数列的综合应用二

1、§08 数列的综合应用（2）【基础再现】1.等比数列an的前n项和为Sn，且 4a1，2a2，a3成等差数列若a11，则S4 答案：15意图：在等差数列与等比数列项的基础上构成新数列2. 若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a3bc10，则a的值为 答案：4意图：等差数列与等比数列项的小综合3.设an是公差不为0的等差数列，a12且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn 答案：意图：在等差数列与等比数列项的基础上构成新数列4.设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q 答案：2意图：在等差数列与等比数列项的基础

2、上构成新数列5. 观察下列数表:12，34，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15则2 008是此表中的第 行的第 个数答案 11 985解析 由数表中数的排列规律可知，第n行中的第一个数为2n1，此行共有2n1个数由2n12 0082n，得10n11.2 008在第11行中，设为第m个数.则有2 0081 024（m1）×1，m985.2 008是第11行中的第985个数.意图：数阵图的问题，关键考察第一列数，通常通过行与行之间或者第一列数与行数的关系。【典型例题】例1 已知数列an，anpq( p0，q0，pq，R，0，nN*)（1） 求证：数列 anpan 是等比

3、数列；（2） 数列an中，是否存在连续三项成等比数列？说明理由解：（1）anpq，anpanpqp(pq)q(qp)q0，pq，0，q为常数数列 anpan 是等比数列（2）取数列an的连续三项an，an，an2，nN*(an)anan2(pq)(pq)(pq)pq(pq)p0，q0，pq，0，pq(pq)0，即(an)anan2数列an中不存在连续三项成等比数列意图：子数列问题关于是否存在的问题，通常假定存在，再去证明成立或矛盾。例2 数列an、 bn 都是等差数列，它们的前n项和分别记为Sn、Tn，满足对一切nN*都有Sn3Tn（） 若a1 b1，试分别写出一个符合条件的数列an和 bn

4、；（） 若a1b11，数列cn满足：cn4a(1)1·2b，求最大的实数，使得当nN*恒有cn1 cn成立解：（1）设数列an、 bn 的公差分别是d，d 则Sn3（n3）a1 d，Tn, nb d对一切nN*，有Sn3Tn(n3) a1 dnb d即n(a1d)n3a1 3dn(b1d)n 即故答案不唯一。例如取dd2，a1，2，b4，得an2n4， bn2n2（2）a1b11，又由（1），可得dd1，a1，1，b2 ann2， bnn1 cn4 n2(1)1·2 n1cn1cn4 n1(1)·2 n24 n2(1)1·2 n1·26(1)&

5、#183;2n当nN*时恒有cn1 cn成立，即当nN*时，·26(1)·2n0恒成立当n为正奇数时，·2恒成立，而·2，当n为正偶数时，·2恒成立，而·2，的最大值是意图：探求生成数列的性质 （1）第一问是利用解决等差数列的基本方法向首项、项数及公差转化，然后得到等式恒成立的问题；（2）第二问实际上是由数列an、 bn 生成子数列并且给出子数列cn是递增数列，不等式恒成立采用的分离变量。例3 将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 已知表中的第一列数a1，

6、a2，a5，构成一个等差数列，记为 bn ，且b24，b510，表中每一行正中间的一个数a1，构成数列cn，其前n项和分别记为Sn（1）求数列 bn 的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a131求Sn；记Mn|(n1)cn，nN*，若集合M的元素个数为3，求实数的取值范围 解：（1）bn2n(2) 设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有135(2n1)n个数，且3134，所以ab8所以aaq8q，又a131，解得q。因此cn2n·()1所以SnSn因此Sn，解得Sn8由知，cn，不等式(n1)cn可化为设f

7、(n)，计算得f(1)4，f(2)f(3)6，f(，4)5，f(5)因为f(n1)f(n)，所以当n3时，f(n1)f(n)因此集合M的元素的个数为3，所以的取值范围是(4，5。意图：数阵图，转化为不等式恒成立问题，例4 设无穷数列满足：，.记.（1）若，求证：=2，并求的值；（2）若是公差为1的等差数列，问是否为等差数列，证明你的结论解:（1）因为，所以若，则矛盾，若，可得矛盾，所以于是，从而 （2）是公差为1的等差数列，证明如下： 时，所以， ，即，由题设，又，所以，即是等差数列【课后强化】1.等差数列所有项的和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则项数为 。解析：142.若

8、四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，则此等差数列为_；解析：1，2，5，8；8，5，2，1；1，2，5，8或8，5，2，1； 3 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列a是等和数列，且a2，公和为5，那么a的值为_，这个数列的前n项和Sn的计算公式为 。答案：3 ； 解析： Sn4. 图（1），（2），（3），（4）分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第50个图包含 个互不重叠的单位正方形.答案：4 901 ；解析：由

9、图形知a2a14×1，a3a24×2，a4a34×3，a50a494×49.相加得a50a14(12349)4×4 900，a504 901.； 5. 三个实数6，3，1排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和1之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个分别成等差数列，且插入的三个数本身依次成等比数列，那么所插入的这三个数的和可能是：；3；7。其中正确的序号是 。解析：、；6. 设Sn为等差数列 an 的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k_答案：5；解析：思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可；思路二：利用S

10、k2Skak2ak1直接利用通项公式即可求解，运算稍简7.已知数列an满足：a1m（m为正整数），an1，若a61，则m所有可能的取值为_解析：4 5 32；8. 将数列3n1按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），则第100组中的第一个数是 .答案：34 950；解析：由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.； 9已知Sn是数列an的前n项和，且anSn12（n2），a12.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，Tnbn1bn2b

11、2n，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有Tn恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.解析：（1）由已知anSn12 得an1Sn2 ，得an1anSnSn1 (n2)，an12an (n2).又a12，a2a1242a1，an12an (n1，2，3，)所以数列an是一个以2为首项，2为公比的等比数列，an2·2n12n.(2)bn，Tnbn1bn2b2n，Tn1bn2bn3b2(n1).Tn1Tn.n是正整数，Tn1Tn0，即Tn1Tn.数列Tn是一个单调递增数列，又T1b2，TnT1，要使Tn恒成立，则有，即k6，又k是正整数，故存在最大正整数k5使Tn&

12、gt;恒成立.10. 已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1a(a0)，an1rSn(nN*，rR，r1)(1)求数列an的通项公式；(2)若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，试判断：对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2是否成等差数列，并证明你的结论解析：(1)由已知an1rSn，可得an2rSn1，两式相减可得an2an1r(Sn1Sn)ran1，即an2(r1)an1，又a2ra1ra，所以当r0时，数列an为：a,0，0，；当r0，r1时，由已知a0，所以an0(nN*)，于是由an2(r1)an1，可得r1(nN*)，a2，a3，an，成等比数列，当n2时，

13、anr(r1)n2a.综上，数列an的通项公式为an(2)对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列，证明如下：当r0时，由(1)知，an对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列；当r0，r1时，Sk2Skak1ak2，Sk1Skak1，若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，则Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk，即ak22ak1，由(1)知，a2，a3，an，的公比r12，于是对于任意的mN*，且m2，am12am，从而am24am，am1am22am，即am1，am，am2成等差数列综上，对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等

14、差数列 11.等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nlnan，求数列bn的前n项和Sn.解析：(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318，所以公比q3，故an2·3n1.(2)因为bnan(1)nlnan2·3n1(1)nln(2·3n1)2·3n1(1)nln2(n

15、1)ln32·3n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3，所以Sn2(133n1)111(1)n·(ln2ln3)123(1)nnln3.所以，当n为偶数时，Sn2·ln33nln31；当n为奇数时，Sn2×(ln2ln3)ln33nln3ln21.综上所述，Sn12已知数列的各项都为正数，且对任意，都有(k为常数)（1）若，求证：成等差数列；（2）若k=0，且成等差数列，求的值；（3）已知(为常数)，是否存在常数，使得对任意都成立？若存在求出；若不存在，说明理由解（1）当k(a2a1)2时，在aanan2k中，令n1，得aa1a3(a2a1)2，即a1a32a1a2a0 因为a10，所以a32a2a10，即a2a1a3a2故a1，a2，a3成等差数列 （2）当k0时，aanan2因为数列an的各项都为正数，所以数列an是等比数列. 设公比为q(q0)因为a