金融数学模型

1、第6卷 第1期中国管理科学Vol 6,No 1金融数学模型夏玉森汪寿阳 (中国科学院系统科学研究所 北京 100080)(国家自然科学基金委员会管理科学部 北京 100083)邓小铁(香港城市大学计算机科学系 香港九龙)摘 要 数学模型对于金融市场中的交易者有着非常重要的作用,数学模型应用于金融市场研究的重大突破是证券组合投资模型和金融衍生工具定价模型的出现,资本资产定价模型是由此发展起来的具有重大应用价值的金融数学模型。这些模型的发展和应用仍是当今金融领域的研究热点问题。本文将概括性地介绍一些模型和它们的应用。关键词 金融数学模型、证券组合、资产定价、金融衍生工具定价、风险管理1 引言金融数

2、学模型的最初出现可以追溯到1900年LouisBachelier的投机理论,这一理论的出现标志着连续时间的随机过程和连续时间的期权定价理论的诞生 8 。然而,在其后的半个世纪中,尽管Macaulay于1938年建立了对债券交易市场上的发行者和投机商非常有用的债券价格对利率的敏感性分析模型等 12 ,但这些模型在实际中并没有得到很好的重视,五十年代末和六十年代初,投资分析和资本市场的金融数学建模有了大的突破,开始了现代金融理论研究的新纪元。Markowitz于1959年提出的期望方差模型是这一时期最有代表性及影响力的工作。因而理论界称之为二十世纪发生在华尔街的第一次金融革命,这一模型的提出吸引了

3、一大批的数学家和经济学家开展这一领域的研究,从而使得这一模型得到了不断的完善,伴随地出现了一些新的证券组合选择模型。金融理论的另一次革命性的成果是Black和Scholes于1973年提出了基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足一组微分方程。之后,金融衍生工具的定价理论不断出现新的成果,并在九十年代形成了一门崭新的金融学科 金融工程。本文在第二部分介绍证券组合选择模型,包括Markowitz的期望方差模型和其它一些证券组合模型;第三部分介绍资产定价模型;第四部分介绍金融衍生工具的定价模型;在最后的结束语中;给出了金融数学模型的实际应用情况。2 证券组合模型证券组合理论是研究怎样在几种未

4、来结果不确定的竞争性选择(如股票、债券)中分配资源的。证券组合问题在许多的决策领域都存在、金融市场上的投资者当然要决定股票和债券及其衍生工具的组合。本文1997年10月6日收到。本文得到国家自然科学基金和香港UGC的支持。2 1 期望方差模型中国管理科学1998年为了分散投资风险并取得适当的投资收益,投资者往往采用证券组合投资方式,即把一笔资金同时投资于若干种不同的证券。投资者最关心的问题有两个,一是预期收益率的高低,二是预期风险的大小。在Markowitz建立的这一模型中,预期收益率是证券组合的收益率的期望值,预期风险指证券投资组合收益率的方差。在多元证券组合投资条件下,从理论上讲,给定了预

5、期收益率,可能有无穷多种证券组合可以实现该预期收益;同样地,给定了预期风险,也可能有无穷多种证券组合可以实现该预期风险。如果以预期收益率RP为纵坐标,预期风险 2为横坐标,则任一可行的证券组全唯一地确定RP- 2平面上的一个点,所有可行的证券组合就组成了可行集。Markowitz假定投资者厌恶风险,理性的投资者总是希望在已知风险的条件下获得最大的期望收益。而在已知期望收益的条件下投资风险达到最小。具有这种性质的证券组合称为有效证券组合,其在RP- 2平面上确定一要弧线,被称为有效边界 17 。证券能否卖空和投资者是否可以以无风险利率借贷是证券组合选择中的两个重要问题,所谓证券的卖空(Short

6、Sale)是指投资者无证券而可以预先卖出,相当于发行证券的情况,数学上表示为xi 0。若无风险借贷相对于投资者而言,则贷(Lending)相当于投资于无风险的国库券或进行储蓄;借(Borrowing)是从银行贷款,然后投资于风险证券组合。令n表示证券的数目,xi表示投资在证券组合P中证券i的相对投资量,i= 1xi=1,x=(x1, ,xn)t;ri表示第i种证券的实际收益率,期望收益率 ri=E(ri), r=( r1, rn)t,r=(r1, ,rn);RF表示无风险借贷利率, 表示收益率r的方差一协方差矩阵,则证券组合P的Pt2t期望收益率为;RP=E(rtx)=rx;证券组合P的方差为

7、 2=E(rx-rx)=x x。tn若考虑卖空和无风险借货,则可以得到如下四种不同的证券组合模型:(1)允许卖空和无风险借贷。这种情况下的最优证券组合可通过求解如下的规划问题来确定:Max =nPF Ps t i= 1xi=1这一模型可以转化为一线性规划模型 4 。(2)允许卖空,但不允许无风险利率借贷。在这种情况下,不同的无风险利率RF对应不同的最优证券组合。把RF作为未知变量可以得到与上面类似的模型 4 。(3)不允许卖空,但允许无风险的借贷。这种情况下的最优证券组合可由求解如下的二次规划来确定:Max =nRP-RFPs t i= 1xi=1xi 0 i=1,2, ,n第1期夏玉森等:金

8、融数学模型 3(4)既不允许卖空也不允许无风险借贷。这种情况下的最优证券组合可通过求解如下的二次规划来确定:Minxt x 或 Maxr txs t rx=R0 s t (x x)i= 1xi=1 i= 1xi=1xi 0,i=1,2, ,n xi 0,i=1,2, ,n以上四个模型都是在证券的预期收益率和方差-协方差矩阵已知的情况下进行求解的。而这些数据的获得共需要(n2+3n+2)/2个估计量。显然当n很大时,这些数据的估计是比较复杂的。为了减少估计量,一些学者提出了如下三种模型:(1)单指数模型假设证券价格的变化唯一是由市场的作用引起的,可得到:R i= i+ iR m+ei其中 i的独

9、立于市场因素的收益部分,Rm为市场证券组合的收益率, i为证券i的收益率对于市场作用的敏感系数,ei为残差项。于是证券组合P的期望收益率为Rp= P+ PRm其中 P=i= 1 ixi, P= ixi,而证券组合P的方差为i=12P= 2P 2m+22 xi eii=1nnnnntt单指数模型使输入数据的估计量减少到3n+2(2)多指数模型显然仅假设证券的价格与市场指数同升同降是不合适的,因为这明显不能解释股票市场上每天都会有的股票价格上升,而有的股票价格下降。多指数模型同时描述了别的一些影响证券收益的因素。多指数模型的标准形式为Ri= i+ bi,kIk+ci i=1,2, ,nk=1其中

10、i为证券i的不依赖于指数的收益部分,Ik为影响证券收益的第k个指数,各指数间是相互独立的,bi,k为证券i的收益率对指数Ik的敏感系数,ci为残差项。多指数模型往往使用因子分析等方法处理数据,这往往会引入一些新的噪声数据。因此多指数模型尽管较好地描述了收益率的属性,但其应用效果往往不如单指数模型的好。(3)平均技术为了消除在对历史数据的处理中引入新的噪声,可以对协方差矩阵数据进行成对平均。显然这样做在消除噪声的同时也就丢失了一些真实的信息。2 2 一些其它证券组合选择模型2 2 1 几何期望收益模型不考虑投资者的效用函数形式及证券收益的概率分布,几何期望收益准则选择具有最大的几m何期望收益的证

11、券组合:中国管理科学1998年R G,j=i= 1(1+Ri,j)nPi,j-1其中Ri,j为证券组合j的第i种可能收益,Pi,j为Ri,j发生的概率大小。运用这一准则进行证券组合选择,在一段时间后最终财富具有最大的期望值 7 。如果证券的预期收益率服从对数正态分布,则几何期望收益模型将得到与Markowitz的期望方差模型一致的有效集2 2 2 保险首要模型这类模型能避免决策者取得非常不利的头寸(Position)情形。有三种准则可以得到三种不同的保险首要模型。第一种准则由Roy提出:最优证券组合的预期收益RP小于某一给定限定值Rl的概率最小 13 ,MinP(RPRl)第二种准则由Kata

12、oka提出:给定一个小的概率 ,令证券组合收益的最小限定值Rl达到最大 4MaxRls t P(RPRl)第三种准则由Teleser提出:给定一个小的概率 和某一限定值Rl,令证券组合的预期收益率E(RP)达到最大 4 :Max E(RP)s t P(RPRl)2 2 3 随机优势模型有三种随机优势准则可以用来选择证券组合。第一种随机优势是投资者认为财富多比少好,对应着递增的效用函数,效用函数的一阶导数大于0。运用第一种随机优势可以排除一部分证券组合。第二种随机优势是投资者认为财富多比少好,投资者是厌恶风险的,对应着递增的凹效用函数,效用函数的一阶导数大于0,二阶导数小于0。运用这一种随机优势

13、进行证券组合选择时,其结果与Markowitz的期望方差模型所得结果一致。第三种随机优势对应着递减的厌恶风险的效用函数,效用函数的三阶导数大于0 11,16 2 2 4 偏斜度偏斜度是对概率分布不对称性测定的指标。偏斜度可正、可负、可零。投资者大多是喜欢正的偏斜度 1 。偏斜度的引入使证券组合择优地求解拓展到三维空间中。投资者希望证券组合具有最大的期望收益,最小的方差以及最大的偏斜度。由于偏斜度引入后需要太多的估计值,从而限制了这一模型的实际应用 14 。2 2 5 最优后悔比率模型定义策略S的最优后悔比率为:Mxin vS(x)/OPT(x),其中x为未来的结果值,vS(x)为在未来结果不确

14、定的情况下策略S的值,OPT(x)为信息完全已知下的最优值,则最优的策略为:MSaxMxinvS(x)/OPT(x)第1期夏玉森等:金融数学模型 5把这一决策分析方法应用到证券组合的选择,可求解如下的线性规划问题 15 :Maxzs t (1+ i)pixi+ (1- j)pjxjj 11+ jn z 1 i n其中xi为证券i的相对投资比例,i= 1xi=1,pi为证券i的价格, 下降的最大比率。i为证券i价格3 资产定价模型3 1 资本资产定价模型(CZPM)资本资产定价模型主要描述了当市场处于均衡状态下,如何决定资产的相关风险以及收益和风险的相互关系。在均衡的市场中,理性的投资者都会持有

15、市场证券组合的比例。市场证券组合是包含对所有证券投资的证券组合,其中每一种证券的投资比例等于它的相对市场价值。一种证券的相对市场价值等于这种证券总的市场价值除以所有证券总的市场价值 18 。诺贝尔经济学奖获得者Sharpe和Lintner作了十条十分严格的假设,得到了如下资本资产定价模型:R i=RF+(E(RM)-RF) im其中R i为证券i的预期收益率,RF为无风险利率,E(RM)为市场证券组合的期望收益率, m为市场证券组合收益率的标准差, i为证券i的收益率的标准差。若RF定义为时间的市场价格,模型可以直观地理解为:预期收益=时间的市场价格+风险的市场价格风险的数量资本资产定价模型以

16、投资家回避风险的特征为前提,通过设定按期望方差准则选择证券组合。另外,亦考虑了市场的均衡,是关于均衡价格的模型。但这一理论的假设过于严格,有的太过于理想化,不少经济学家从各个方面对此模型加以了完善。这方面的主要成果有:(1)税款:资本资产定价模型没有考虑所得税,而实际上资本增值是要交税的。因此,任何资产或证券组合的收益率为 2 :E(Ri)=RF+ i(E(RM)-RF)- ( M-RF)+ ( i-RF)其中 M为市场证券组合M的红利收益, i为证券i的红利收益, 为所得税率。(2)资产并不是都可以在市场上交易的:由于各种因素的存在,投资者有的资产是不能在市场上交易的。若记RH为在市场上不能

17、交易的资产的收益率,PH为在市场上不能交易的资产的总价值,PM为可以在市场上交易的资产的总价值,那么所有资产的预期收益率为:E(Rj)=RF+ M+*(E(RM)-RF)定义为风险的市场价格,则资本资产定价mE(RM)-RFPHcov(Rj,RM)+Pcov(Rj-RH)MPH/PMcov(RM,RH)另外,也可以考虑不允许卖空、投资者对市场具有不同的预期和多期间投资的情况 4 。3 2 套利定价模型(APT)应用资本资产定价模型(CAPM),投资者是基于预期收益和方差来选择投资的。很显然,6 中国管理科学1998年对预期收益的定义不同而得到的期望值和方差就会迥然而异 3 。套利定价模型是一种

18、与CAPM不同的资产定价模型。其原理基于一个价格准则:完全相同的两件物品不能以不同的价格出售,否则就会出现套利机会。假设投资者是具有相同预期的,可得到如下的模型:Ri= i+bi1I1+bi2I2+ +bijIj+ei其中 i为证券i的收益独立于所有指数的部分,Ij为影响证券i收益的第j个指数,bij为证券i的收益对于第j个指数的敏感系数,ei为随机残差。以上公式的形式与多指数模型是相同的。APT理论的贡献主要在于其对均衡状态的描述,但由于APT理论只是阐明了资产定价的结构,而没有说明是哪些具体的经济的或其它的因素影响预期收益,所以这一理论的检验和实际应用都受到了一定的限制。目前,不少学者都在

19、试图对这一理论加以完善。4 金融衍生工具定价模型所谓衍生(Derivative)工具,又称派生工具,它们的收益和风险不单受自身的供需关系的影响,而且最终依赖于标的资产(UnderlyingAssets)的供给需求的均衡。例如,绿豆期货合同的价格虽然在期货市场中受对合同本身供给需求的均衡,但最终是被绿豆的价格牵着走的。衍生工具包括商品衍生工具和金融衍生工具。前者的标的资产是普通商品,如农副产品、工业原材料、能源产品等等。后者的标的资产则是金融资产甚至是虚拟的金融资产(如某种金融工具的利率、有价证券的综合指数等等)。在金融市场上交易的主要是金融衍生工具,所以这方面的研究也就主要集中在金融衍生工具特

20、别是期权工具的定价上。4 1 期权定价模型在金融市场上,期权可以分为看涨期权和看跌期权,看涨期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定价格购买标的资产;看跌期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定价格出售标的资产。期权也可以分为美式期权和欧式期权。美式期权可在期权有效期内任何时候执行,而欧式期权只能在到期日执行。Black和Scholes假设股票的价格服从对数正态分布,通过运用ITO定理,推导出了基于股票不付红利欧式期权的定价公式。设s为标的股票的价格,f为期权的价值,r为无风险利率, 2为股票价格的波动率,则可得如下形式的Black Scholes偏微分方程:222+rs+ s=rf2 s2对

21、应于所有的可用标的变量s定义的不同衍生证券,此方程有许多解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件。Black和Scholes成功地求解了这一微分方程,得到了欧式看涨期权和看跌期权定价的精确公式。若记x为期权的交割价格,c为欧式看涨期权的价格,p为欧式看跌期权的价格,则:c=sN(d1)-xep=xe-2r(T-t)-r(T-t)N(d2)N(-d2)-sN(-d1)T-t,N(x)为标准正态分布变量其中d1=,d2=d1-第1期夏玉森等:金融数学模型 7 的累积概率分布函数。基于无红利支付股票的欧式期权定价的Black-Scholes公式可以推广到基于支付连续已知红利收益率的欧式期

22、权定价。若已知的连续红利收益率为q,则:c=se-q(T-t)N(d1)-xe-r(T-t)N(d2)p=xe其中d1=-r(T-t)N(-d2)-se-q(T-t)N(-d1)ln(s/x)+(r-q+ 2/2)(T-t)2=d1- T-t 实际上股票并不支付连续红利。然而,一些其它的期权标的资产可以认为与支付连续红利收益率的股票类似,特别是:(1)指数与支付连续红利的股票类似,其红利收益率是所有组成指数的股票的红利收益率的平均值;(2)外汇与支付连续红利的股票相似,其红利收益率等于外国无风险利率;(3)期货与支付连续红利的股票类似,其红利收益率等于国内无风险利率;因此,Black和Scho

23、les定价模型扩展后可以用来为指数期权、货币期权和期货期权定价。由于美式期权可以提前执行,所以很难用精确的解析公式描述美式期权。美式期权的定价可以应用下面介绍的数值算法和解析近似解。4 2 数值算法若衍生证券估值没有确切解析公式时,可用数值方法。当衍生证券的收益依赖于标的变量的历史数据或衍生证券具有多个变量时,可用蒙特卡罗方法对该衍生证券进行估值。树图方法和有限差分方法可用来计算其持有者到期前要作出提前执行决策或其他决策的衍生证券的价格。4 2 1 蒙特卡罗模拟方法蒙特卡罗模拟方法利用随机数对许多不同的路径进行取样,在风险中性世界中标的证券的变量遵循这些轨迹。每个路径都可计算出盈亏,并将这个盈

24、亏按无风险利率进行贴现。把贴现后的盈亏算术平均值作为证券价值的估计值。4 2 2 二叉树方法二叉树方法假设在每个小的时间间隔 t内,股票价格或者按比例 上升,或者比例d下降。 、d的大小和相应的概率经过仔细选择后,可使股票价格的变化在风险中性世界中具有正确的均值和标准差。从二叉树的末端开始倒推可得期权的价格。4 2 3 有限差分方法有限差分方法通过用数值方法求解衍生证券所满足的微分方程来为衍生证券估值。将微分方程转化为一系列的差分方程后,再用迭代法求解这些差分方程。树图方法和有限差分方法都可以处理欧式或美式衍生证券的定价问题,但是当衍生证券收益取决于状态变量过去的历史时,都不能应用这两种方法。

25、具体的数值方法可见 6 。 65 结束语金融理论的中心问题是研究在不确定的环境下对资源进行分配和利用,时间和不确定性是影响金融行为的主要因素。它们相互作用与影响,其复杂性需要一定的数学分析工具来研究。在西8 中国管理科学1998年方,尽管金融数学模型出现得比较早,但很长时间却没有得到有效的应用。直到Markowitz证券组合模型和Black-Scholes期权定价模型的突破,才使得数学模型大规模地应用于金融市场的投资分析中。布雷顿森林体系下固定汇率制的崩溃和世界石油的危机等一系列因素,更使得单纯地对历史数据应用经验分析和简单回归技术不能适应投资决策和风险管理的需要。进入九十年代,金融工具的不断

26、创新,使得金融数学模型不仅是金融机构进行风险管理必不可少的工具,而且在一些非金融公司的应用也日益普遍 12 。我国的金融市场起步较晚,金融工具少,金融模型的应用相对于西方而言要少一些。但是随着我国金融市场的不断发展,新的金融工具的不断出现,金融数学模型必然会得到广泛的重视和应用参考文献1 Arditti,Fred RiskandtheRequiredReturnonEquity JournalofFinance,19672 Elton,EdwinJ ,Gruber,MartinJ TaxesandPortfolioComposition JournalofEconomics,6 19783 E

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