高中数学必修一集合

1、人教人教A版版 必修必修1 主讲：符宣丰 电话一般地一般地,我们把研究对象统称为我们把研究对象统称为元素元素,把一些元素组把一些元素组成成的总体叫做的总体叫做集合集合(简称为简称为集集). 也可以描述为：也可以描述为：指定指定的某些的某些对象对象的的全体全体成为成为集合集合。通常用大写字母通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写等表示集合，用小写a,b,c等等表示对应集合的元素。表示对应集合的元素。 指定：指定：说明“某些对象”具有共同的特征或共同属性； 对象：对象：不同集合具有不同内涵，可以是人、物、点或抽象 事物等； 全体：全体：说明集合是个整体概念，在这个整体

2、中各元素间无 先后排列要求，没有一定的顺序关系；1、集合的含义、集合的含义2、集合的、集合的“三性三性” （1）根据集合中元素的个数可以将集合分为）根据集合中元素的个数可以将集合分为空集空集和和非空集非空集。 （2）非空集按集合中元素的个数分为）非空集按集合中元素的个数分为有限集有限集和和无无限集限集。当集合中的元素个数有限时即称为有限集，而。当集合中的元素个数有限时即称为有限集，而当集合中个数无限时即称为无限集。当集合中个数无限时即称为无限集。 对于有限集，由于元素的无序性，如对于有限集，由于元素的无序性，如1，2，3与与2，3，1表示同一个集合，但对于具有一定规律表示同一个集合，但对于具有

3、一定规律的无的无限集限集1，2，3，一般不会写成为，一般不会写成为2，3，1，3、集合的分类、集合的分类 判断0与N,N*,Z的关系?数集数集符号符号自然数集自然数集(非负整数集非负整数集)N正整数集正整数集 N* 或或N+整数集整数集Z有理数集有理数集Q实数集实数集R4、常见的数集、常见的数集 集合的表示方法常见有：集合的表示方法常见有：自然语言法、列举法和描述法，自然语言法、列举法和描述法，以后还会学到以后还会学到Venn图法图法 1、自然语言法：、自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法要注用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法要注意叙述清楚即可，如被意叙述清楚即可，如

4、被3除余数是除余数是2的正整数的集合。的正整数的集合。5、集合的表示方法、集合的表示方法 2、列举法：、列举法：把集合中的元素一一列举出来把集合中的元素一一列举出来,并用花括号括起来表示并用花括号括起来表示集合的方法。集合的方法。 3、描述法：、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。 （1）具体方法：在）具体方法：在 内先写上表示集合这个集合元素的一般符合再划一内先写上表示集合这个集合元素的一般符合再划一条竖线，在竖线后面写出这个集合中元素所具有的共同特征；条竖线，在竖线后面写出这个集合中元素所具有的共同特征； （2）描述法的一般形式）描述法的

5、一般形式xP(x),其中其中X是集合中元素的代表形式，是集合中元素的代表形式，I是是元素的取值元素的取值(或变化）范围，或变化）范围，P(x)是这个集合中元素所具有的共同特征，可以是这个集合中元素所具有的共同特征，可以是一些方程、函数或不等式等。是一些方程、函数或不等式等。 由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用小写字母a,b,c等表示集合中的元素. 元素与集合的关系有两种元素与集合的关系有两种:如果如果a是集是集A的元素，记作的元素，记作:a A如果如果a不是集不是集A的元素，记作：的元素，记作：aA例如，用例如，用A表示表示“ 120以内所

6、有的质数以内所有的质数”组组成的集合，则有成的集合，则有3 ，等等。，等等。6、元素与集合的关系、元素与集合的关系例题例题1：判断以下元素的全体是否组成集合：判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由并说明理由:(1) 高个子的同学高个子的同学(2) 身高超过身高超过170cm的同学的同学(3) 中国的中国的“四大发明四大发明”(4) 不超出不超出20的非负数的非负数(5) 的近似值的近似值 点评：判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确点评：判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素。标准，对于任何一个对象，都能

7、确定它是不是给定集合的元素。31、判断元素是否构成集合、判断元素是否构成集合解题要点：利用集合的确定性，判断题设是否有明确的“指标”。2、判断元素是否属于集合、判断元素是否属于集合解题要点：明确集合元素的特征，判断题设元素是否满足该特征。特别要注意题设中元素的定义范围。例题1：设集合设集合 则下列关系中正确的是（则下列关系中正确的是（ ）,11,32axxMMaA、MaB、MaC、MaD、例题2：集合集合 ，判断下列元素，判断下列元素 与集与集 合合之之 A 间的关系间的关系. ,2ZbZabaxxA231,121,0例题3：请选出以下说法正确的选项的是（请选出以下说法正确的选项的是（ ） ,

8、111RxxyxA、,110RxxyyB、,11),( 1 , 2RxxyyxC、,11),()1 ,2(RxxyyxD、3、集合元素的个数及相关问题、集合元素的个数及相关问题解题要点：1、明确集合中元素的组成结构；2、集合中有相同的两个元素，则取其中一个作为该集合的元素即可；例题1：若集合若集合A=-1，1，B=0，2，则集合，则集合例题2：已知已知 集合集合A=1,2,3,4,5,B=(x,y)|x A,yA,x-yA,则则B中中所含元素的个数为（所含元素的个数为（ ） 中的元素个数为,ByAxyxzzA、5个个 B、4个个 C、3个个 D、2个个A、3个个 B、6个个 C、8个个 D、1

9、0个个例题3：已知已知 集合集合P=3,4,5,Q=4,5,6,7,若定义新集合若定义新集合P*Q=(a,b)|aP,yA,x-yQ,则集合则集合P*Q中元素的个数为（中元素的个数为（ ） A、3个个 B、4个个 C、7个个 D、12个个4、集合间的不同表示方法的转换问题、集合间的不同表示方法的转换问题解题要点：明确对应法则、元素构成规律及集合的含义例题1：用特定的方法表示下列集合：用特定的方法表示下列集合： （1）A=(x,y)|x+y=5,x,yN(列举法）列举法） （2）B=1/3,2/4,3/5,4/6,5/7(描述法）描述法）例题2：用集合语言表示下列集合：用集合语言表示下列集合：

10、（1）坐标平面，不在第一、三象限的点的集合；）坐标平面，不在第一、三象限的点的集合； （2）所有被）所有被3除余除余1的整数的集合；的整数的集合； （3）使）使 有意义的实数有意义的实数x的集合；的集合；612xxy例题3：用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合： （1）A=x| |x|2,xZ（2）0)2()1(2xxxB, 4| ),() 3 (*NyNxyxyxM66|)4(NxNxP, 4|) 5 (2NyNxxyyC, 4| ),() 6 (2NyNxxyyxC5、集合中含有参数问题的处理方法、集合中含有参数问题的处理方法解题要点：根据题设进行分类讨论，特别要注意将解值进行验证，

11、 是否存在两个相同的元素，进而进行舍取。例题1：.,1,33,)1(,222的值求实数若已知集合aAaaaaA.A1,01|的值，求实数且已知集合aaxxA例题2：例题3：.),(,|,2MbaMaxyxAbaxxy求设例题4：.)3(.)2(.) 1 (., 023|2的取值范围中至多有一个元素，求若出来的值，并把这个元素写中只有一个元素，求若的取值范围中不含有任何元素，求若已知集合aAaAaARaxaxRxA1、子集的三种语言、子集的三种语言名称名称记号记号文字语言文字语言符号语言符号语言图形语言图形语言子集子集若集合若集合A的每一个元素的每一个元素都是集合都是集合B的元素，则的元素，则称

12、称A是是B的子集的子集若若xA xB，则，则AB真子集真子集若集合若集合A是集合是集合B的子的子集，且集，且B中至少有一个中至少有一个元素不在元素不在A中，则称中，则称A是是B的真子集的真子集若若AB且且AB，则，则A B相等相等若集合若集合A是集合是集合B的子的子集，且集，且B也是也是A的子的子集，则称集，则称A与与B相等相等若若AB且且BA，则，则AB2、空集、空集（1）空集的概念：）空集的概念：不含任何元素的集合，记作不含任何元素的集合，记作_.（2）_是任何集合的子集，是任何集合的子集， _是任何非空集合的是任何非空集合的 真子集真子集. (3)实数实数0与空集是两个不同的概念，不能把

13、与空集是两个不同的概念，不能把0或或0与空与空集混为一谈集混为一谈. （4）几种常见的空集情况：几种常见的空集情况： A、集合的对应法则为方程，其空集的条件是方程无解、集合的对应法则为方程，其空集的条件是方程无解的时的条件；的时的条件； B、对应法则为函数的空集条件即为函数无意义的条、对应法则为函数的空集条件即为函数无意义的条件；件； C、不等式的空集条件？、不等式的空集条件？ 空集空集空集空集3、子集的性质、子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即可任何一个集合是它本身的子集，即可AA；(2)对于集合对于集合A、B、C，如果，如果AB,BC，那么，那么AC(集合包含传递性）集合包含传

14、递性）(3)对于集合对于集合A、B、C，如果，如果A B,B C，那，那么么A C(集合真包含传递性）集合真包含传递性）(4)空集是任何集合的子集，即对于任何一个集空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合合A，都有，都有 A;在解决诸如在解决诸如AB或或A B类类的问题时，必须优先考虑的问题时，必须优先考虑A= 时是否满足题意。时是否满足题意。4、集合子集的个数、集合子集的个数 (1)一个含有一个含有n个元素集合的子集有个元素集合的子集有2n(2)一个含有一个含有n个元素集合，其中一个元素出现在个元素集合，其中一个元素出现在子集中的次数为子集中的次数为2（n-1）(3)一个含有一个含有n个元素

15、集合的真子集有个元素集合的真子集有2n-1个个(4)一个含有一个含有n个元素集合的非空子集有个元素集合的非空子集有2n-1个个 (5)空集的空集的子集有只有它本身一个子集有只有它本身一个 (6)集合集合A有有n（n 1)个元素个元素,集合集合C有有m（m 1)个个元素元素,满足满足ABC,这样的集合这样的集合B有有2m-n个个例题例题1：判断下列两个集合之间的关系：判断下列两个集合之间的关系：(1) A=2,3,6,B=x| x是是12的约数的约数 (2) A=0,1,B=x|x2+y2=1,yN(3) A=x|-1x2,B=x|-2x2 (4) A=(x,y)|xy0,y1,Q=x|x2-x

16、0,则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（ ）A、P=Q B、P Q C、P Q D、Q P 例题例题4：集合集合M=(x,y)| (x-3)2+(y+2)2=0,N=-2,3,则则M与与N之间是什之间是什么关系么关系_2、集合子集的确定及个数问题、集合子集的确定及个数问题例题1：写出集合写出集合A=1,2,3的所有子集，并求所有子集中元素的和。的所有子集，并求所有子集中元素的和。解题要点：1、为避免有重有漏，一般先列出空集-含有1元素的集合-逐渐累加元素个数的集合；2、按总结公式计算子集或真子集的个数。例题2：设集合设集合A=1,2,3,4,5,6,B=4,5,6,7,8,若若SA且且SB

17、，则满足条件的，则满足条件的集合集合S有几个（有几个（ ） A、57 B、49 C、8 D、6例题3：满足集合满足集合x|x2+1=0 Ax|x2-1=0的集合的集合A的个数是（的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4例题4：已知集合已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0 x5,xN,则满足条则满足条件件ACB的集合的集合C的个数为（的个数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4例题5：若规定若规定E=a1,a2,a3,a10的子集的子集ai1,ai2,ain为为E的第的第K个子集，其中个子集，其中K=2i1-1+2i2-1+2in-1，则，则 （1）a1,a3是是E的第的

18、第_个子集；个子集； （2）E的第的第211个子集为个子集为_3、关于重新定义集合的子集问题、关于重新定义集合的子集问题解题要点：必须理解重新定义的含义，明确新定义集合元素的构成并能列举出。例题1：设集合设集合P、Q为两个非空实数集合，定义集合为两个非空实数集合，定义集合R=P+Q=a+b|aP，bQ,若若P=0,2,5,Q=1,2,6,则集合则集合R的子集个数（的子集个数（ ） A、29 B、28 C、27 D、26例题2：新定义集合新定义集合P、Q之间的运算之间的运算“ * ”：P*Q=x|x=x1+x2,x1P，x2Q,若若P=1,2,3,Q=1,2,则集合则集合P*Q中最大的元素为中最

19、大的元素为_,集合集合P*Q的所有子集个数为的所有子集个数为_4、数行结合解集合问题、数行结合解集合问题解题要点：利用函数图像、数轴或Venn图解题，能起到事半功倍的效果，本节主要利用数轴标示出与不等式相关的集合，从而得到集合的运算结果或集合中所含参数的范围；用数轴解题时，特别要注意是实点还是虚点。例题2：已知集合已知集合A=x|x2, B=x|4x+p0,当当BA时，求时，求p的取值范围。的取值范围。例题1：设集合设集合A=x| |x-a|2,xR,若若AB时，则时，则a、b必满必满足（足（ ） A、|a+b|3 B、|a+b|3 C、|a-b|3 D、|a-b|3 例题3：若不等式若不等式

20、|x|1成立时，不等式成立时，不等式x-(a+1)x-(a+4)0也成立，求也成立，求a取值范围取值范围.5、求集合中所含参数的问题、求集合中所含参数的问题解题要点：利用数形集合的思想、集合元素互异性及子集性质进行解题，特别要注意所求参数是否会让集合为空集。例题1：已知集合已知集合A=a,a+b,a+2b,B=a,ac,ac2,若若A=B,求求c的值的值.例题2：已知集合已知集合A=x|x2+ax+1=0,xR,B=1,2,若若A B ,求求a的取值范围的取值范围.例题3：已知集合已知集合A=x|-2x3,B=1,2,集合集合B=x|mx2m-1,若若BA ,求求m的取的取值范围值范围.例题4

21、：已知集合已知集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|mx-2=0,若若 BA,求实数求实数m构成的集合构成的集合.1、集合的三种运算、集合的三种运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作A B（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：A B（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，CSA即CSA=韦恩图示 ,|AxSxx 且2、集合运算的性质、集合运算的性质3、集合

22、运算中元素个数、集合运算中元素个数 用card来表示有限集合A中元素的个数，记为card(A)；例如集合A=0,1,2，则card(A)=3 (1)两个集合并集元素个数： card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AB) (2)两种变形： card(A)+card(B)=card(AUB)+card(AB) card(AB)=card(A)+card(B)-card(AUB) (3) 三个集合并集元素个数card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)- card(AC)- card(BC)+card(ABC)1、集合交集的相关问题、

23、集合交集的相关问题解题要点：找出两个集合公共的部分组成集合，即为其交集；对有限集合可用列举法表示出集合进而找出公共的的元素，对于不等式构成的集合，借助数轴找出2个集合在数轴上重叠的部分，特别要注意端点用实点还是虚点。例题例题1：已知集合已知集合S=xR|x+12,T=-2,-1,0,1,2,则则ST=_ 例题例题2：若集合若集合A=x|x2+x0,B=x|0 x3,则则AB=_ 例题例题3：集合集合P=xZ|0 x0,M=xZ|x20,M=x| |x-1|0,M=x| -1x2,则则PM=_ 例题例题2：已知集合已知集合 M、N为集合为集合U的非空真子集，且的非空真子集，且M，N不相等，不相等

24、， 若若N uM= ,则则MN=( ) A、M B、N C、U D、 C例题例题4：集合集合A=x|-12x+13, ,则则AB=_ 02|xxxB例题例题5：集合集合A=x2,2x-1,-4,B=x-5,1-x,9,若若AB=9,则则AB=_ 3、求集合的补集的相关问题、求集合的补集的相关问题解题要点：从全集中去掉所有属于该集合的元素，剩下的元素组成的集合即为该集合在全集中的补集。例题例题1：设集合设集合U=1,2,3,4，A=1,2,B=2,4,则则 U(AB)=_C例题例题2：设集合设集合A=x|1x4，B=x|x2-2x-30,则则 RBA=_C例题例题3：若集合若集合U=n|n是小于

25、是小于9的正整数的正整数，A=nU|n是奇数是奇数,B=nU|n是是3的倍的倍数数,则则 U(AB)=_C4、利用补集思想解题、利用补集思想解题解题要点：对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难于从正面入手的数学问题，可以尝试从问题的反面入手，起到“柳暗花明”的效果。例题例题1：若方程若方程x2+x+a=0至少有一根为非负实数，求实数至少有一根为非负实数，求实数a的取值范围。的取值范围。例题例题2：集合集合A=x|x2-4mx+2m+6=0,xR,B=x| x0,xR，且，且AB ,求求m的取值范围。的取值范围。 例题例题3：若关于若关于x的方程的方程x2+4ax-4a+3=0 ,x2+(a-1)x+a2=0 ,x2+2ax-2a=0中至中至少有一个方程有实数根，求实数少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。的取值范围。 5、集合运算中有关参数的求法、集合运算中有关参数的求法例题例题1：若集合若集合A=1,3,x,B=1,x2，AB=1,3,x,则满足条件的则满足条件的x有（有（ ） A、1个个 B、2个个 C、3个个 D、4个个例题例题2：已知集合已知集合A=xR| |x+2|3,B=xR| (m-x)(x-2)0，且，且AB