变坐标不变，X 坐标有坐标有一增量一增量。变换后。变换后原来平行于原来平行于Y 轴轴的的直线直线，向，向X 轴方向轴方向错切成与错切成与X 轴成一定的角度。轴成一定的角度。 变换矩阵为：变换矩阵为：变换后的各点坐标为：变换后的各点坐标为：1000010101ihfdcbTsh(2)(2)沿沿x x方向含方向含z z错切错切 zyx 沿x含z错切100001000100001hTzxsh)(, , ( )()11sh x zPP Tx hzyzxyz 在

35、在沿沿X 轴的错切变换轴的错切变换中，中，Y和和Z坐标不变坐标不变，X 坐标有一增量坐标有一增量。变换后。变换后原来平行于原来平行于Z 轴的直线轴的直线，向，向X 轴方向错切成与轴方向错切成与X 轴成一轴成一定的角度。定的角度。 变换矩阵为：变换矩阵为：变换后的各点坐标为：变换后的各点坐标为：1000010101ihfdcbTsh100001000010001bTxysh)(, , ( )11sh y xPP Txybxzxyz(3)(3)沿沿Y Y方向含方向含X X错切错切 在在沿沿Y 轴的错切变换轴的错切变换中，中，X和和Z坐标不变坐标不变，Y 坐标有一坐标有一增量增量。变换后。变换后原来

36、平行于原来平行于X 轴的直线轴的直线，向，向Y 轴方向错轴方向错切成与切成与Y 轴成一定的角度。轴成一定的角度。 zyx沿y含x错切变换矩阵为：变换矩阵为：变换后的各点坐标为：变换后的各点坐标为：1000010101ihfdcbTshyx沿y含z错切(4)(4)沿沿Y Y方向含方向含Z Z错切错切 在在沿沿Y 轴的错切变换轴的错切变换中，中，X和和Z坐标不变坐标不变，Y 坐标有一坐标有一增量增量。变换后。变换后原来平行于原来平行于Z 轴的直线轴的直线，向，向Y 轴方向错切轴方向错切成与成与Y 轴成一定的角度。轴成一定的角度。 100001000100001iTzysh)(, , ( )11sh

37、 y zPP Txyizzxyz变换矩阵为：变换矩阵为：变换后的各点坐标为：变换后的各点坐标为：1000010101ihfdcbTshzyx沿z含x错切(5)(5)沿沿Z Z方向含方向含X X错切错切 在在沿沿Z轴的错切变换轴的错切变换中，中，X和和Y坐标不变坐标不变，Z 坐标有一坐标有一增量增量。变换后。变换后原来平行于原来平行于X 轴的直线轴的直线，向，向Z 轴方向错轴方向错切成与切成与Z 轴成一定的角度。轴成一定的角度。 100001000010001cTxzsh)(, , ( )11sh z xPP Txycxzxyz变换矩阵为：变换矩阵为：变换后的各点坐标为：变换后的各点坐标为：10

38、00010101ihfdcbTshzyx沿z含y错切(6)(6)沿沿Z Z方向含方向含Y Y错切错切 在在沿沿Z轴的错切变换轴的错切变换中，中，X和和Y坐标不变坐标不变，Z坐标有一坐标有一增量增量。变换后。变换后原来平行于原来平行于Y 轴的直线轴的直线，向，向Z 轴方向错切轴方向错切成与成与Z 轴成一定的角度。轴成一定的角度。 100001000100001fTyzsh)(, , ( )11sh z yPP Txyzfyxyz变换矩阵为：变换矩阵为：变换后的各点坐标为：变换后的各点坐标为：1000010101ihfdcbTsh错切变换错切变换101011100001bcdfxyzxdyhzbx

39、yizcxfyzhi若若d d、h h不为零，则沿着不为零，则沿着x x轴方向有错切轴方向有错切若若b b、i i不为零，则沿着不为零，则沿着y y轴方向有错切轴方向有错切若若c c、f f不为零，则沿着不为零，则沿着z z轴方向有错切轴方向有错切b b、c c是关于变量是关于变量x x的错切的错切d d、f f是关于变量是关于变量y y的错切的错切h h、i i是关于变量是关于变量z z的错切的错切l 旋转变换旋转变换是是使空间立体绕使空间立体绕旋转轴旋转轴转过一个角度转过一个角度，旋，旋转后的转后的立体只改变了空间位置，立体只改变了空间位置，它的形状没有发生它的形状没有发生任何变化任何变化

40、.l 对于旋转变换中，对于旋转变换中，旋转角度的正负我们用右手定则旋转角度的正负我们用右手定则来确定，来确定，既右手大拇指指向既右手大拇指指向 旋转轴的正向，其余四个手指旋转轴的正向，其余四个手指 指向表示旋转方向，指向表示旋转方向，符合符合 右手定则，旋转角度为正，右手定则，旋转角度为正， 否则为负。否则为负。 zyX 旋转变换的角度方向绕绕Z坐标轴旋转坐标轴旋转此时，此时，Z坐标不变，坐标不变，X，Y坐标相应变化。坐标相应变化。(x, y, z)(x, y, z)xzy 在在XOY平面绕原点平面绕原点O旋旋转可视为绕转可视为绕Z轴旋转，只是轴旋转，只是Z为零；为零；l 在三维旋转变换中，在

41、三维旋转变换中，Z坐坐标不为零，但在绕标不为零，但在绕Z轴的旋轴的旋转过程中，转过程中，Z坐标不发生变坐标不发生变化化，因此，三维旋转变换，因此，三维旋转变换矩阵只是在矩阵只是在二维旋转基础二维旋转基础上加一上加一Z坐标坐标，此时，此时，Z坐标不变，坐标不变，X，Y坐标相应变化。坐标相应变化。xyo(x, y, z)(x, y, z)x = cos(+) = x cos y siny = sin (+) = x sin+ y cosz = zxzy绕绕Z坐标轴旋转坐标轴旋转在二维图形旋转变换中，我们已经用图解法证得在二维图形旋转变换中，我们已经用图解法证得在在XOY平面中图形绕原点平面中图形绕

42、原点O的旋转变换矩阵为的旋转变换矩阵为1000cossin0sincosT绕绕Z坐标轴旋转坐标轴旋转1000010000cossin00sincoszT绕绕Z 轴旋转的三维旋转变换矩阵为：轴旋转的三维旋转变换矩阵为：空间上的立体绕空间上的立体绕X轴旋转时，轴旋转时，立体上各点的立体上各点的X坐标坐标不变，只是不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化坐标发生相应的变化。x= x y= cos(+) = y cos- z sin z= sin(+) = y sin+z cosXYZ(x,y,z)(x,y,z)OYO(x,y,z)(x,y,z)Z2) 绕绕x轴旋转轴旋转绕绕X轴旋转的变换矩阵轴旋转的变换矩

43、阵 可得绕可得绕X轴旋转变换矩阵轴旋转变换矩阵10000cossin00sincos00001xT Y坐标不变，坐标不变，X，Z坐标相应变化。坐标相应变化。x= sin(+) = x cos + z siny= yz= cos(+) = z cos- x sinXZ(x,y,z)(x,y,z)3) 绕绕y轴旋转轴旋转XOZ(x,y,z)(x,y,z)绕绕Y轴的旋转变换矩阵轴的旋转变换矩阵10000cos0sin00100sin0cosyT可得绕可得绕Y轴旋转变换矩阵轴旋转变换矩阵 10000100 111001011txyzxyzTxyzlmnxlymzn将空间一点将空间一点(x，y，z)平移

44、到一个新的位置平移到一个新的位置(xy，z)的变换的变换.1010000100001nmlTtZYX(x,y,z)(x,y,z)平移变换平移变换111111222222888888111111xyzxyzxyzxyzTxyzxyz 式中：式中：T为所要进行的图形变换矩阵为所要进行的图形变换矩阵 假定一六面体假定一六面体ABCDEFGH各点的坐标分别为（各点的坐标分别为（x 1, y 1, z 1）,., (x 8, y 8, z 8)，则经过图形变换后的坐，则经过图形变换后的坐标为：标为：相对任一参考点的三维变换相对任一参考点的三维变换相对于参考点相对于参考点F(xf，yf，zf)作作比例、旋

45、转、错切比例、旋转、错切等三等三维变换的过程维变换的过程分为以下三步分为以下三步： (1)将参考点将参考点F平移至坐标原点平移至坐标原点； (2)针对针对原点进行三维几何变换原点进行三维几何变换（比例、旋转、错切比例、旋转、错切）；）； (3)进行反变换。进行反变换。) 1( )(321nTTTTPTPPn例：相对于例：相对于F(xf，yf，zf )点进行点进行比例变换比例变换T=Tt Ts T-t(x,y,z)zyxzyx(x,y,z)zyx(x,y,z)zy(x,y,z)xFF图5-8 相对参考点F的比例变换(a)原图(b)移至坐标原点(c)基本比例变换 (d)移回F点原来位置绕任意轴的三

46、维旋转变换绕任意轴的三维旋转变换问题：问题：如何求出为如何求出为TRAB。 RABTzyxzyx 1 1问题描述：问题描述：设三维空间中有一条设三维空间中有一条任意直线任意直线AB，它由直线上一点它由直线上一点Q和沿直线方向的单位方向向量和沿直线方向的单位方向向量n(n1,n2,n3)确定确定，Q点坐标为点坐标为(x0,y0,z0)，以这条直线为旋转轴做，以这条直线为旋转轴做旋转旋转的旋转变换，使三维空间的旋转变换，使三维空间中任意一点中任意一点P变成变成P。 XYZABPP P点绕AB轴旋转Q(x0,y0,z0)1. 1.做做平移交换平移交换T T( (X XA A，Y YA A，Z ZA

47、A) )，将坐标原点平移到，将坐标原点平移到A A点；点；2. 2. 旋转旋转并使直线并使直线ABAB与某一坐标与某一坐标轴重合；轴重合；3.3.做做绕通过坐标原点的旋转轴绕通过坐标原点的旋转轴ABAB旋转旋转角的角的旋转变换旋转变换；4.4.最后将最后将旋转变换旋转变换后的图形和直后的图形和直线一起作线一起作相反的旋转和移动相反的旋转和移动并并使直线回到原来位置。使直线回到原来位置。XYZABPP P点绕AB轴旋转Q(x0,y0,z0) 问题的关键在于问题的关键在于: : 如何转换成绕如何转换成绕X、Y或或Z轴旋转轴旋转的变换？的变换？ l绕绕X轴旋转轴旋转到到XOZ平面上平面上，然后再，然

48、后再绕绕Y轴旋转轴旋转，即可与即可与Z轴重合轴重合。lXYZn3n1n2XYZABPPQ(x0,y0,z0)1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移变换平移变换。2)做做绕绕x轴旋转轴旋转角角的变换的变换Tx()，使，使旋转轴落在旋转轴落在XOZ平面上平面上。3)做做绕绕y轴旋转轴旋转角角的变换的变换Ty()，使，使旋转轴与旋转轴与z轴重合轴重合：4) 做做绕绕z轴旋转轴旋转角角的的旋转变换旋转变换。5)做第三步的逆变换，即做做第三步的逆变换，即做旋转变换旋转变换Ty() ；做第二步的逆变换，；做第二步的逆变换，即做即做旋转变换旋转变换Tx(

49、)，做第一步的逆变换，即做，做第一步的逆变换，即做平移变换平移变换。 由上推导可看出，由上推导可看出，只要能求出只要能求出 、 的值，即可通过上式获得绕的值，即可通过上式获得绕AB轴的轴的变换矩阵变换矩阵TRAB 。任意直线为旋转轴的旋转变换任意直线为旋转轴的旋转变换可分为可分为五步实现五步实现：1、平移使点、平移使点A（xA，yB，zC）位于坐标原点，）位于坐标原点，变换矩阵是：变换矩阵是： l具体变换步骤是：具体变换步骤是： 1010000100001CBAtzyxTXYZABPP P点绕AB轴旋转Q(x0,y0,z0) 旋转角应等于直线在旋转角应等于直线在yozyoz平面上的投影与平面上

50、的投影与z z轴轴夹角夹角 。 2、绕、绕x轴旋转，使直线处在轴旋转，使直线处在xOz平面上。平面上。2223nnn32cos,sinnnnn1ON 设：n2n3NzxyMnO 旋转角应等于直线在旋转角应等于直线在yoz平面上的投影与平面上的投影与z轴轴夹角夹角 。因此投影线与因此投影线与z轴夹角轴夹角的的旋转变换矩阵旋转变换矩阵是：是： 100000000001cossinsincosxT3222322223cossinnnnnnnaa=+=+lXYZn3n1n2 2、绕、绕x轴旋转，使直线处在轴旋转，使直线处在xOz平面上。平面上。3、绕、绕y轴旋转，使直线与轴旋转，使直线与z轴重合。轴重

51、合。n1zxynNO11cossinnnONnnON1ON 设：3、绕、绕y轴旋转，使直线与轴旋转，使直线与z轴重合。轴重合。如图，如图，旋转角应等于直线在旋转角应等于直线在XOZ平面上的投影与平面上的投影与z轴轴夹角夹角 。因此投影线与因此投影线与Z轴轴夹角夹角的的旋转变换矩阵旋转变换矩阵是：是： 100000001000100000001000cossinsincos)cos()sin()sin()cos(yT22231cossinnnnbb=+=lXYZn3n1n24、进行图形绕直线即绕、进行图形绕直线即绕z轴旋转，轴旋转，旋转矩阵是：旋转矩阵是：100001000000cossinsi

52、ncoszTlXYZn3n1n2图形绕空间任意轴旋转的总变换矩阵是图形绕空间任意轴旋转的总变换矩阵是 图形即为原图形绕指定直线旋转变换后的图形。图形即为原图形绕指定直线旋转变换后的图形。直线回到原来位置需要进行（直线回到原来位置需要进行（3）（）（1）的逆变换，）的逆变换，其中：其中：5、使直线回到原来位置、使直线回到原来位置111RABtxyzyxtTTT T TT T T-=1cossin0 0010 0sincos10000 1yT110000 cossin00sincos00001xT11000010000101tABCTxyz类似地，类似地，针对任意方向轴的变换的五个步骤：针对任意方

53、向轴的变换的五个步骤：使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平行平移变换。移变换。使任意方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行使任意方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转旋转变换变换，且旋转变换可能不止一次。，且旋转变换可能不止一次。针对该坐标轴针对该坐标轴完成变换完成变换。用用逆旋转变换逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。使方向轴回到其原始方向。用用逆平移变换逆平移变换使方向轴回到其原始位置。使方向轴回到其原始位置。 在工程设计中，产品的几何模型通常是用三面在工程设计中，产品的几何模型通常是用三面投影图来描述即用二维图形表达三维物体。投影图来描述即用二维

54、图形表达三维物体。p投影变换投影变换就是把三维立体（或物体）就是把三维立体（或物体）投射到投影投射到投影面面上得到上得到二维平面图形二维平面图形。p平面几何投影平面几何投影主要指主要指平行投影、透视投影平行投影、透视投影以及通以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图平面图形形：三视图、轴测图。：三视图、轴测图。平面几何投影可分为两大类：平面几何投影可分为两大类：透视投影透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的的投影中心到投影面之间的距离是有限的平行投影平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的的投影中心到投影面之间的距离是无限的SSS(a)透视

55、投影(b)正投影(c)斜投影 平面几何投影分为透视投影和平行投影根据根据投影线投影线是否是否垂直于垂直于投影平面投影平面， 平行投影可分为：平行投影可分为：l直角投影直角投影正投影（三视图）正投影（三视图）正轴侧投影正轴侧投影l斜角投影斜角投影 斜等侧斜等侧 斜二侧斜二侧投影方向投影方向投影平面投影平面投影平投影平面法向面法向投影方向投影方向投影平面投影平面(a)直角投影直角投影(b)斜角投影斜角投影 投影平投影平面法向面法向 直角投影直角投影正投影正投影又可分为：又可分为：正投影正投影（三视图三视图）和和正轴测图正轴测图。当当投影面投影面与与某一坐标轴某一坐标轴垂直垂直时时，得到的投影为，得

56、到的投影为正投影（正投影（三视三视图）图）；否则，得到的投影为；否则，得到的投影为正轴测图正轴测图。 投影方向投影平面(a)三视图(b)正轴测5-12 正投影xzyO投影平面投影方向zxy平面几何投影平面几何投影透视投影透视投影平行投影平行投影一点透视一点透视三点透视三点透视二点透视二点透视直角投影直角投影斜角投影斜角投影正投影正投影斜等侧斜等侧正轴侧正轴侧斜二侧斜二侧等轴侧等轴侧正三侧正三侧正二侧正二侧投影中心与投影投影中心与投影平面之间的距离平面之间的距离投影方向与投投影方向与投影平面的夹角影平面的夹角 投影平面投影平面 坐标轴的夹角坐标轴的夹角正面投影正面投影侧面投影侧面投影水平面水平面

57、投影投影平面几何投影分类平面几何投影分类p正投影变换：正投影变换：将空间三维物体，通过矩阵变换而获将空间三维物体，通过矩阵变换而获得得国家标准所规定国家标准所规定的的三个投影视图三个投影视图（即主视图、俯（即主视图、俯视图和、左视图）的视图和、左视图）的绘图信息绘图信息，这种变换就称为正，这种变换就称为正投影变换。投影变换。xzyOZYXY主视图俯视图侧视图7-13 三维形体及其三视图主 视 图俯 视 图 左 视 图 为了绘图机输出、屏幕显示由为了绘图机输出、屏幕显示由正投影变换正投影变换得到得到的三个的三个投影图投影图需要放在一个平面上。需要放在一个平面上。l 需要将三个投影图再进一步变换到

58、同一平面上。需要将三个投影图再进一步变换到同一平面上。实现方法是：实现方法是：保持保持XOZ面不动，面不动，将将XOY面绕面绕X轴顺时轴顺时针旋转针旋转90，再将再将ZOY面绕面绕OZ轴逆时针旋转轴逆时针旋转90。通过上面的变换就可以在一个平面内得到几何形体通过上面的变换就可以在一个平面内得到几何形体的三个投影图。的三个投影图。(1)(1) 确定三维形体上各点的位置坐标。确定三维形体上各点的位置坐标。(2)(2) 引入齐次坐标，求出所作变换相应的变换矩阵。引入齐次坐标，求出所作变换相应的变换矩阵。(3)(3) 将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形体将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形体

59、上各点上各点(x,y,z)(x,y,z)经变换后的相应点经变换后的相应点(x,z),(x,y)(x,z),(x,y)或或(y,z)(y,z)。 (4)(4) 由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的三由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的三视图。视图。 1） 主视图主视图 将三维形体向将三维形体向xoz面（又称面（又称V面）作垂直投影面）作垂直投影（即正平行投影），得到主视图。（即正平行投影），得到主视图。 xzyOZYXY主视图俯视图侧视图7-13 三维形体及其三视图1000000000100001VxozTT变换矩阵为：变换矩阵为： 1101VxyzxyzTxz只需要消去各点的只需要消去

60、各点的y坐标，即令单位矩阵中元素坐标，即令单位矩阵中元素e=0。xyOZX主视图主视图7-Z三维形体向三维形体向xoyxoy面（又称面（又称H H面）作垂直投影得到俯视面）作垂直投影得到俯视图，图，(1) (1) 投影变换投影变换(2)(2)使使H H面绕面绕x x轴转轴转-90-90(3)(3)使使H H面沿面沿z z方向平移一段距离方向平移一段距离-z -z0 0 xzyOZYXY主视图俯视图侧视图7-13 三维形体及其三视图 三维形体向三维形体向xoy面（又称面（又称H面）作垂直投影得到面）作垂直投影得到俯俯视图视图 (1) 投影变换，投影变换，消去各点的消去各点的Z坐标，即令单位矩阵中